Bac – Spécialité mathématiques – Europe – sujet 2 – 22 mars 2023

Centres étrangers (Europe) – 22 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A : lectures graphiques

  1. Graphiquement il semblerait qu’une équation de la tangente $\mathcal{T}$ est $y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ semble être convexe sur l’intervalle $]-\infty;0]$ et concave sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B : étude de la fonction

  1. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-(-3)\e^{-3x}}{\left(1+\e^{-3x}\right)^2} \\
    &=\dfrac{3\e^{-3x}}{\left(1+\e^{-3x}\right)^2} \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f'(x)>0$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
  3. a. $\lim\limits_{x\to +\infty} -3x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-3x}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=1$.
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x\to -\infty} -3x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-3x}=+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)=0,99&\ssi \dfrac{1}{1+\e^{-3x}}=0,99 \\
    &\ssi 1=0,99+0,99\e^{-3x} \\
    &\ssi 0,99\e^{-3x}=0,01 \\
    &\ssi \e^{-3x}=\dfrac{1}{99} \\
    &\ssi -3x=\ln\left(\dfrac{1}{99}\right) \quad \text{(fonction $\ln$ strictement croissante sur $\R_+^*$)} \\
    &\ssi -3x=-\ln(99) \\
    &\ssi x=\dfrac{\ln(99)}{3}\end{align*}$
    Ainsi $\alpha=\dfrac{\ln(99)}{3}$.
    $\quad$

Partie C : Tangente et convexité

  1. Une équation de $\mathcal{T}$ est de la forme $y=f'(0)x+f(0)$.
    Or $f'(0)=\dfrac{3}{4}$ et $f(0)=\dfrac{1}{2}$.
    Par conséquent une équation de $\mathcal{T}$ est $y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $\e^{-3x}-1$.
    $\e^{-3x}-1=0 \ssi \e^{-3x}=1 \ssi -3x=0 \ssi x=0$
    $\e^{-3x}-1>0\ssi \e^{-3x}>1 \ssi -3x>0 \ssi x<0$
    Ainsi :
    $\bullet f\dsec(x)>0$ sur $]-\infty;0[$ ;
    $\bullet f\dsec(0)=0$ ;
    $\bullet f\dsec(x)<0$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est donc convexe sur $]-\infty;0[$.
    $\quad$
    b. La fonction $f\dsec$ s’annule en changeant de signe en $0$. Par conséquent $A$ est un point d’inflexion pour la courbe $\mathcal{C}_f$.
    $\quad$
  4. La tangente à une courbe à son point d’inflexion traverse la courbe en ce point. La fonction est convexe sur $]-\infty;0]$ et concave sur $[0;+\infty[$.
    La tangente $\mathcal{T}$ est donc en-dessous de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $]-\infty;0]$ et au-dessus  de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. $1+x>0 \ssi x>-1$.
    La fonction $f$ est donc définie sur l’intervalle $]-1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x>-1$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=1-\dfrac{1}{1+x} \\
    &=\dfrac{1+x-1}{1+x} \\
    &=\dfrac{x}{1+x}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Sur $]-1;+\infty[$, $1+x>0$.
    $f'(x)$ est donc du signe de $x$ sur cet intervalle.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-1;0]$ et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ admet donc un minimum en $0$ et $f(0)=0$.
    Ainsi, pour tout $x\in ]-1;0[\cup]0;+\infty[$ on a $f(x)>0$ et $f(0)=0$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout $x>-1$ on a :
    $\begin{align*} f(x)&=x-\ln(1+x) \\
    &=\ln\left(\e^x\right)-\ln(1+x) \\
    &=\ln\left(\dfrac{\e^x}{1+x}\right)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x>-1$ on a $\dfrac{\e^x}{1+x}=\dfrac{\e^x}{x}\times \dfrac{x}{1+x}$.
    Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{x}}{x}=+\infty$
    Pour tout réel $x>0$, $\dfrac{x}{1+x} =\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{1+x}=1$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{1+x}=+\infty$. Or $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$

