Exercice 1

1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1\times\e^x-x\e^x}{\left(\e^x\right)^2} \\
   &=\dfrac{(1-x)\e^x}{\e^{2x}} \\
   &=\dfrac{1-x}{\e^x} \\
   &=(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
   Réponse C
   $\quad$
2. La fonction $f\dsec$ semble donc strictement positive sur $]-3;-1[$ et strictement négative sur $]-1;1[$.
   La fonction $f’$ semble donc croissante sur $[-3;-1]$ et strictement décroissante sur $[-1;1]$.
   Ainsi $f’$ admet un maximum en $x=-1$.
   Réponse D
   $\quad$
3. On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)\e^{-x^2}$.
   Elle est dérivable sur $\R$ en tant que produit et composée de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$
   $\begin{align*} F'(x)&=-\dfrac{1}{2}\left(2x\e^{-x^2}+\left(x^2+1\right)\times (-2x)\e^{-x^2}\right)\\
   &=-\dfrac{1}{2}\left(2x\e^{-x^2}-2x^3\e^{-x^2}-2x\e^{-x^2}\right) \\
   &=-\dfrac{1}{2}\times \left(-2x^3\right) \e^{-x^2}\\
   &=f(x)\end{align*}$
   Réponse C
   $\quad$
4. Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*} \dfrac{\e^x+1}{\e^x-1}&=\dfrac{\e^x\left(1+\e^{-x}\right)}{\e^x\left(1-\e^{-x}\right)} \\
   &=\dfrac{1+\e^{-x}}{1-\e^{-x}}\end{align*}$
   Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$.
   Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x+1}{\e^x-1}=1$.
   Réponse B
   $\quad$
5. Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{2x+1}+K$
   $\begin{align*} F(0)=1&\ssi \dfrac{1}{2}\e+K=1 \\
   &\ssi K=1-\dfrac{1}{2}\e\end{align*}$
   Donc, pour tout réel $x$, $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{2x+1}+1-\dfrac{1}{2}\e$.
   Réponse C
   $\quad$
6. La fonction $f$ semble concave sur $[-2;1]$ et convexe sur $[1;4]$.
   Par conséquent $f\dsec(x)$ est négatif sur $[-2;1]$ et positif sur $[1;4]$ en ne s’annulant qu’en $1$.
   Réponse A
   $\quad$

 

Exercice 2

1. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=0$ donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$.
   $\quad$
   $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} x\ln(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
   $\quad$
2. a. Pour tout réel $x$ strictement positif,
   $\begin{align*} f'(x)&=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x} \\
   &=\ln(x)+1\end{align*}$
   $\quad$
   b. $\ln(x)+1=0 \ssi \ln(x)=-1 \ssi x=\e^{-1}$
   $\ln(x)+1>0\ssi \ln(x)>-1 \ssi x>\e^{-1}$
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   
   $\quad$
   c. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left]0;\e^{-1}\right[$
   Donc pour tout $x\in \left]0;\e^{-1}\right]$ on a $0<1-\e^{-1}\pp f(x) <1$.
   $f(1)=1$.
   La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]0;\e^{-1}\right[$
   Donc pour tout $x\in \left[\e^{-1};1\right[$ on a $0<1-\e^{-1}\pp f(x) < 1$.
   Ainsi, pour tout $x\in [0;1]$ on a $0<f(x)<1$.
   $\quad$
3. a. $f'(1)=1$ et $f(1)=1$
   Une équation de $(T)$ est donc $y=1\times (x-1)+1$ soit $y=x$.
   $\quad$
   b. La fonction $f’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables.
   Pour tout réel $x\in ]0;+\infty[$ on a $f\dsec(x)=\dfrac{1}{x}>0$.
   La fonction $f$ est donc convexe sur $]0;+\infty[$.
   $\quad$
   c. La courbe $C_f$ est donc au-dessus de toutes ses tangentes en particulier au-dessus de $T$.
   Donc, pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x)\pg x$.
   $\quad$
4. a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0<u_n<1$.
   Initialisation : $u_0\in ]0;1[$ par définition. Donc $P(0)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
   On a $0<u_n<1$ donc, d’après la question 2.c., $0<f\left(u_n\right)<1$ soit $0<u_{n+1}<1$.
   $P(n+1)$ est donc vraie.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0<u_n<1$.
   $\quad$
   b. Soit $n\in \N$
   D’après la question 3.c. on a $f\left(u_n\right)\pg u_n$ soit $u_{n+1}\pg u_n$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
   $\quad$
   c. La suite $\left(un\right)$ est croissante et majorée par $1$. Elle est donc convergente.
   $\quad$

