Exercice 1

1. L’aire du triangle $FBG$ est égale à la moitié de l’aire du carré unité $BCGF$.
   $I$ est le milieu de $[EF]$ et $EF=AB$ donc $FI=\dfrac{1}{2}$.
   Le volume du tétraèdre $FIGB$ est donc :
   $\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{FBG}\times FI \\
   &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}\\
   &=\dfrac{1}{12} \text{u.v.}\end{align*}$
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} \vect{AI}&=\vect{AE}+\vect{EI} \\
   &=\vect{AE}+\dfrac{1}{2}\vect{EF} \\
   &=\vect{AE}+\dfrac{1}{2}\vect{AB}\end{align*}$
   Par conséquent $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};0;1\right)$.
   $\quad$
3. $\vect{BI}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\[2mm]0\\1\end{pmatrix}$, $\vect{BG}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{DJ}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$
   $\vect{DJ}.\vect{BI}=-1+0+1=0$
   $\vect{DJ}.\vect{BG}=0-1+1=0$
   Les vecteur $\vect{DJ}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (ils n’ont pas la même composante nulle) du plan $(BIG)$.
   Par conséquent $\vect{DJ}$ est un vecteur normal au plan $(BIG)$.
   $\quad$
4. Une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est alors de la forme $2x-y+z+d=0$.
   $B(1;0;0)$ appartient au plan $(BIG)$. Donc $2+0+0+d=0 \ssi d=-2$.
   Une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est par conséquent $2x-y+z-2=0$.
   $\quad$
5. Une représentation paramétrique de la droite $d$ est $$\begin{cases} x=1+2t\\y=-t\\z=1+t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$.
   $\quad$
6. a. En prenant $t=-\dfrac{1}{6}$ dans la représentation paramétrique de $d$ on obtient $x=\dfrac{2}{3}$, $y=\dfrac{1}{6}$ et $z=\dfrac{5}{6}$.
   De plus $2\times \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}-2=\dfrac{4}{3}+\dfrac{2}{3}-2=0$.
   Le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right)$ appartient donc à la fois à la droite $d$ et au plan $(BIG)$.
   La droite $d$ coupe le plan $(BIG)$ au point $L$.
   Ainsi $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right)$.
   $\quad$
   b. $\vect{FL}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{3}\\[2mm]\dfrac{1}{6}\\[2mm]-\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} FL&=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{6}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{6}\right)^2} \\
   &=\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{36}}\\
   &=\sqrt{\dfrac{1}{6}} \\
   &=\dfrac{\sqrt{6}}{6}\end{align*}$
   $\quad$
   c. On appelle $\mathscr{A}$ l’aire du triangle $IGB$.
   On a alors
   $\begin{align*} V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times FL\\ &\ssi \dfrac{1}{12}&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times \dfrac{\sqrt{6}}{6} \\
   &\ssi \mathscr{A}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\end{align*}$
   L’aire du triangle $IGB$ est donc égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$ u.a.
   $\quad$

 

 

Exercice 2

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

1. $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$
   $\lim\limits_{x\to -\infty} 2x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{2x}=0$.
   Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=1$.
   $\quad$
2. Pour tout réel $x$ on a $g(x)=\e^{2x}\left(1-\e^{-x}+\e^{-2x}\right)$
   Or, $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{2x}=+\infty$, $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-2x}=0$.
   Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
   $\quad$
3. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*} g'(x)&=2\e^{2x}-\e^x \\
   &=\e^{x}\left(2\e^x-1\right)\end{align*}$.
   $\quad$
4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   La signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2\e^x-1$.
   $2\e^x-1=0 \ssi 2\e^x=1 \ssi \e^x=\dfrac{1}{2} \ssi x=-\ln(2)$
   $2\e^x-1>0 \ssi 2\e^x>1 \ssi \e^x>\dfrac{1}{2} \ssi x>-\ln(2)$
   On obtient alors le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
5. La fonction $g$ admet un minimum qui vaut $\dfrac{3}{4}$.
   Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $g(x)\pg \dfrac{3}{4}>0$.
   La fonction $g$ est strictement positive sur $\R$.
   $\quad$
6. On pourrait écrire $\e^{2x}-\e^x+1>0 \ssi \begin{cases} X^2-X+1>0 \\X=\e^x\end{cases}$.
   Le discriminant du polynôme du second degré $X^2-X+1$ est $\Delta=-3<0$.
   Le coefficient principal de ce polynôme est $1>0$.
   Par conséquent, pour tout réel $X$ on a $X^2-X+1>0$.
   Donc $\e^{2x}-\e^x+1>0$ pour tout réel $x$.
   $\quad$