Partie B

  1. $u_1=10-\ln(11) \approx 7,602$.
    $\quad$
  2. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n \pg 0$.
    Initialisation : $u_0=10 \pg 0$ donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $u_n\pg 10>-1$ et $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    D’après la question A.3.b, $f\left(u_n\right)\pg 0$.
    Donc $u_{n+1}\pg 0$ et $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pg 0$.
    $\quad$
  3. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=-\ln\left(1+u_n\right) \\
    &\pp 0\end{align*}$
    En effet, d’après la question précédente, $1+u_n\pg 1$ et la fonction $\ln$ est positive sur $[1;+\infty[$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
  4. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$; elle converge donc vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est continue sur $]-1;+\infty[$ en tant que fonction dérivable sur cet intervalle.
    De plus, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=x &\ssi -\ln(1+x)=0\\
    &\ssi \ln(1+x)=0 \\
    &\ssi 1+x=1 \\
    &\ssi x=0\end{align*}$
    Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. $\vect{AB}\begin{pmatrix} -1\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}-5\\-5\\0\end{pmatrix}$
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
    Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont donc pas alignés.
    Autre réponse possible : $A$ et $C$ ont la même cote $(1)$ qui est différente de celle de $B$ $(2)$. Les trois points ne sont donc pas alignés.
    $\quad$
  2. $\vect{AB}.\vect{AC}=5-5+0=0$.
    $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont par conséquent orthogonaux et le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    $\quad$
  3. $-3+0-2+5=0$ ; les coordonnées de $A$ vérifient l’équation $-x+y-2z+5=0$.
    $-2+1-4+5=0$ ; les coordonnées de $B$ vérifient l’équation $-x+y-2z+5=0$.
    $2-5-2+5=0$ ; les coordonnées de $C$ vérifient l’équation $-x+y-2z+5=0$.
    D’après la question 1. les points $A$, $B$ et $C$ définissent un point.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $-x+y-2z+5=0$.
    $\quad$
  4. Un vecteur normal au plan $(ABC)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}$.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $$\begin{cases} x=1-t\\y=-2+t\\z=4-2t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
    $\quad$
  5. On considère le point $H’$ de coordonnées $(0;-1;2)$.
    En prenant $t=1$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ on obtient $x=0$, $y=-1$ et $z=2$. $H’$ appartient ainsi à $\Delta$.
    $0-1-4+5=0$: donc $H’$ appartient au plan $(ABC)$.
    $-1-2-8+5=-6\neq 0$ : le point $S$ n’appartient pas au plan $(ABC)$. La droite $\Delta$ n’est donc pas incluse dans le plan $(ABC)$.
    Le point $H$ a par conséquent pour coordonnées $(0;-1;2)$.
    $\quad$
  6. $\vect{SH}\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} SH&=\sqrt{(-1)^2+1^2+(-2)^2} \\
    &=\sqrt{1+1+4} \\
    &=\sqrt{6}\end{align*}$
    $\quad$
  7. $\vect{HB}\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} HB^2&=2^2+2^2+0 \\
    &=8\end{align*}$
    L’aire du disque $\mathcal{D}$ est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\pi \times HB^2 \\
    &=8\pi\end{align*}$
    $\quad$
  8. Le volume du cône considéré est
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times SH \\
    &=\dfrac{8\sqrt{6}\pi}{3}\end{align*}$
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On répète $50$ fois de façon indépendant la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,04$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,04$.
    On veut calculer
    $\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
    &=1-0,96^{50} \\
    &\approx 0,870\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} p(3<X\pp 7)&=p(4\pp X\pp 7) \\
    &=p(X\pp 7)-p(X<4) \\
    &=p(X\pp 7)-p(X\pp 3)\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. On veut déterminer le plus petit entier naturel $k$ tel que $p(X\pp k) \pg 0,95$.
    D’après la calculatrice $p(X\pp 4) \approx 0,951$ et $p(X\pp 3) \approx 0,861$.
    Donc $k=4$
    Réponse c
    $\quad$
  4. On considère la variable aléatoire $Y$ égale au nombre de pièces défectueuses tirées.
    On répète $n$ fois de façon indépendant la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,04$.
    $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,04$.
    La probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses est : $p(Y=n)=0,04^n$.
    Réponse a
    $\quad$
  5. La fonction Python renvoie le plus petit rang $n$ à partir duquel $1-0,96^n\pg x$.
    Or
    $\begin{align*} p(Y\pg 1)&=1-p(Y=0) \\
    &=1-0,96^n\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$

 

 

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-3x}}$$
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
On nomme $A$ le point de coordonnées $\left(0;\dfrac{1}{2}\right)$ et $B$ le point de coordonnées $\left(1;\dfrac{5}{4}\right)$.
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$, et $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $0$.

Partie A : Lectures graphiques

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique. Aucune justification n’est demandée.

