Exercice 1

Partie A

1. $\lim\limits_{x\to 0^+} x^2=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln\left(x^2\right)=-\infty$
   De plus $\lim\limits_{x\to 0^+} x-2=-2$ par conséquent $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$
   $\quad$
   $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln\left(x^2\right)=+\infty$
   De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} x-2=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$
   $\quad$
2. Pour tout réel $x>0$ on a :
   $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{2x}{x^2}+1 \\
   &=\dfrac{2}{x}+1 \end{align*}$
   Pour tout réel $x>0$ on a $\dfrac{2}{x}>0$ et donc $g'(x)>0$.
   La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
   $\quad$
3. a. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
   $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty [$.
   D’après le théorème de la bijection (ou le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$.
   $\quad$
   b. D’après la calculatrice $\alpha \approx 1,370~2$. Par conséquent $1,37<\alpha<1,38$.
   $\quad$
4. La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et s’annule en $\alpha$.
   On en déduit le tableau de signes suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$

Partie B

1. a. $\lim\limits_{x\to 0^+} x-2=-2$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{x-2}{x}=-\infty$.
   Or $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$. Par conséquent $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$.
   $\quad$
   b. La courbe $\mathscr{C}_f$ possède donc une asymptote verticale d’équation $x=0$.
   $\quad$
2. Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=\left(1-\dfrac{2}{x}\right)\ln(x)$.
   $\lim\limits_{x\to +\infty} 1-\dfrac{2}{x}=1$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
   $\quad$
3. Pour tout réel $x>0$ on a, en utilisant l’expression de $f(x)$ obtenue à la question précédente :
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2}{x^2}\ln(x)+\left(1-\dfrac{2}{x}\right)\times \dfrac{1}{x} \\
   &=\dfrac{2\ln(x)+\left(1-\dfrac{2}{x}\right)x}{x^2} \\
   &=\dfrac{\ln\left(x^2\right)+x-2}{x^2} \\
   &=\dfrac{g(x)}{x^2}\end{align*}$
   $\quad$
4. D’après la question A.4. $f'(x)>0 \ssi x>\alpha$ et $f'(\alpha)=0$.
   La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]0;\alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha;+\infty[$.
   $\quad$

Partie C

Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f(x)-\ln(x)&=\dfrac{(x-2)}{x}\ln(x)-\ln(x) \\
&=\dfrac{(x-2)\ln(x)-x\ln(x)}{x} \\
&=\dfrac{x\ln(x)-2\ln(x)-x\ln(x)}{x} \\
&=\dfrac{-2\ln(x)}{x}\end{align*}$
Or $\ln(x)>0 \ssi x>1$.

La courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de la courbe représentative de la fonction $\ln$ sur $]0;1]$ et en dessous sur $[1;+\infty[$.