Partie B

1. D’après la question A.5., pour tout tout réel $x$, on a $\e^{2x}-\e^x+1>0$.
   La fonction $\ln$ est définie sur $\R_+^*$.
   Par conséquent la fonction $f$ est bien définie sur $\R$.
   $\quad$
2. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables.
   Pour tout réel $x$ on a alors :
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\e^{2x}-\e^x}{\e^{2x}-\e^x+1} \\
   &=\dfrac{g'(x)}{g(x)}\end{align*}$
   $\quad$
3. Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est $y=f'(0)x+f(0)$.
   Or $f(0)=0$ et $f'(0)=1$.
   Une équation de cette tangente est donc $y=x$.
   $\quad$
4. $g'(x)>0 \ssi x>-\ln(2)$ d’après la question A.4
   Pour tout réel $x$, on a $g(x)>0$.
   Par conséquent $f$ est strictement croissante sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$.
   $\quad$
5. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$.
   $f\left(-\ln(2)\right)=\ln\left(\dfrac{3}{4}\right)<2$.
   Pour tout réel $x$ on a $f(x)=\ln\left(g(x)\right)$.
   Or $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
   Or $2\in \left]\ln\left(\dfrac{3}{4}\right);+\infty\right[$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$.
   D’après la calculatrice $\alpha\approx 1,12$.
   $\quad$

Partie C

D’après la question B.5. l’équation $f(x)=2$ admet bien au moins une solution. La conjecture 1 est vraie.

$-\ln(2)\approx -0,69<-0,5$. La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$. La conjecture 2 est fausse.

Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est $y=x$. La conjecture 3 est fausse.

$\quad$

 

