Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 1 – 13 mars 2023

Centre étrangers – 13 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Pour tout $n\in \N$ on a:
    $\begin{align*} u_n&=\dfrac{1+2^n}{3+5^n} \\
    &=\dfrac{2^n\left(\dfrac{1}{2^n}+1\right)}{5^n\left(\dfrac{3}{5^n}+1\right)} \\
    &=\left(\dfrac{2}{5}\right)^n \times \dfrac{\dfrac{1}{2^n}+1}{\dfrac{3}{5^n}+1}\end{align*}$
    $-1<\dfrac{2}{5}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{2}{5}\right)^n=0$.
    De plus $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{2^n}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{3}{5^n}=0$
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=2x\ln(x)+x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=2x\ln(x)+x \\
    &=x\left(2\ln(x)+1\right)\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. $h(x)\pp 0$ sur $]-\infty;1]$. Par conséquent, $H$ est décroissante sur $]-\infty;1]$ et donc sur $]-\infty;0]$.
    Or $H(0)=0$.
    Par conséquent, pour tout $x\pp 0$, $H(x)\pg H(0)$ soit $H(x)\pg 0$.
    Réponse a
    $\quad$
  4. Il s’agit d’un algorithme de dichotomie qui est mis en place.
    Dans la boucle while, il faut que l’écart soit supérieur à $0,001$ pour continuer cette boucle. On exclut donc la proposition c.
    La fonction est croissante sur $[a;b]$. Par conséquent si $f(m)<0$ alors $a$ prend la valeur de $m$. On exclut la proposition a.
    Il faut recalculer la variable $m$ à chaque tour de boucle : on exclut la proposition b.
    Réponse d
    $\quad$
  5. On choisit $2$ boules vertes parmi les $3$ boules vertes de l’urne. La probabilité de tirer une boule bleue est égale à $\dfrac{7}{10}$ et celle de tirer une boule verte est égale à $\dfrac{3}{10}$.
    On répète $3$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{7}{10}$.
    La variable aléatoire égale au nombre de boules vertes tirées suit la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac{7}{10}$.
    La probabilité de tirer exactement deux boules vertes est égale à $\dbinom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$.
    Réponse d
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. La trottinette est en bon état lors de sa mise en service.
    Ainsi
    $\begin{align*} p_1&=p\left(B_1\right) \\
    &=p\left(B_0\right)p_{B_0}\left(B_1\right)\\
    &=1\times 0,9\\
    &=0,9\end{align*}$
    $\quad$
    $\left(B_1,\conj{B_1}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales.
    $\begin{align*} p_2&=p\left(B_1\cap B_2\right)+p\left(\conj{B_1}\cap B_2\right) \\
    &=p\left(B_1\right)p_{B_1}\left(B_2\right)+p\left(\conj{B_1}\right)p_{\conj{B_1}}\left(B_1\right) \\
    &=0,9\times 0,9+0,1\times 0,4 \\
    &=0,81+0,04\\
    &=0,85\end{align*}$
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  3. $\left(B_n,\conj{B_n}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales.
    $\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(B_n\cap B_{n+1}\right)+p\left(\conj{B_n}\cap B_{n+1}\right) \\
    &=p\left(B_n\right)p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)+p\left(\conj{B_n}\right)p_{\conj{B_n}}\left(B_{n+1}\right) \\
    &=0,9\times p_n+0,4\left(1-p_n\right) \\
    &=0,9p_n+0,4-0,4p_n\\
    &=0,5p_n+0,4\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout $n$ on pose $R(n):~p_n\pg 0,8$.
    Initialisation : $p_0=1\pg 0,8$ donc $R(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $R(n)$ vraie.
    $\begin{align*} p_n\pg 0,8& \ssi 0,5p_n\pg 0,4 \\
    &\ssi 0,5p_n +0,4\pg 0,8 \\
    &\ssi p_{n+1} \pg 0,8\end{align*}$
    Donc $R(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété $R$ est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $p_n \pg 0,8$.
    $\quad$
    b. L’entreprise peut annoncer qu’au moins $80\%$ du parc de trottinette est bon état à tout moment.
    $\quad$
  5. a. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-0,8 \\
    &=0,5p_n+0,4-0,8 \\
    &=0,5p_n-0,4 \\
    &=0,5\left(p_n-0,8\right) \\
    &=0,5u_n\end{align*}$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_0=p_0-0,8=0,2$.
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a donc $u_n=0,2\times 0,5^n$.
    Ainsi $p_n=0,8+u_n=0,8+0,2\times 0,5^n$.
    $\quad$
    c. $0<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,8$.
    $\quad$

