Bac – Spécialité mathématiques – La Réunion – sujet 1 – 28 mars 2023

La Réunion – 28 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(A)&=P\left(\left(D_1\cap A\right)\cup\left(\conj{D_1}\cap D_2\cap A\right)\right) \\
    &=P\left(D_1\cap A\right)+P\left(\conj{D_1}\cap D_2\cap A\right) \qquad \text{(incompatibilité)}\\
    &=P\left(D_1\right) P_{D_1}(A)+P\left(\conj{D_1}\right)P_{\conj{D_1}}\left(D_2\right)P_{\conj{D_1}\cap D_2}(A) \\
    &=0,4\times 0,3+0,6\times 0,7\times 0,2 \\
    &=0,204\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*}P_A\left(D_1\right) &=\dfrac{P\left(A\cap D_1\right)}{P(A)} \\
    &=\dfrac{P\left(D_1\right)P_{D_1}(A)}{P(A)} \\
    &=\dfrac{0,4\times 0,3}{0,204} \\
    &=\dfrac{10}{17} \\
    &\approx 0,588\end{align*}$
    La probabilité que la personne ait décroché au premier appel sachant qu’elle a acheté le produit est environ égale à$0,588$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,204$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X=6)&=\dbinom{30}{6}0,204^6\times (1-0,204)^{24} \\
    &\approx 0,179\end{align*}$
    La probabilité qu’exactement $6$ personnes de l’échantillon achètent le produit est environ égale à $0,179$.
    $\quad$
    c. L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=30\times 0,204 \\
    &=6,12\end{align*}$
    Cela signifie donc, qu’en moyenne, sur un échantillon de $30$ personnes  $6,12$ achètent le produit.
    $\quad$
  2. On effectue $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $p=0,204$.
    On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes de l’échantillon qui achètent le produit.
    $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,204$.
    On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} P(Y\pg 1)\pg 0,99 &\ssi 1-P(Y=0)\pg 0,99 \\
    &\ssi P(Y=0) \pp 0,01 \\
    &\ssi (1-0,204)^n \pp 0,01\\
    &\ssi 0,796^n\pp 0,01 \\
    &\ssi n\ln(0,796) \pp \ln(0,01) \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,796)} \qquad \text{(car $\ln(0,796)<0$)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,796)} \approx 20,2$
    Il faut donc l’échantillon contienne au moins $21$ personnes.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $\lim\limits_{x\to 0} 3x+1=1$
    Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=0$
    Par conséquent, $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$.
    $\quad$
    Pour tout $x>0$ on a $f(x)=x\left(3+\dfrac{1}{x}-2\ln(x)\right)$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} 3+\dfrac{1}{x}-2\ln(x)=-\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. a. $f$ est derivable sur $\R_+^*$ par hypothèse. Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=3-2\ln(x)-2x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=3-2\ln(x)-2 \\
    &=1-2\ln(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $1-2\ln(x)=0 \ssi \ln(x)=\dfrac{1}{2} \ssi x=\e^{1/2}$
    $1-2\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<\dfrac{1}{2} \ssi x<\e^{1/2}$
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\begin{align*} m&=f\left(\e^{1/2}\right) \\
    &=3\e^{1/2}+1-2\e^{1/2}\times \dfrac{1}{2} \\
    &=2\e^{1/2}+1\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $\left]0;\e^{1/2}\right]$ et $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$.