Exercice 3

1. a. Le premier jour on dispose de $2$ g de polonium.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} v_0&=2\times 3\times 10^{21} \\
   &=6\times 10^{21}\end{align*}$
   $\quad$
   b. Chaque jour $0,5\%$ des noyaux se sont désintégrés. Il en reste donc $0,995u_n$.
   Chaque jour, on ajoute $0,005$ g de polonium.
   Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a :
   $\begin{align*} v_{n+1}&=0,995u_n+0,005\times 3\times 10^{21} \\
   &=0,995u_n+1,5\times 10^{19}\end{align*}$
   $\quad$
2. a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0\pp v_{n+1} \pp v_n$.
   Initialisation : $v_0=6\times 10^{21}$ et $v_1=0,995v_0+1,5\times 10^{19}$ soit $v_1=5,985\times 10^{21}$.
   On a bien $0\pp v_{1} \pp v_0$ et $P(0)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
   $\begin{align*} 0\pp v_{n+1} \pp v_n&\ssi 0\pp 0,995 v_{n+1} \pp 0,995 v_n \\
   &\ssi 1,5\times 10^{19}\pp 0,995v_{n+1}+1,5\times 10^{19}\pp 0,995v_n+1,5\times 10^{19}\end{align*}$
   Par conséquent $0\pp v_{n+2}\pp v_{n+1}$ et $P(n+1)$ est vraie.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $0\pp v_{n+1} \pp v_n$.
   $\quad$
   b. La suite $\left(v_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$; elle converge donc.
   $\quad$
3. a. Soit $b\in \N$. $u_n=v_n-3\times 10^{21} \ssi v_n=u_n+3\times 10^{21}$
   $\begin{align*} u_{n+1}&=v_{n+1}-3\times 10^{21} \\
   &=0,995v_n+1,5\times 10^{19}-3\times 10^{21} \\
   &=0,995v_n-2,985\times 10^{21}\\
   &=0,995\left(u_n+3\times 10^{21}\right)-2,985\times 10^{21} \\
   &=0,995u_n+2,985\times 10^{21} -2,985\times 10^{21} \\
   &=0,995u_n\end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,995$ et de premier terme $u_0=v_0-3\times 10^{21}=3\times 10^{21}$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=3\times 10^{21}\times 0,995^n$.
   Par conséquent
   $\begin{align*} v_n&=u_n+3\times 10^{21} \\
   &=3\times 10^{21}\times 0,995^n+3\times 10^{21}\\
   &=3\times 10^{21}\left(0,995^n+1\right)\end{align*}$
   $\quad$
   c. $-1<0,995<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,995^n=0$.
   Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=3\times 10^{21}$.
   Cela signifie que sur le long terme il ne restera plus que $3\times 10^{21}$ noyaux atomiques.
   $\quad$
4. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $\begin{align*} u_n\pp 4,5\times 10^{21} &\ssi 3\times 10^{21}\left(0,995^n+1\right)\pp 4,5\times 10^{21} \\
   &\ssi 0,995^n+1 \pp 1,5 \\
   &\ssi 0,995^n\pp 0,5 \\
   &\ssi n\ln(0,995) \pp \ln(0,5) \\
   &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,995)} \qquad \text{car }\ln(0,995)<0\end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,995)}\approx 138,3$.
   C’est donc au bout de $139$ jours que le nombre de noyaux de polonium sera inférieur à $4,5\times 10^{21}$.
   $\quad$
5. a. On peut écrire $$\texttt{V = 0.995 * V + 1.5 * 10**19}$$ ou $$\texttt{V = 3 * 10**21 * (0.995**(k + 1))}$$
   $\quad$
   b. $52\times 7=364$.
   Il faut donc saisir $\texttt{noyaux(364)}$ pour que la fonction renvoie les relevés quotidien du nombre de noyaux contenus dans l’échantillon de polonium pendant $52$ semaines d’étude.
   $\quad$

 

 

Exercice 4

1. On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $3$ et de premier terme $u_0=7$.
   On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=7+3n$.
   $7+3n=2023\ssi 3n=2016 \ssi n=672$.
   Il y a donc $672+1=673$ termes.
   Réponse B
   $\quad$
2. La parité des deux termes consécutifs de la liste $\texttt{L}$ est différente.
   Le premier et le dernier terme de cette liste sont impairs.
   Il y a donc $\dfrac{673-1}{2}=336$ nombres pairs.
   La probabilité de tirer un nombre pair est donc égale à $\dfrac{336}{673}$.
   Réponse C
   $\quad$
3. La probabilité cherchée est $P(A\cap B)=\dfrac{34}{673}$.
   Réponse B
   $\quad$
4. $\left(A,\conj{A}\right)$ est un système complet d’événements fini.
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P\left(\conj{A}\cap B\right) \\
   &=\dfrac{168}{673}+P\left(\conj{A}\right)P_{\conj{A}}(B) \\
   &=\dfrac{34}{673}+\dfrac{673-168}{673}\times \dfrac{33}{505} \\
   &=\dfrac{67}{673}\end{align*}$
   Par conséquent
   $\begin{align*} P_B(A)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \\
   &=\dfrac{\dfrac{34}{673}}{~\dfrac{67}{673}~} \\
   &=\dfrac{34}{67} \end{align*}$
   Réponse D
   $\quad$
5. La probabilité qu’un nombre tiré de cette liste ne soit pas un multiple de $4$ est égale à $\dfrac{505}{673}$.
   La probabilité qu’aucun des $10$ nombres choisis ne soit un multiple de $4$ est donc égale à $\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}$.
   Réponse A
   $\quad$
   Remarque : On pouvait également également introduire une variable aléatoire $X$ égale à la quantité de nombres multiples de $4$ parmi les $10$ tirages effectués. Il faut alors prouver que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{168}{673}$. On demande donc de calculer $P(X=0)$.
   $\quad$

 

 

 

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie.
Les candidates et les candidats sont invités à faire figurer sur leurs copies toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse.