Partie B

  1. On répète $15$ fois de manière indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,8$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,8$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X=15)&=0,8^{15} \\
    &\approx 0,035\end{align*}$
    La probabilité que les $15$ trottinettes soient en bon état est égale à $0,8^{15} \approx 0,035$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(X\pg 10)&=1-p(X\pp 9) \\
    &\approx 0,939\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins $10$ trottinettes soient en bon état dans un lot de $15$ est environ égale à $0,939$.
    $\quad$
  4. Cela signifie qu’en moyenne, dans un lot de $15$ trottinettes, $12$ sont en bon état.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. $\vect{BF}=\dfrac{1}{2}\vect{AE}$ et $\vec{k}=\dfrac{1}{8}\vect{AE}$.
    Donc $E$ a pour coordonnées $(0,0,8)$, $F$ a pour coordonnées $(4,0,4)$
    Ainsi $I$, milieu de $[EF]$ a pour coordonnées $(2,0,6)$.
    $J$ est le milieu de $[AE]$ donc $J$ a pour coordonnées $(0,0,4)$.
    $\quad$
  2. a. On a $\vect{IJ}\begin{pmatrix} -2\\0\\-2\end{pmatrix}$.
    $G$ a pour coordonnées $(4,4,4)$ donc $\vect{IG}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2\\4\\-2\end{pmatrix}$.
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même coordonnée nulle.
    D’une part $\vec{n}.\vect{IJ}=2+0-2=0$
    D’autre part $\vec{n}.\vect{IG}=-2+4-2=0$
    $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IGJ)$.
    $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(IGJ)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(IGJ)$ est alors de la forme $-x+y+z+d=0$.
    $I(2,0,6)$ appartient à ce plan. Donc $-2+0+6+d=0 \ssi d=-4$.
    Une équation cartésienne du plan $(IGJ)$ est donc $-x+y+z-4=0$.
    $\quad$
  3. $H$ a pour coordonnées $(0,4,8)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $d$ est $\begin{cases} x=-t\\y=4+t\\z=8+t\end{cases}, \quad \forall t\in \R$.
    $\quad$
  4. Montrons que le point $L’\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{16}{3}\right)$ appartient à la droite et au plan.
    $-\dfrac{8}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{16}{3}-4= \dfrac{12}{3}-4  =0$. $L’$ appartient au plan $(IGJ)$.
    Prenons $t=-\dfrac{8}{3}$ dans la représentation paramétrique de $d$.
    On obtient alors $x=\dfrac{8}{3}$, $y=4-\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3}$ et $z=8-\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}$.
    $L’$ appartient alors également à $d$.
    Ainsi $L’$ appartient à la fois à $d$ et au plan $(IGJ)$. La droite $d$ est normale au plan $(IGJ)$; elle n’est donc pas incluse dedans.
    Par conséquent les coordonnées du point $L$ sont bien $\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{16}{3}\right)$.
    $\quad$
  5. La distance cherchée est $HL$.
    $\vect{HL}\begin{pmatrix} \dfrac{8}{3}\\[2mm]-\dfrac{8}{3}\\[2mm]-\dfrac{8}{3}\end{pmatrix}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} HL&=\sqrt{\left(\dfrac{8}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{8}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{8}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{64}{3}} \\
    &=\dfrac{8}{\sqrt{3}}\end{align*}$
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*} \vect{IG}.\vect{IJ}&=-4+0+4 \\
    &=0\end{align*}$
    Les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{IG}$ sont orthogonaux et le triangle $IGJ$ est rectangle en $I$.
    $\quad$
  7. On a :
    $\begin{align*} IJ&=\sqrt{(-2)^2+0^2+(-2)^2} \\
    &=\sqrt{8}\end{align*}$
    $\begin{align*} IG&=\sqrt{2^2+4^2+(-2)^2} \\
    &=\sqrt{24}\end{align*}$Le volume du tétraèdre $IGJH$ est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{IGJ}\times HL \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{IJ\times IG}{2}\times HL \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{8}\times \sqrt{24}}{2}\times \dfrac{8}{\sqrt{3}} \\
    &=\dfrac{32}{3}\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    Pour tout $t\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=-(-t+1)\e^{-0,5t^2+t+2} \\
    &=(t-1)\e^{-0,5t^2+t+2}\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent $f'(t)$ est du signe de $t-1$.
    Or $t-1<0 \ssi t<1$ et $t-1=0 \ssi t=1$.
    Ainsi la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0;1[$.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$ d’après la question précédente.
    $\lim\limits_{t\to +\infty} (-0,5t^2t+2) = \lim\limits_{t\to +\infty} -0,5t^2=-\infty$ (limite des termes de plus haut degré).
    Or $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{t\to +\infty} \e^{-0,5t^2+t+2}=0$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=\e^3$.
    Or $\e^3 \approx 20,086$.
    Ainsi, après $1$ heure, la population de bactéries va croître jusqu’à environ $20~086<21~000$ entités.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[0;1]$.
    $f(0)=\e^3-\e^2\approx 12,7>10$
    $f(1)\approx 7,9<10$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=10$ admet une unique solution sur $[0;1]$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
    $f(1)\approx 7,9<10$
    $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=\e^3>10$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=10$ admet une unique solution sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$
    Finalement l’équation $f(t)=10$ admet exactement deux solutions sur $[0;+\infty[$.
    La population de bactéries aura un effectif de $10~000$ à deux reprises au cours du temps.
    Affirmation 3 vraie.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1  (QCM)     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie. Aucune justification n’est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