$\quad$

Exercice 2

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   $\quad$
   $\quad$
2. $\left(T_2,V_2\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p_3&=p\left(T_3\right) \\
   &=p\left(T_2\cap T_3\right)+p\left(V_2\cap T_3\right) \\
   &=p\left(T_2\right)p_{T_2}\left(T_3\right)+p\left(V_2\right)p_{V_2}\left(T_3\right) \\
   &=0,8\times 0,8+0,2\times 0,6 \\
   &=0,76\end{align*}$
   $\quad$
3. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_{V_3}\left(T_2\right)&=\dfrac{p\left(V_3\cap T_2\right)}{p\left(V_3\right) } \\
   &=\dfrac{p\left(T_2\right)p_{T_2}\left(V_3\right)}{1-p\left(T_3\right)} \\
   &=\dfrac{0,8\times 0,2}{0,24} \\
   &=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
   $\quad$
4. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
5. Pour tout $n\in \N$, $\left(T_n,V_n\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(T_{n+1}\right) \\
   &=p\left(T_n\cap T_{n+1}\right)+p\left(V_n\cap T_{n+1}\right) \\
   &=p\left(T_n\right)p_{T_n}\left(T_{n+1}\right)+p\left(V_n\right)p_{V_n}\left(T_{n+1}\right) \\
   &=0,8\times p_n+0,6\times \left(1-p_n\right) \\
   &=0,8p_n+0,6-0,6p_n \\
   &=0,2p_n+0,6\end{align*}$
   $\quad$
6. Pour tout $n\in \N^*$, on pose $R(n):~p_n=0,75+0,25\times 0,2^{n-1}$
   Initialisation : $p_1=1$ et $0,7+0,25\times 0,2^0=0,75+0,25=1$.
   Donc $R(1)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n\in \N^*$. On suppose que $R(n)$ est vraie.
   $\begin{align*} p_{n+1}&=0,2p_n+0,6 \\
   &=0,2\left(0,75+0,25\times 0,2^{n-1}\right) +0,6 \\
   &=0,15+0,25\times 0,2^n+0,6 \\
   &=0,75+0,25\times 0,2p^n\end{align*}$
   Donc $R(n+1)$ est vraie.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout $n\in \N^*$, on a $p_n=0,75+0,25\times 0,2^{n-1}$.
   $\quad$
7. $-1<0,2<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,2^{n-1}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,75$.
   Sur le long terme, la probabilité que M Durand utilise les transports en commun est égale à $0,75$.
   $\quad$

 

Exercice 3

1. La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=(x-1)\e^x$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} F'(x)&=\e^x+(x-1)\e^x \\
   &=(1+x-1)\e^x \\
   &=x\e^x \\
   &=f(x)\end{align*}$
   $F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.
   Réponse b
   $\quad$
2. $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$
   $2x+4=0\ssi 2x=-4\ssi x=-2$ et $2x+4>0\ssi 2x>-4\ssi x>-2$.
   (À cette étape-là on peut faire un tableau de signes au brouillon)
   Par conséquent $\dfrac{x-1}{2x+4}>0 \ssi x\in ]-\infty;-2[\cup ]1;+\infty[$.
   La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$.
   Réponse c
   $\quad$
3. La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*} h'(x)&=\e^x+(x+1)\e^x \\
   &= (1+x+1)\e^x \\
   &=(x+2)\e^x\end{align*}$
   $\quad$
   La fonction $h’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*} h\dsec(x)&=\e^x+(x+2)\e^x \\
   &= (1+x+2)\e^x \\
   &=(x+3)\e^x\end{align*}$
   La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$
   $h\dsec(x)=0\ssi x+3=0 \ssi x=-3$ et $h\dsec(x)>0\ssi x+3>0 \ssi x>-3$
   La fonction $h$ est donc concave sur $] -\infty;-3]$ et convexe sur $[-3;+\infty[$.
   Réponse d
   $\quad$
4. Pour tout $n$ on a donc $u_n\pg 3$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n =\ell$.
   Par conséquent $\ell \pg 3$.
   Réponse b
   $\quad$
5. On constate à l’aide de la calculatrice que la suite $\left(w_n\right)$ semble converger vers $0$.
   Réponse d
   $\quad$

 