    Ainsi, pour tout $x\in \left]0;\e^{1/2}\right]$ on a $f(x)>1$.
    L’équation $f(x)=0$ n’admet donc aucune solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[\e^{1/2};+\infty\right[$.
    $f\left(\e^{1/2}\right)=2\e^{1/2}+1>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[\e^{1/2};+\infty\right[$.
    $\quad$
    Finalement, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. D’après le tableau de variations de la fonction $f$ et la question précédente :
    $\bullet~f(x)>0$ si $x\in ]0;\alpha[$ ;
    $\bullet~f(\alpha)=0$ ;
    $\bullet~f(x)<0$ si $x\in ]\alpha;+\infty[$.
    $\quad$
  4. $F$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
    $f$ est donc la dérivée de $F$ sur cet intervalle.
    Or $f(x)>0$ sur $\left]\e^{1/2};\alpha\right[$.
    La fonction $F$ est donc strictement croissante sur cet intervalle.
    L’affirmation est fausse.
    $\quad$
  5. a. Pour tout réel $x>0$ on a $f\dsec(x)=-\dfrac{2}{x}<0$.
    La fonction $f$ est donc concave sur $]0;+\infty[$.
    La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc située sous ses tangentes.
    $\quad$
    b. Une équation de $\mathscr{T}$ est $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
    Or $f'(1)=1$ et $f(1)=4$.
    Une équation de $\mathscr{T}$ est donc $y=x-1+4$ soit $y=x+3$.
    $\quad$
    c. D’après la question 5.a. on a donc en particulier :
    $\begin{align*} f(x)\pp x+3 &\ssi 3x+1-2x\ln(x) \pp x+3 \\
    &\ssi -2x\ln(x) \pp -2x+2 \\
    &\ssi \ln(x)\pg 1-\dfrac{1}{x}\end{align*}$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a
    $\begin{align*} u_1&=\dfrac{1}{2}u_0+0+1 \\
    &=\dfrac{3}{2}+1 \\
    &=\dfrac{5}{2}\end{align*}$
    $\begin{align*} u_2&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}\times 1+1 \\
    &=\dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{2} \\
    &=\dfrac{11}{4}\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  2. Pour tout $n\in \N$ on a
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-(n+1) \\
    &=\dfrac{1}{2}u_n+\dfrac{1}{2}n+1-n-1 \\
    &=\dfrac{1}{2}u_n-\dfrac{1}{2}n \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(u_n-n\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. On peut écrire $\texttt{U = U / 2 + i / 2 + 1}$.
    Réponse d
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~n\pp u_n\pp n+3$.
    Initialisation : $u_0=3$ donc $0\pp u_0 \pp 0+3$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $\begin{align*} n\pp u_n\pp n+3&\ssi \dfrac{1}{2}n\pp \dfrac{1}{2}u_n\pp \dfrac{n+3}{2} \\
    &\ssi \dfrac{1}{2}n+\dfrac{1}{2}n+1 \pp \dfrac{1}{2}u_n+\dfrac{1}{2}n+1 \pp \dfrac{n+3}{2}+\dfrac{1}{2}n+1 \\
    &\ssi n+1\pp u_{n+1}\pp n+1+\dfrac{3}{2}\end{align*}$
    Donc $n+1\pp u_{n+1}\pp (n+1)+3$
    Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout $n\in \N$ on a $n\pp u_n \pp n+3$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{n\to +\infty} n=+\infty$ et, pour tout $n\in \N$, $n\pp u_n$.
    D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
  3. Pour tout $n\in \N^*$ on a, d’après la question B.1., $1\pp \dfrac{u_n}{n}\pp 1+\dfrac{3}{n}$.
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+\dfrac{3}{n}=1$.