  1. Déterminer l’équation réduite de la tangente $\mathcal{T}$.
    $\quad$
  2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.
    $\quad$

Partie B : Étude de la fonction

  1. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.
    Déterminer l’expression de sa fonction dérivée $f’$.
    $\quad$
  2. Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
  3. a. Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $f$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite en $-\infty$ de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. Déterminer la valeur exacte de la solution $\alpha$ de l’équation $f(x)=0,99$.
    $\quad$

Partie C : Tangente et convexité

  1. Déterminer par le calcul une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $0$.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$. On note $f\dsec$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$.
On admet que $f\dsec$ est définie sur $\R$ par $$f\dsec(x)=\dfrac{9\e^{-3x}\left(\e^{-3x}-1\right)}{\left(1+\e^{-3x}\right)^3}$$

  1. Étudier le signe de la fonction $f\dsec$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. a. Indiquer, en justifiant, sur quel(s) intervalle(s) la fonction $f$ est convexe.
    $\quad$
    b. Que représente le point $A$ pour la courbe $\mathcal{C}_f$.
    $\quad$
  3. En déduire la position relative de la tangente $\mathcal{T}$ et de la courbe $\mathcal{C}_f$. Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie par $$f(x)=x-\ln(1+x)$$

  1. Justifier que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]-1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]-1;+\infty[$.
    Déterminer l’expression de sa fonction dérivée $f’$.
    $\quad$
  3. a. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $]-1;+\infty[$.
    $\quad$
    b. En déduire le signe de la fonction $f$ sur l’intervalle $]-1;+\infty[$.
    $\quad$
  4. a. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $]-1;+\infty[$, on a : $$f(x)=\ln\left(\dfrac{\e^x}{1+x}\right)$$
    $\quad$
    b. En déduire la limite en $+\infty$ de la fonction $f$.
    $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=10$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=u_n-\ln\left(1+u_n\right)$$
On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est bien définie.

  1. Donner la valeur arrondie au millième de $u_1$.
    $\quad$
  2. En utilisant la question 3.a. de la partie A, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\pg 0$.
    $\quad$
  3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  4. Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
    $\quad$
  5. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les points $A(3;0;1)$, $B(2;1;2)$ et $C(-2;-5;1)$.

  1. Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    $\quad$
  3. Vérifier que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne : $$-x+y-2z+5=0$$
    $\quad$
  4. On considère le point $S(1;-2;4)$.
    Déterminer la représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$, passant par $S$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
    $\quad$
  5. On appelle $H$ le point d’intersection de la droite $(\Delta)$ et du plan $(ABC)$.
    Montrer que les coordonnées de $H$ sont $(0;-1;2)$.
    $\quad$
  6. Calculer la valeur exacte de la distance $SH$.
    $\quad$
  7. On considère le cercle $\mathcal{C}$, inclus dans le plan $(ABC)$, de centre $H$, passant par le point $B$. On appelle $\mathcal{D}$ le disque délimité par le cercle $\mathcal{C}$.
    Déterminer la valeur exacte de l’aire du disque $\mathcal{D}$.
    $\quad$
  8. En déduire la valeur exacte du volume du cône de sommet $S$ et de base le disque $\mathcal{D}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Cet exercice est un questionnaire )à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Les cinq questions sont indépendantes.

Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que $4\%$ des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.

On choisit au hasard $n$ pièces produites par la chaîne de production. Le nombre de pièces produites est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses tirées.

Dans les trois questions suivantes, on prend $n=50$.

  1. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, de tirer au moins une pièce défectueuse ?
    a. $1$
    b. $0,870$
    c. $0,600$
    d. $0,599$
    $\quad$
  2. La probabilité $p(3<X\pp 7)$ est égale à :
    a. $p(X\pp 7)-p(X>3)$
    b. $p(X\pp 7)-p(X\pp 3)$
    c. $p(X<7)-P(X>3)$
    d. $p(X<7)-p(X\pg 3)$
    $\quad$
  3. Quel est le plus petit entier naturel $k$ tel que la probabilité de tirer au plus $k$ pièces défectueuses soit supérieure ou égale à $95\%$ ?
    a. $2$
    b. $3$
    c. $4$
    d. $5$
    $\quad$

Dans les questions suivantes, $n$ ne vaut plus nécessairement $50$.

  1. Quelle est la probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses ?
    a. $0,04^n$
    b. $0,96^n$
    c. $1-0,04^n$
    d. $1-0,96^n$
    $\quad$
  2. On considère la fonction Python ci-dessous. Que renvoie-t-elle?
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \textbf{def } \text{seuil(x):}\\
    \quad \text{n = 1}\\
    \quad \textbf{while } \text{1-0.96**n < x :}\\
    \qquad \text{n = n + 1}\\
    \quad \textbf{return }\text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Le plus petit nombre $n$ tel que la probabilité de tirer au moins une pièce défectueuse soit supérieure ou égale à $x$.
    b. Le plus petit nombre $n$ tel que la probabilité de ne tirer aucune pièce défectueuse soit supérieure ou égale à $x$.
    c. Le plus grand nombre $n$ tel que la probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses soit supérieure ou égale à $x$.
    d. Le plus grand nombre $n$ tel que la probabilité de ne tirer aucune pièce défectueuse soit supérieure ou égale à $x$.
    $\quad$

$\quad$