 

 

 

Exercice 3

1. $\vect{AB}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}$, $\vect{AC}\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}$ et $\vect{AD}\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}$
   $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels $x$ et $y$ tels que :
   $\begin{align*} \vect{AD}=x\vect{AB}+y\vect{AC}&\ssi \begin{cases} 3x+3y&=-3\\3x&=6\\3x-3y&=-3\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x+y&=-3\\x&=2\\x-y&=-1\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=2\\y=-5\\y=3\end{cases}\end{align*}$
   Les deux dernières lignes du système sont incompatibles.
   Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont donc pas coplanaires.
   $\quad$
2. a.
   $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=3\times 3+3\times 0+3\times (-3) \\
   &=9+0-9\\
   &=0\end{align*}$
   Ces deux vecteurs sont orthogonaux.
   Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$.
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AB}&=-3\times 3+6\times 3+(-3)\times 3 \\
   &=-9+18-9 \\
   &=0\end{align*}$
   $\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AC}&=-3\times 3+6\times 0+(-3)\times (-3) \\
   &=-9+0+9 \\
   &=0\end{align*}$
   Le vecteur $\vect{AD}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (ils sont orthogonaux d’après la question précédente) du plan $(ABC)$.
   La droite $(AD)$ est par conséquent perpendiculaire au plan $(ABC)$.
   $\quad$
   c.
   $\begin{align*} AD&=\sqrt{(-3)^2+6^2+(-3)^2} \\
   &=\sqrt{9+36+9} \\
   &=\sqrt{54}\end{align*}$
   $\begin{align*} AB&=\sqrt{3^2+3^2+3^2} \\
   &=\sqrt{9+9+9} \\
   &=\sqrt{27}\end{align*}$
   $\begin{align*} AC&=\sqrt{3^2+0^2+(-3)^2} \\
   &=\sqrt{9+0+9} \\
   &=\sqrt{18}\end{align*}$
   L’aire du triangle $ABC$ est
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AB\times AC}{2} \\
   &=\dfrac{\sqrt{27}\times \sqrt{18}}{2}\\
   &=\dfrac{9\sqrt{6}}{2}\end{align*}$
   Par conséquent le volume du tétraèdre $ABCD$ est
   $\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times AD\times \mathscr{A} \\
   &=\dfrac{1}{3}\times \sqrt{54}\times \dfrac{9\sqrt{6}}{2}\\
   &=27\end{align*}$
   $\quad$
3. a. $\vect{BH}\begin{pmatrix}-1\\-1\\-4\end{pmatrix}$, $\vect{BC}\begin{pmatrix}0\\-3\\-6\end{pmatrix}$ et $\vect{BD}\begin{pmatrix}-6\\3\\-6\end{pmatrix}$
   $\begin{align*} \vect{BH}=\alpha\vect{BC}+\beta\vect{BD}&\ssi \begin{cases} -6\beta&=-1 \\
   -3\alpha+3\beta&=-1\\
   -6\alpha-6\beta&=-4\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} \beta=\dfrac{1}{6}\\\alpha=\dfrac{1}{2}\end{cases}\end{align*}$
   Par conséquent $\vect{BH}=\dfrac{1}{2}\vect{BC}+\dfrac{1}{6}\vect{BD}$.
   $\quad$
   b. $\vect{AH}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$
   $\begin{align*} \vect{AH}.\vect{BC}&=2\times 0+2\times (-3)+(-1)\times (-6) \\
   &=0\end{align*}$
   $\begin{align*} \vect{AH}.\vect{BD}&=2\times (-6)+2\times 3+(-1)\times (-6) \\
   &=0\end{align*}$
   Le vecteur $\vect{AH}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BCD)$.
   C’est donc un vecteur normal à ce plan.
   D’après la question précédente, $H$ appartient au plan $(BCD)$.
   Donc $H$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $(BCD)$.
   $\quad$
   c.
   $\begin{align*} AH&=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2} \\
   &=\sqrt{9} \\
   &=3\end{align*}$
   La distance du point $A$ au plan $(BCD)$ est égale à $3$ unités de longueur.
   $\quad$
4. On note $\mathscr{A}$ l’aire du triangle $BCD$.
   $\begin{align*} V=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times h&\ssi 27=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times 3\\
   &\ssi \mathscr{A}=27\end{align*}$
   $\quad$