    D’après le théorème de gendarmes $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{u_n}{n}=1$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On a $F(1;1;1)$ et $C(0;1;0)$.
    $\quad$
  2. $M$ est le milieu de $[FC]$. Par conséquent $M$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1+0}{2};\dfrac{1+1}{2};\dfrac{1+0}{2}\right)$ soit $\left(\dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2}\right)$.
    $\quad$
    $N$ est le milieu de $[FH]$. Par conséquent $N$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1+1}{2};\dfrac{1+0}{2};\dfrac{1+0}{2}\right)$ soit $\left(1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
    $\quad$
  3. a. $\vect{AG}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$, $\vect{FC}\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{FH}\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}$
    Par conséquent :
    $\vect{AG}.\vect{FC}=-1+0+1=0$
    $\vect{AG}.\vect{FH}=0-1+1=0$
    $\vect{AG}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (ils n’ont pas la même composante nulle) du plan $(HFC)$.
    Ainsi $\vect{AG}$ est normal au plan $(HFC)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(HFC)$ est donc de la forme $x+y-z+d=0$.
    $H(1;0;0)$ appartient à ce plan donc $1+d=0 \ssi d=-1$.
    Une équation cartésienne du plan $(HFC)$ est par conséquent $x+y-z-1=0$.
    $\quad$
  4. Une représentation paramétrique de la droite $(AG)$ est $$\begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
    $\quad$
  5. En prenant $t=\dfrac{2}{3}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(AG)$ on obtient le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
    De plus $\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}-1=\dfrac{4}{3}-\dfrac{4}{3}=0$.
    Le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}\right)$ appartient donc au plan $(HFC)$.
    Le point $R$ de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}\right)$ est bien le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(HFC)$.
    $\quad$
  6. Tout point $K$ de $(FG)$ a pour coordonnées $(1;1;t)$.
    Ainsi $\vect{KM}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\[2mm]0\\\dfrac{1}{2}-t\end{pmatrix}$ et $\vect{KN}\begin{pmatrix}0\\-\dfrac{1}{2}\\[2mm]\dfrac{1}{2}-t\end{pmatrix}$
    Le triangle $KMN$ est rectangle en $K$ si, et seulement si,
    $\begin{align*} \vect{KM}.\vect{KN}=0&\ssi 0+0+\left(\dfrac{1}{2}-t\right)^2=0 \\
    &\ssi \dfrac{1}{2}-t=0 \\
    &\ssi t=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Il existe donc un unique point $K$ de coordonnées $\left(1;1;\dfrac{1}{2}\right)$ sur la droite $(FG)$ tel que le triangle $KMN$ soit rectangle en $K$.
    $\quad$
  7. On a donc $KM=\dfrac{1}{2}$, $KN=\dfrac{1}{2}$ et $KF=\dfrac{1}{2}$.
    L’aire du triangle $KMN$ rectangle en $K$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{KM\times KN}{2} \\
    &=\dfrac{1}{8} \text{u.a.}\end{align*}$
    Le volume du tétraèdre $FNKM$ est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times KF \\
    &=\dfrac{1}{48} \text{u.v.}\end{align*}$
    Le volume du cube $ABCDEFGH$ est égal à $1$ u.v.
    Le volume du tétraèdre $FNKM$ représente donc $\dfrac{1}{48}$ du volume du cube $ABCDEFGH$.
    $\quad$

