Exercice 1

Partie A : lectures graphiques

1. Graphiquement il semblerait qu’une équation de la tangente $\mathscr{T}$ est $y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}$.
   $\quad$
2. La fonction $f$ semble être convexe sur l’intervalle $]-\infty;0]$ et concave sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   $\quad$

Partie B : étude de la fonction

1. Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-(-3)\e^{-3x}}{\left(1+\e^{-3x}\right)^2} \\
   &=\dfrac{3\e^{-3x}}{\left(1+\e^{-3x}\right)^2} \end{align*}$
   $\quad$
2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f'(x)>0$.
   La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
   $\quad$
3. a. $\lim\limits_{x\to +\infty} -3x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-3x}=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=1$.
   $\quad$
   b. $\lim\limits_{x\to -\infty} -3x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-3x}=+\infty$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$.
   $\quad$
4. $\quad$
   $\begin{align*} f(x)=0,99&\ssi \dfrac{1}{1+\e^{-3x}}=0,99 \\
   &\ssi 1=0,99+0,99\e^{-3x} \\
   &\ssi 0,99\e^{-3x}=0,01 \\
   &\ssi \e^{-3x}=\dfrac{1}{99} \\
   &\ssi -3x=\ln\left(\dfrac{1}{99}\right) \quad \text{(fonction $\ln$ strictement croissante sur $\R$)} \\
   &\ssi -3x=-\ln(99) \\
   &\ssi x=\dfrac{\ln(99)}{3}\end{align*}$
   Ainsi $\alpha=\dfrac{\ln(99)}{3}$.
   $\quad$

Partie C : Tangente et convexité

1. Une équation de $\mathscr{T}$ est de la forme $y=f'(0)x+f(0)$.
   Or $f'(0)=\dfrac{3}{4}$ et $f(0)=\dfrac{1}{2}$.
   Par conséquent une équation de $\mathscr{T}$ est $y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}$.
   $\quad$
2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $\e^{-3x}-1$.
   $\e^{-3x}-1=0 \ssi \e^{-3x}=1 \ssi -3x=0 \ssi x=0$
   $\e^{-3x}-1>0\ssi \e^{-3x}>1 \ssi -3x>0 \ssi x<0$
   Ainsi :
   $\bullet f\dsec(x)>0$ sur $]-\infty;0[$ ;
   $\bullet f\dsec(0)=0$ ;
   $\bullet f\dsec(x)<0$ sur $]0;+\infty[$.
   $\quad$
3. a. La fonction $f$ est donc convexe sur $]-\infty;0[$.
   $\quad$
   b. La fonction $f\dsec$ s’annule en changeant de signe en $0$. Par conséquent $A$ est un point d’inflexion pour la courbe $\mathscr{C}_f$.
   $\quad$
4. La tangente à une courbe à son point d’inflexion traverse la courbe en ce point. La fonction est convexe sur $]-\infty;0]$ et concave sur $[0;+\infty[$.
   La tangente $\mathscr{T}$ est donc en-dessous de la courbe $\mathscr{C}_f$ sur $]-\infty;0]$ et au-dessus  de la courbe $\mathscr{C}_f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   $\quad$

 

 

Exercice 2

Partie A

1. $1+x>0 \ssi x>-1$.
   La fonction $f$ est donc définie sur l’intervalle $]-1;+\infty[$.
   $\quad$
2. Pour tout réel $x>-1$ on a
   $\begin{align*} f'(x)&=1-\dfrac{1}{1+x} \\
   &=\dfrac{1+x-1}{1+x} \\
   &=\dfrac{x}{1+x}\end{align*}$
   $\quad$
3. a. Sur $]-1;+\infty[$, $1+x>0$.
   $f'(x)$ est donc du signe de $x$ sur cet intervalle.
   La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-1;0]$ et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
   $\quad$
   b. La fonction $f$ admet donc un minimum en $0$ et $f(0)=0$.
   Ainsi, pour tout $x\in ]-1;0[\cup]0;+\infty[$ on a $f(x)>0$ et $f(0)=0$.
   $\quad$
4. a. Pour tout $x>-1$ on a :
   $\begin{align*} f(x)&=x-\ln(1+x) \\
   &=\ln\left(\e^x\right)-\ln(1+x) \\
   &=\ln\left(\dfrac{\e^x}{1+x}\right)\end{align*}$
   $\quad$
   b. Pour tout réel $x>-1$ on a $\dfrac{\e^x}{1+x}=\dfrac{\e^x}{x}\times \dfrac{x}{1+x}$.
   Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{x}}{x}=+\infty$
   Pour tout réel $x>0$, $\dfrac{x}{1+x} =\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}$.
   $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{1+x}=1$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{1+x}=+\infty$. Or $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$.
   Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
   $\quad$