Exercice 4

1. $\vect{AB}\begin{pmatrix} 4\\1\\4\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\5\\-6\end{pmatrix}$.
   $\dfrac{4}{2}=2$ et $\dfrac{1}{5}=0,2$.
   Par conséquent $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
   $\quad$
2. a. $\vec{n}.\vect{AB}=52+16+36=0$ et $\vec{n}.\vect{AC}=26-80+54=0$.
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$.
   $\vec{n}$ est par conséquent normal au plan $\mathscr{P}$.
   $\quad$
   b. Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $13x-16y-9z+d=0$.
   $A(-1;-3;2)$ appartient à ce plan.
   Par conséquent $-13+48-18+d=0\ssi d=-17$.
   Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est donc $13x-16y-9z-17=0$.
   $\quad$
3. Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est $$\begin{cases} x=15+13t\\y=-16-16t\\z=-8-9t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
   $\quad$
4. On considère le point $E’$ de coordonnées $(2;0;1)$.
   Si on prend $t=-1$ dans la représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ on obtient $x=2$, $y=0$ et $z=1$. Donc $E’$ appartient à $\mathscr{D}$.
   $13\times 2+0-9\times 1-17=26-26=0$ : $E’$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
   $13\times 15-16\times (-16)-9\times (-8)-17=506\neq 0$ : le point $F$ n’appartient pas au plan $\mathscr{P}$.
   La droite $\mathscr{D}$ n’est, par conséquent, pas incluse dans le plan $\mathscr{P}$.
   Ainsi les coordonnées du point $E$ sont bien $(2;0;1)$.
   $\quad$
5. On a $\vect{EF}\begin{pmatrix}-13\\16\\9\end{pmatrix}$La distance du point $E$ au plan $\mathscr{P}$ est :
   $\begin{align*} EF&=\sqrt{(-13)^2+16^2+9^2}\\
   &=\sqrt{169+256+81} \\
   &=\sqrt{506}\end{align*}$
   $\quad$
6. On veut déterminer les points $M(15+13t,-16-16t,-8-9t)$ de $\mathscr{D}$ tels que $EM=\dfrac{EF}{2}$
   $\vect{EM}\begin{pmatrix} 13+13t\\-16-16t\\-9-9t\end{pmatrix}$. Ainsi $\vect{EM}\begin{pmatrix}13(1+t)\\-16(1+t)\\-9(1+t)\end{pmatrix}$
   On en déduit donc que :
   $\begin{align*} EM&=\sqrt{169(1+t)^2+256(1+t)^2+81(1+t)^2} \\
   &=\sqrt{506(1+t)^2}\end{align*}$
   $\begin{align*} EM=\dfrac{EF}{2}&\ssi \sqrt{506(1+t)^2}=\dfrac{\sqrt{506}}{2} \\
   &\ssi 506(1+t)^2=\dfrac{506}{4} \\
   &\ssi (1+t)^2=\dfrac{1}{4} \\
   &\ssi 1+t=\dfrac{1}{2} \text{ ou } 1+t=-\dfrac{1}{2} \\
   &\ssi t=-\dfrac{1}{2} \text{ ou } t=-\dfrac{3}{2}\end{align*}$
   Les coordonnées des points de la droite $\mathscr{D}$ dont la distance au plan $\mathscr{P}$ est égale à la moitié de la distance du point $F$ au plan $\mathscr{P}$ sont donc $\left(\dfrac{17}{2};-8;-\dfrac{7}{2}\right)$ et $\left(-\dfrac{9}{2};8;\dfrac{11}{2}\right)$.
   $\quad$
   Remarque : On pouvait également déterminer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[EF]$ puis celle du symétrique de $M$ par rapport à $E$.
   $\quad$

 

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     5 points

Partie A

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par

$$g(x) = \ln\left(x^2\right)+x−2$$

1. Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
   $\quad$
2. On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
   Étudier les variations de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
   $\quad$
3. a. Démontrer qu’il existe un unique réel strictement positif $\alpha$ tel que $g(\alpha) = 0$.
   $\quad$
   b. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
   $\quad$
4. En déduire le tableau de signe de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
   $\quad$

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par :

$$f(x) =\dfrac{(x−2)}{x}\ln(x)$$

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
   $\quad$
   b. Interpréter graphiquement le résultat.
   $\quad$
2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
   $\quad$
3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
   Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a $f'(x) =\dfrac{g(x)}{x^2}$.
   $\quad$
4. En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
   $\quad$

Partie C

Étudier la position relative de la courbe $C_f$ et de la courbe représentative de la fonction $\ln$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Dans un souci de préservation de l’environnement, Monsieur Durand décide de se rendre chaque matin au travail en utilisant son vélo ou les transports en commun.
S’il choisit de prendre les transports en commun un matin, il reprend les transports en commun le lendemain avec une probabilité égale à $0,8$.
S’il utilise son vélo un matin, il reprend son vélo le lendemain avec une probabilité égale à $0,4$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note :

• $T_n$ l’événement « Monsieur Durand utilise les transports en commun le $n$-ième jour » ;
• $V_n$ l’événement « Monsieur Durand utilise son vélo le $n$-ième jour » ;
• On note $p_n$ la probabilité de l’événement $T_n$.