Exercice 4

1. a. On appelle :
   $\bullet ~~N_i$ l’événement « le jeton tiré lors du $i$-ème tirage est noir » ;
   $\bullet ~~B_i$ l’événement « le jeton tiré lors du $i$-ème tirage est blanc ».
   On obtient donc l’arbre pondéré suivant :
   $ \quad$
   $\quad$
   b. La probabilité de perdre $9$ € sur une partie est égale à :
   $\begin{align*} P\left(B_1\cap B_2\right)&=P\left(B_1\right)\times P_{B_1}\left(B_2\right) \\
   &=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{3}{5} \\
   &=\dfrac{9}{25}\end{align*}$
   $\quad$
2. a. À chaque tirage, la probabilité de tirer un jeton noir vaut $\dfrac{N}{N+3}$ et la probabilité de tirer un jeton blanc vaut $\dfrac{3}{N+3}$.
   La probabilité de tirer deux jetons blancs est égale à $\left(\dfrac{3}{N+3}\right)^2$.
   La probabilité de tirer deux jetons noirs est égale à $\left(\dfrac{N}{N+3}\right)^2$.
   Par conséquent la probabilité de tirer deux jetons de couleurs différentes est égale à :
   $\begin{align*} p&=1-\left(\dfrac{3}{N+3}\right)^2-\left(\dfrac{N}{N+3}\right)^2 \\
   &=1-\dfrac{9}{(N+3)^2}-\dfrac{N^2}{(N+3)^2} \\
   &=\dfrac{(N+3)^2-9-N^2}{(N+3)^2} \\
   &=\dfrac{N^2+6N+9-9-N^2}{(N+3)^2} \\
   &=\dfrac{6N}{(N+3)^2}\end{align*}$
   On obtient ainsi la loi de probabilité suivante :
   $\begin{array}{|c|c|c|c|}
   \hline
   x&-9&-1&5\\
   \hline
   P(X=x)&\dfrac{9}{(N+3)^2}&\dfrac{N^2}{(N+3)^2}&\dfrac{6N}{(N+3)^2}\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. Le discriminant de $-x^2+30x-81$ est $\Delta=576>0$.
   Les racines de $-x^2+3x-81$ sont donc $x_1=\dfrac{-30-\sqrt{576}}{-2}=27$ et $x_1=\dfrac{-30+\sqrt{576}}{-2}=3$.
   Le coefficient principal du polynôme du second degré est $a=-1<0$.
   Par conséquent l’ensemble solution de $-x^2+3x-81>0$ est $]3;27[$.
   $\quad$
   c. Le jeu est favorable au joueur si, et seulement si, l’espérance de $X$ est strictement positive.
   $\begin{align*} E(X)>0&\ssi -9\times \dfrac{9}{(N+3)^2}-1\times \dfrac{N^2}{(N+3)^2}+5\times \dfrac{6N}{(N+3)^2}>0 \\
   &\ssi -81-N^2+30N>0\end{align*}$
   D’après la question précédente, le jeu est favorable au joueur si, et seulement si, $N$ est un entier naturel compris entre $4$ et $26$, tous les deux inclus.
   $\quad$
   d. On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{-x^2+30x-81}{(x+3)^2}$.
   Elle est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
   Pour tout réel $x\in[0;+\infty[$ on a
   $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{(-2x+30)(x+3)^2-2(x+3)\left(-x^2+30x-81\right)}{(x+3)^4} \\
   &=\dfrac{(-2x+30)(x+3)-2\left(-x^2+30x-81\right)}{(x+3)^3} \\
   &=\dfrac{-2x^2-6x+30x+90+2x^2-60x+162}{(x+3)^3}\\
   &=\dfrac{-36x+252}{(x+3)^3}\end{align*}$
   $g'(x)$ est donc du signe de $-36x+252$ sur $[0;+\infty[$.
   Or $-36x+252>0\ssi -36x>-252 \ssi x<7$.
   Par conséquent $g$ est strictement croissante sur $[0;7]$ et strictement décroissante sur $[7;+\infty[$.
   Elle atteint donc son maximum pour $x=7$.
   Or $E(X)=g(N)$ et $7\in [4;26]$.
   Le gain moyen est donc maximal s’il y a $7$ jetons noirs.
   $\quad$
3. $N=7$ donc $P(X=5)=0,42$.
   On répète $10$ fois de façons indépendantes la même expérience de Bernoulli. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de joueur ayant gagné $5$ euros.
   $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,42$.
   $\begin{align*} P(Y\pg 1)&=1-P(Y=0) \\
   &=1-(1-0,42)^{10} \\
   &=1-0,58^{10}\\
   &\approx 0,996\end{align*}$
   La probabilité d’avoir au moins un joueur gagnant $5$ euros est environ égale à $0,996$.
   $\quad$