Exercice 1     5 points

On considère deux cubes $ABCDEFGH$ et $BKLCFJMG$ positionnés comme sur la figure suivante:

Le point $I$ est le milieu de $[EF]$.
Dans toute la suite de l’exercice, on se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.
Ainsi, par exemple, les points $F$, $G$ et $J$ ont pour coordonnées $F(1;0;1)$, $G(1;1;1)$ et $J(2;0;1)$.

1. Montrer que le volume du tétraèdre $FIGB$ est égal à  $\dfrac{1}{12}$ d’unité de volume.
   On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire d’une base} \times \text{hauteur correspondante}$$
   $\quad$
2. Déterminer les coordonnées du point $I$.
   $\quad$
3. Montrer que le vecteur $\vect{DJ}$ un vecteur normal au plan $(BIG)$.
   $\quad$
4. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est $2x-y+z-2 = 0$.
   $\quad$
5. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, orthogonale à $(BIG)$ et passant par $F$.
   $\quad$
6. a. La droite $d$ coupe le plan $(BIG)$ au point $L$.
   Montrer que les coordonnées du point L sont $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right)$.
   $\quad$
   b. Calculer la longueur $FL$.
   $\quad$
   c. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle $IGB$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(\e^{2x} – \e^x + 1\right).$ On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative représentée ci-dessous.

Un élève formule les conjectures suivantes à partir de cette représentation graphique :

1. L’équation $f(x) = 2$ semble admettre au moins une solution.
2. Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ semble être croissante est $[-0,5;+\infty[$.
3. L’équation de la tangente au point d’abscisse $x = 0$ semble être: $y = 1,5x$.

$\quad$

Le but de cet exercice est de valider ou rejeter les conjectures concernant la fonction $f$.

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

On définit sur $\R$ la fonction $g$ définie par $g(x) = \e^{2x}-\e^x + 1.$

1. Déterminer $\lim\limits_{x \to – \infty} g(x)$.
   $\quad$
2. Montrer que $\lim\limits_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$.
   $\quad$
3. Montrer que $g'(x) = \e^x\left(2\e^x-1\right)$ pour tout $x \in \R$.
   $\quad$
4. Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$.
   Dresser le tableau des variations de la fonction $g$ en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s’il y en a, ainsi que les limites de $g$ en $-\infty$ et $+ \infty$.
   $\quad$
5. En déduire le signe de $g$ sur $\R$.
   $\quad$
6. Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat de la question 5 en posant $X = \e^x$.
   $\quad$

Partie B

1. Justifier que la fonction $f$ est bien définie sur $\R$.
   $\quad$
2. La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$. Justifier que $f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$ pour tout $x \in \R$.
   $\quad$
3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$.
   $\quad$
4. Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[-\ln (2)~;~ +\infty\right[$.
   $\quad$
5. Montrer que l’équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[-\ln (2)~;~ +\infty\right[$ et déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
   $\quad$

Partie C

À l’aide des résultats de la partie B, indiquer, pour chaque conjecture de l’élève, si elle est vraie ou fausse. Justifier.

$\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Marie Sklodowska-Curie (1867-1934) est une physicienne (mais aussi chimiste et mathématicienne), polonaise naturalisée française.
Deux Prix Nobel lui ont été décernés: un en Physique (partagé avec son mari et Henri Becquerel) en 1903 et un en Chimie en 1911 pour la découverte de deux nouveaux éléments, le polonium (nom donné en hommage à ses origines) et le radium.

On décide d’étudier le rayonnement radioactif du polonium lors de la désintégration des noyaux atomiques au cours du temps.

Au début de l’expérience, on dispose d’un morceau de $2$ g de polonium.
On sait que $1$ g de polonium contient $3 \times 10^{21}$ noyaux atomiques.
On admet que, au bout de 24 heures, $0,5\%$ des noyaux se sont désintégrés et que, pour compenser cette disparition, on ajoute alors $0,005$ g de polonium.