Le premier matin, il décide d’utiliser les transports en commun. Ainsi, la probabilité de l’événement $T_1$ est $p_1 = 1$.

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les $2\ieme$ et $3\ieme$ jours.
   $\quad$$\quad$
2. Calculer $p_3$.
   $\quad$
3. Le $3\ieme$ jour, M. Durand utilise son vélo.
   Calculer la probabilité qu’il ait pris les transports en commun la veille.
   $\quad$
4. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les $n$-ième et $(n+1)$-ième jours.
   $\quad$
   $\quad$
5. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = 0,2p_n + 0,6$.
   $\quad$
6. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $p_n = 0,75 + 0,25 × 0,2^{n-1}$.
   $\quad$
7. Déterminer la limite de la suite $\left(p_n\right)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Les cinq questions sont indépendantes.

Dans tout l’exercice, $\R$ désigne l’ensemble des nombres réels.

1. Une primitive de la fonction $f$, définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^x$, est la fonction $F$, définie sur $\R$ par :
   a. $F(x)=\dfrac{x^2}{2}\e^x$
   b. $F(x)=(x-1)\e^x$
   c. $F(x)=(x+1)\e^x$
   d. $F(x)=x^2\e^{x^2}$
   $\quad$
2. On considère la fonction $g$ définie par $g(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{2x+4}\right)$.
   La fonction $g$ est définie sur :
   a. $\R$
   b. $]-2;+\infty[$
   c. $]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[$
   d. $]-2;1[$
   $\quad$
3. La fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=(x+1)\e^x$ est :
   a. concave sur $\R$
   b. convexe sur $\R$
   c. convexe sur $]-\infty;-3]$ et concave sur $[-3;+\infty[$
   d. concave sur $]-\infty;-3]$ et convexe sur $[-3;+\infty[$
   $\quad$
4. Une suite $\left(u_n\right)$ est minorée par $3$ et converge vers un réel $\ell$.
   On peut affirmer que :
   a. $\ell=3$
   b. $\ell\pg 3$
   c. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
   d. La suite $\left(u_n\right)$ est constante à partir d’un certain rang.
   $\quad$
5. La suite $\left(w_n\right)$ définie par $w_1=2$ et pour tout entier naturel $n$ strictement positif, $w_{n+1}=\dfrac{1}{n}w_n$.
   a. La suite $\left(w_n\right)$ est géométrique.
   b. La suite $\left(w_n\right)$ n’admet pas de limite.
   c. $w_5=\dfrac{1}{15}$
   d. La suite $\left(w_n\right)$ converge vers $0$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les
points $A(-1; -3; 2)$, $B(3;-2; 6)$ et $C(1; 2;-4)$.

1. Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan que l’on notera $\mathcal{P}$.
   $\quad$
2. a. Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}$ est normal au plan $\mathcal{P}$.
   $\quad$
   b. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $13x-16y-9z-17 = 0$.

On note $\mathcal{D}$ la droite passant par le point $F(15;-16;-8)$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.

3. Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.
   $\quad$
4. On appelle $E$ le point d’intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $\mathcal{P}$.
   Démontrer que le point $E$ a pour coordonnées $(2; 0; 1)$.
   $\quad$
5. Déterminer la valeur exacte de la distance du point $F$ au plan $\mathcal{P}$.
   $\quad$
6. Déterminer les coordonnées du ou des point(s) de la droite $\mathcal{D}$ dont la distance au plan $\mathcal{P}$ est égale à la moitié de la distance du point $F$ au plan $\mathcal{P}$.
   $\quad$

$\quad$