 

Exercice 1     7 points

Thème : Fonction exponentielle

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question en rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $$f(x)=\dfrac{x}{\e^x}$$
   On suppose que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
   a. $f'(x)=\e^{-x}$
   b. $f'(x)=x\e^{-x}$
   c. $f'(x)=(1-x)\e^{-x}$
   d. $f'(x)=(1+x)\e^{-x}$
   $\quad$
2. Soit $f $ une fonction deux fois dérivable sur l’intervalle $[-3;1]$. On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée seconde $f\dsec$.
   On peut alors affirmer que :
   a. La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[-1;1]$
   b. La fonction $f$ est concave sur l’intervalle $[-2;0]$
   c. La fonction $f’$ est décroissante sur l’intervalle $[-2;0]$
   d. La fonction $f’$ admet un maximum en $x=-1$
   $\quad$
3. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=x^3\e^{-x^2}$$
   Une primitive $F$ de la fonction $f$ est définie sur $\R$ par :
   a. $F(x)=-\dfrac{1}{6}\left(x^3+1\right)\e^{-x^2}$
   b. $F(x)=-\dfrac{1}{4}x^4\e^{-x^2}$
   c. $F(x)=-\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)\e^{-x^2}$
   d. $F(x)=x^2\left(3-2x^2\right)\e^{-x^2}$
   $\quad$
4. Que vaut  $$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x+1}{\e^x-1}$$
   a $-1$
   b. $1$
   c. $+\infty$
   d. N’existe pas
   $\quad$
5. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{2x+1}$.
   La seule primitive de $F$ sur $\R$ de la fonction $f$ telle que $F(0)=1$ est la fonction :
   a. $x\mapsto 2\e^{2x+1}-2\e+1$
   b. $x\mapsto \e^{2x+1}-\e$
   c. $x\mapsto \dfrac{1}{2}\e^{2x+1}-\dfrac{1}{2}\e+1$
   d. $x\mapsto \e^{x^2+x}$
   $\quad$
6. Dans un repère, on a tracé ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $[-2;4]$.
   Parmi les courbes suivantes, laquelle représente la fonction $f\dsec$, dérivée seconde de $f$?
   a.
   b. c. d. $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Thème : Fonction logarithme et suite