On modélise la situation à l’aide d’une suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ ; on note $v_0$ le nombre de noyaux contenus dans le polonium au début de l’expérience. Pour $n \pg 1$, $v_n$ désigne le nombre de noyaux contenus dans le polonium au bout de $n$ jours écoulés.

1. a. Vérifier que $v_0 = 6\times 10^{21}$.
   $\quad$
   b. Expliquer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $v_{n+1} = 0,995v_n + 1,5 \times 10^{19}$.
   $\quad$
2. a. Démontrer, par récurrence sur $n$, que $0 \pp v_{n+1} \pp v_n$.
   $\quad$
   b. En déduire que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est convergente.
   $\quad$
3. On considère la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie, pour tout entier naturel $n$, par: $u_n = v_n-3 \times 10^{21}$.
   a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est géométrique de raison $0,995$.
   $\quad$
   b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $v_n = 3 \times 10^{21}\left(0,995^n + 1\right)$.
   $\quad$
   c. En déduire la limite de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$
4. Déterminer, par le calcul, au bout de combien de jours le nombre de noyaux de polonium sera inférieur à $4,5 \times 10^{21}$. Justifier la réponse.
   $\quad$
5. On souhaite disposer de la liste des termes de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$.
   Pour cela, on utilise une fonction appelée noyaux programmée en langage Python et retranscrite partiellement ci-après.
   $$\begin{array}{|l|l|}
   \hline
   1 &\text{def noyaux (n) :}\\
   2 &\qquad \text{V = 6 * 10 ** 21}\\
   3&\qquad \text{L = [V]}\\
   4&\qquad \text{for k in range (n):}\\
   5&\qquad \qquad \text{V = …}\\
   6&\qquad \qquad \text{L.append(V)}\\
   7&\qquad \text{return L}\\
   \hline\end{array}$$
   a. À la lecture des questions précédentes, proposer deux solutions différentes pour compléter la ligne 5 de la fonction noyaux afin qu’elle réponde au problème.
   $\quad$
   b. Pour quelle valeur de l’entier $\text{n}$ la commande $\text{noyaux(n) }$renverra-t-elle les relevés quotidiens du nombre de noyaux contenus dans l’échantillon de polonium pendant $52$ semaines d’étude ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Pour chacune des cinq questions de cet exercice, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

On considère $L$ une liste de nombres constituée de termes consécutifs d’une suite arithmétique de premier terme $7$ et de raison $3$, le dernier nombre de la liste est $2023$ soit : $L=[7,10,\ldots,2023]$.

Question 1 : Le nombre de termes de cette liste est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
2023&673&672&2016\\
\hline
\end{array}$$

Question 2 : On choisit au hasard un nombre dans cette liste.
La probabilité de tirer un nombre pair est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\dfrac{1}{2}&\dfrac{34}{673}&\dfrac{336}{673}&\dfrac{337}{673}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

On rappelle qu’on choisit au hasard un nombre dans cette liste.
On s’intéresse aux événements suivants :

• Événements  $A$ : « obtenir un multiple de $4$ »
• Événement $B$ : « obtenir un nombre dont le chiffre des unités est $6$ »

Pour répondre aux questions suivantes on pourra utiliser l’arbre pondéré ci-dessous et on donne $P(A\cap B)=\dfrac{34}{673}$.

Question 3 : La probabilité d’obtenir un multiple de $4$ ayant $6$ comme chiffre des unités est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\dfrac{168}{673}\times \dfrac{34}{673}&\dfrac{34}{673}&\dfrac{17}{84}&\dfrac{168}{34}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Question 4 : $P_B(A)$ est égale à :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\dfrac{36}{168}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{33}{168}&\dfrac{34}{67}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Question 5 : On choisit , au hasard, successivement, $10$ éléments de cette liste. Un élément peut être choisi plusieurs fois. La probabilité qu’aucun de ces $10$ nombres ne soit un multiple de $4$ est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}&1-\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}&\left(\dfrac{168}{673}\right)^{10}&1-\left(\dfrac{168}{673}\right)^{10}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$