  1. Question 1 :
    On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par $u_n=\dfrac{1+2^n}{3+5^n}$.
    Cette suite :
    a. diverge vers $+\infty$
    b. converge vers $\dfrac{2}{5}$
    c. converge vers $0$
    d. converge vers $\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
  2. Question 2 :
    Soit $f$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x)= x^2\ln(x)$. L’expression de la fonction dérivée de $f$ est :
    a. $f'(x)=2x\ln(x)$
    b. $f'(x)=x\left(2\ln(x)+1\right)$
    c. $f'(x)=2$
    d. $f'(x)=x$
    $\quad$
  3. Question 3 :
    On considère une fonction ℎ définie et continue sur $\R$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous :
    $\quad$

    $\quad$
    On note $H$ la primitive de $h$ définie sur $\R$ qui s’annule en $0$.
    Elle vérifie la propriété :
    a. $H$ positive sur $]-\infty ; 0]$.
    b. $H$ négative sur $]-\infty ; 1]$.
    c. $H$ croissante sur $]-\infty ; 1]$.
    d. $H$ croissante sur $\R$.
    $\quad$
  4. Question 4 :
    Soit deux réels $a$ et $b$ avec $a < b$.
    On considère une fonction $f$ définie, continue, strictement croissante sur l’intervalle $[a ; b]$ et qui s’annule en un réel $\alpha$.
    Parmi les propositions suivantes, la fonction en langage Python qui permet de donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,001$ est :
    $$\begin{array}{lll}
    \begin{array}{l}
    \textbf{a.}\\
    \textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
    \hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) >= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
    \hspace{1,6cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
    \hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
    \end{array}
    &\phantom{1234}&
    \begin{array}{l}
    \textbf{c.}\\
    \textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
    \hspace{0,8cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
    \hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) <= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
    \hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
    \end{array} \\
    \begin{array}{l}
    \textbf{b.}\\
    \textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
    \hspace{0,8cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
    \hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) >= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
    \hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
    \end{array}
    &\phantom{1234}&
    \begin{array}{l}
    \textbf{d.}\\
    \textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
    \hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) >= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
    \hspace{1,6cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
    \hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
    \end{array}\end{array}$$
    $\quad$
  5. Question 5 :
    Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher dont $7$ sont bleues et les autres vertes. On effectue trois tirages successifs avec remise. La probabilité d’obtenir exactement deux boules vertes est :
    a. $\left(\dfrac{7}{10}\right)^2\times \dfrac{3}{10}$
    b. $\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$
    c. $\dbinom{10}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$
    d. $\dbinom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2       6 points

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Dans une grande ville française, des trottinettes électriques sont mises à disposition des usagers. Une entreprise, chargée de l’entretien du parc de trottinettes, contrôle leur état chaque lundi.