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par $$f(x)=x\ln(x)+1$$

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ ainsi que sa limite en $+\infty$.
   $\quad$
2. a. On admet que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on notera $f’$ sa fonction dérivée.
   Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $$f'(x)=1+\ln(x)$$
   $\quad$
   b. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
   On y fera figurer la valeur exacte de l’extremum de $f$ sur $]0;+\infty[$ et les limites.
   $\quad$
   c. Justifier que pour tout $x\in ]0;1[$, $f(x)\in ]0;1[$.
   $\quad$
3. a. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $1$.
   $\quad$
   b. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
   $\quad$
   c. En déduire que pour tout réel $x$ strictement positif $$f(x)\pg x$$
   $\quad$
4. On définit la suite $\left(u_n\right)$ par son premier terme $u_0$ élément de l’intervalle $]0;1[$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)$$
   a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $0<u_n<1$.
   $\quad$
   b. Déduire de la question 3c la croissance de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
   c. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Thème : Géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé $Oijk$.

On considère les points $A(3;-2;2)$, $B(6;1;5)$, $C(6;-2;-1)$ et $D(0;4;-1)$.

On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times h$$
où $\mathscr{A}$ est l’aire de la base et $h$ la hauteur correspondante.

1. Démontrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
   $\quad$
2. a. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.
   $\quad$
   b. Montrer que la droite $(AD)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
   $\quad$
   c. En déduire le volume du tétraèdre $ABCD$.
   $\quad$
3. On considère le point $H(5;0;1)$.
   a. Montrer qu’il existe des réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\vect{BH}=\alpha \vect{BC}+\beta\vect{BD}$.
   $\quad$
   b. Démontrer que $H$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $(BCD)$.
   $\quad$
   c. En déduire la distance du point $A$ au plan $(BCD)$.
   $\quad$
4. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle $BCD$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Thème : Probabilités

Une urne contient des jetons blancs et noirs tous indiscernables au toucher.

Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux jetons de cette urne.

On établit la règle de jeu suivante :

• un joueur perd $9$ euros si les deux jetons tirés sont de couleur blanche;
• un joueur perd $1$ euro si les deux jetons tirés sont de couleur noire;
• un joueur gagne $5$ euros si les deux jetons tirés sont de couleurs différentes.

1. On considère que l’urne contient $2$ jetons noirs et $3$ jetons blancs.
   a. Modéliser la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
   $\quad$
   b. Calculer la probabilité de perdre $9$ € sur une partie.
   $\quad$
2. On considère maintenant que l’urne contient $3$ jetons blancs et au moins deux jetons noirs mais on ne connait pas le nombre exact de jetons noirs. On appellera $N$ le nombre de jetons noirs.
   a. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le gain du jeu pour une partie.
   Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.
   $\quad$
   b. Résoudre l’inéquation pour $x$ réel : $$-x^2+30x-81>0$$
   $\quad$
   c. En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer le nombre de jetons noirs que l’une doit contenir afin que ce jeu soit favorable au joueur.
   $\quad$
   d. Combien de jetons noirs le joueur doit-il demander afin d’obtenir un gain moyen maximal?
   $\quad$
3. On observe $10$ joueurs qui tentent leur chance en effectuant une partie de ce jeu, indépendamment les uns des autres. On suppose que $7$ jetons noirs ont été placés dans l’urne (avec $3$ jetons blancs). Quelle est la probabilité d’avoir au moins $1$ joueur gagnant $5$ euros?
   $\quad$

$\quad$