Partie B

1. $u_1=10-\ln(11) \approx 7,602$.
   $\quad$
2. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n \pg 0$.
   Initialisation : $u_0=10 \pg 0$ donc $P(0)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
   $u_n\pg 10>-1$ et $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
   D’après la question A.3.b, $f\left(u_n\right)\pg 0$.
   Donc $u_{n+1}\pg 0$ et $P(n+1)$ est vraie.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pg 0$.
   $\quad$
3. Soit $n\in \N$.
   $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=-\ln\left(1+u_n\right) \\
   &\pp 0\end{align*}$
   En effet, d’après la question précédente, $1+u_n\pg 1$ et la fonction $\ln$ est positive sur $[1;+\infty[$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
   $\quad$
4. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$; elle converge donc vers un réel $\ell$.
   $\quad$
5. La fonction $f$ est continue sur $]-1;+\infty[$ en tant que fonction dérivable sur cet intervalle.
   De plus, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
   Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation :
   $\begin{align*} f(x)=x &\ssi -\ln(1+x)=0\\
   &\ssi \ln(1+x)=0 \\
   &\ssi 1+x=1 \\
   &\ssi x=0\end{align*}$
   Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
   $\quad$

 

Exercice 3

1. $\vect{AB}\begin{pmatrix} -1\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}-5\\-5\\0\end{pmatrix}$
   Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
   Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont donc pas alignés.
   $\quad$
2. $\vect{AB}.\vect{AC}=5-5+0=0$.
   $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont par conséquent orthogonaux et le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
   $\quad$
3. $-3+0-2+5=0$ ; les coordonnées de $A$ vérifient l’équation $-x+y-2z+5=0$.
   $-2+1-4+5=0$ ; les coordonnées de $B$ vérifient l’équation $-x+y-2z+5=0$.
   $2-5-2+5=0$ ; les coordonnées de $C$ vérifient l’équation $-x+y-2z+5=0$.
   D’après la question 1. les points $A$, $B$ et $C$ définissent un point.
   Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $-x+y-2z+5=0$.
   $\quad$
4. Un vecteur normal au plan $(ABC)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}$.
   Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $$\begin{cases} x=1-t\\y=-2+t\\z=4-2t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
   $\quad$
5. On considère le point $H’$ de coordonnées $(0;-1;2)$.
   En prenant $t=1$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ on obtient $x=0$, $y=-1$ et $z=2$. $H’$ appartient ainsi à $\Delta$.
   $0-1-4+5=0$: donc $H’$ appartient au plan $(ABC)$.
   $-1-2-8+5=-6\neq 0$ : le point $S$ n’appartient pas au plan $(ABC)$. La droite $\Delta$ n’est donc pas incluse dans le plan $(ABC)$.
   Le point $H$ a par conséquent pour coordonnées $(0;-1;2)$.
   $\quad$
6. $\vect{SH}\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}$
   Par conséquent :
   $\begin{align*} SH&=\sqrt{(-1)^2+1^2+(-2)^2} \\
   &=\sqrt{1+1+4} \\
   &=\sqrt{6}\end{align*}$
   $\quad$
7. $\vect{HB}\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}$
   Par conséquent :
   $\begin{align*} HB^2&=2^2+2^2+0 \\
   &=8\end{align*}$
   L’aire du disque $\mathcal{D}$ est donc :
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=\pi \times HB^2 \\
   &=8\pi\end{align*}$
   $\quad$
8. Le volume du cône considéré est
   $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times SH \\
   &=\dfrac{8\sqrt{6}\pi}{3}\end{align*}$
   $\quad$

 

 

Exercice 4

1. On répète $50$ fois de façon indépendant la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,04$.
   $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,04$.
   On veut calculer
   $\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
   &=1-0,96^{50} \\
   &\approx 0,870\end{align*}$
   Réponse b
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} p(3<X\pp 7)&=p(4\pp X\pp 7) \\
   &=p(X\pp 7)-p(X<4) \\
   &=p(X\pp 7)-p(X\pp 3)\end{align*}$
   Réponse b
   $\quad$
3. On veut déterminer le plus petit entier naturel $k$ tel que $p(X\pp k) \pg 0,95$.
   D’après la calculatrice $p(X\pp 4) \approx 0,951$ et $p(X\pp 3) \approx 0,861$.
   Donc $k=4$
   Réponse c
   $\quad$
4. On considère la variable aléatoire $Y$ égale au nombre de pièces défectueuses tirées.
   On répète $n$ fois de façon indépendant la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,04$.
   $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,04$.
   La probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses est : $p(Y=n)=0,04^n$.
   Réponse b
   $\quad$
5. La fonction Python renvoie le plus petit rang $n$ à partir duquel $1-0,96^n\pg x$.
   Or
   $\begin{align*} p(Y\pg 1)&=1-p(Y=0) \\
   &=1-0,96^n\end{align*}$
   Réponse a
   $\quad$

 

 

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