$\quad$

Partie A

On estime que :

  • lorsqu’une trottinette est en bon état un lundi, la probabilité qu’elle soit encore en bon état le lundi suivant est $0,9$ ;
  • lorsqu’une trottinette est en mauvais état un lundi, la probabilité qu’elle soit en bon état le lundi suivant est $0,4$.

On s’intéresse à l’état d’une trottinette lors des phases de contrôle.
Soit $n$ un entier naturel. On note $B_n$ l’événement « la trottinette est en bon état $n$ semaines après sa mise en service » et $p_n$ la probabilité de $B_n$.
Lors de sa mise en service, la trottinette est en bon état. On a donc $p_0=1$.

  1. Donner $p_1$ et montrer que $p_2 = 0,85$. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :
    $\quad$

    $\quad$
  3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,4$.
    $\quad$
  4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $p_n\pg 0,8$.
    $\quad$
    b. À partir de ce résultat, quelle communication l’entreprise peut-elle envisager pour valoriser la fiabilité du parc ?
    $\quad$
  5. a. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=p_n-0,8$.
    Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
    $\quad$
    b. En déduire l’expression de $u_n$ puis de $p_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
    $\quad$

Partie B
Dans cette partie, on modélise la situation de la façon suivante :

  • l’état d’une trottinette est indépendant de celui des autres ;
  • la probabilité qu’une trottinette soit en bon état est égale à $0,8$.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à un lot de $15$ trottinettes, associe le nombre de trottinettes en bon état. Le nombre de trottinettes du parc étant très important, le prélèvement de $15$ trottinettes peut être assimilé à un tirage avec remise.

  1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que les $15$ trottinettes soient en bon état.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité qu’au moins $10$ trottinettes soient en bon état dans un lot de $15$.
    $\quad$
  4. On admet que $E(X) = 12$. Interpréter le résultat.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3       6 points

On considère le prisme droit $ABFEDCGH$, de base $ABFE$, trapèze rectangle en $A$.
On associe à ce prisme le repère orthonormé $\left(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ tel que :
$\vec{i}=\dfrac{1}{4}\vect{AB}$ ; $\vec{j}=\dfrac{1}{4}\vect{AD}$ ; $\vec{k}=\dfrac{1}{8}\vect{AE}$.
De plus on a $\vect{BF}=\dfrac{1}{2}\vect{AE}$.
On note $I$ le milieu du segment $[EF]$.
On note $J$ le milieu du segment $[AE]$.

 

  1. Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
    $\quad$
  2. Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$.
    a. Montrer que le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan $(IGJ)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(IGJ)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, perpendiculaire au plan $(IGJ)$ et passant par $H$.
    $\quad$
  4. On note $L$ le projeté orthogonal du point $H$ sur le plan $(IGJ)$.
    Montrer que les coordonnées de $L$ sont $\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{16}{3}\right)$.
    $\quad$
  5. Calculer la distance du point $H$ au plan $(IGJ)$.
    $\quad$
  6. Montrer que le triangle $IGJ$ est rectangle en $I$.
    $\quad$
  7. En déduire le volume du tétraèdre $IGJH$.
    On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule :
    $$V=\dfrac{1}{3}\times (\textit{aire de la base}) \times \textit{hauteur}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4       3 points

Un biologiste a modélisé l’évolution d’une population de bactéries (en milliers d’entités) par la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par $f(t) = \e^3-\e^{-0,5t^2+t+2}$ où $t$ désigne le temps en heures depuis le début de l’expérience.

À partir de cette modélisation, il propose les trois affirmations ci-dessous. Pour chacune d’elles, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

  • Affirmation 1 : « La population augmente en permanence ».
    $\quad$
  • Affirmation 2 : « À très long terme, la population dépassera $21~000$ bactéries ».
    $\quad$
  • Affirmation 3 : « La population de bactéries aura un effectif de $10~000 $ à deux reprises au cours du temps ».
    $\quad$

$\quad$