 

Énoncé

La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     5 points

Une entreprise appelle des personnes par téléphone pour leur vendre un produit.

  • L’entreprise appelle chaque personne une première fois :
    • la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à $0,6$ ;
    • si la personne décroche, la probabilité qu’elle achète le produit est égale à $0,3$.
  • Si la personne n’a pas décroché au premier appel, on procède à un second appel :
    • la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à $0,3$ ;
    • si la personne décroche, la probabilité qu’elle achète le produit est égale à $0,2$.
  • Si une personne ne décroche pas au second appel, on cesse de la contacter.

On choisit une personne au hasard et on considère les évènements suivants :
$D_1$ : « la personne décroche au premier appel » ;
$D_2$ : « la personne décroche au deuxième appel » ;
$A$ : « la personne achète le produit ».

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
    $\quad$

    $\quad$
  2. En utilisant l’arbre pondéré, montrer que la probabilité de l’évènement $A$ est $P(A) = 0,204$.
    $\quad$
  3. On sait que la personne a acheté le produit.
    Quelle est la probabilité qu’elle ait décroché au premier appel ?
    $\quad$

Partie B
On rappelle que, pour une personne donnée, la probabilité qu’elle achète le produit est égale à $0,204$.

  1. On considère un échantillon aléatoire de $30$ personnes.
    On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes de l’échantillon qui achètent le produit.
    a. On admet que  $X$ suit une loi binomiale. Donner, sans justifier, ses paramètres.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité qu’exactement $6$ personnes de l’échantillon achètent le produit. Arrondir le résultat au millième.
    $\quad$
    c. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$. Interpréter le résultat.
    $\quad$
  2. Soit  $n$ un entier naturel non nul. On considère désormais un échantillon de personnes. Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité qu’au moins l’une des personnes de l’échantillon achète le produit soit supérieure ou égale à $0,99$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

On considère la fonction ݂ définie sur $]0 ; +\infty[$ par : $$f(x)=3x+1-2x\ln(x)$$
On admet que la fonction ݂$f$ est deux fois dérivable sur $]0 ; +\infty[$.
On note ݂$f’$ sa dérivée et ݂$f\dsec$ sa dérivée seconde.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

  1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $$f'(x)=1-2\ln(x)$$
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$. On fera figurer dans ce tableau les limites ainsi que la
    valeur exacte de l’extremum.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que l’équation ݂$f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0 ; +\infty[$.
    On notera $\alpha$ cette solution.
    $\quad$
    b. En déduire le signe de la fonction $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  4. On considère une primitive quelconque de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$. On la note $F$.
    Peut-on affirmer que la fonction $F$ est strictement décroissante sur l’intervalle $\left[\e^{\frac{1}{2}};+\infty\right[$? Justifier.
    $\quad$
  5. a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
    Quelle est la position de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à ses tangentes ?
    $\quad$
    b. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $1$.
    $\quad$
    c. Déduire des questions 5.a et 5.b que pour tout réel $c$ strictement positif : $$\ln(x)\pg 1-\dfrac{1}{x}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel ݊,
$$u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+\dfrac{1}{2}n+1$$

Partie A

Cette partie est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

  1. La valeur de $u_2$ est égale à :
    a. $\dfrac{11}{4}$
    b. $\dfrac{13}{2}$
    c. $3,5$
    d. $2,7$
    $\quad$
  2. La suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel ݊, par $v_n=u_n-n$ est :
    a. arithmétique de raison $\dfrac{1}{2}$.
    b. géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
    c. constante.
    d. ni arithmétique, ni géométrique.
    $\quad$
  3. On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage
    Python.
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    1&\text{def terme(n):}\\
    2&\quad \text{U = 3} \\
    3&\quad\text{for i in range(n):}\\
    4& \qquad ………………\\
    5&\quad \text{return U}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $n$ désigne un entier naturel non nul.
    On rappelle qu’en langage Python
    « $\text{i in range(n)}$» signifie que $\text{i}$ varie de $\text{0}$ à $\text{n – 1}$.
    $\quad$
    Pour que $\text{terme(n)}$ renvoie la valeur de $u_n$, on peut compléter la ligne $4$ par :
    a. $\text{U = U / 2 + (i + 1) / 2 + 1}$
    b. $\text{U = U / 2 + n / 2 + 1}$
    c. $\text{U = U / 2 + (i – 1) / 2 + 1}$
    d. $\text{U = U / 2 + i / 2 + 1}$
    $\quad$

Partie B

  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel ݊ : $n\pp u_n \pp n+3$
    $\quad$
  2. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{n}\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

On considère le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous tel que $AB = 1$.
On note $M$ le centre de la face $BCGF$ et $N$ le centre de la face $EFGH$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(D;\vect{DH};\vect{DC};\vect{DA}\right)$.

  1. Donner sans justifier les coordonnées des points $F$ et $C$.
    $\quad$
  2. Calculer les coordonnées des points $M$ et $N$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que le vecteur $\vect{AG}$ est normal au plan $(HFC)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(HFC)$.
    $\quad$
  4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AG)$.
    $\quad$
  5. Démontrer que le point $R$ de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}\right)$ est le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(HFC)$.
    $\quad$
  6. On admet qu’une représentation paramétrique de la droite $(FG)$ est :$$\begin{cases} x=1\\y=1\\z=t\end{cases} \quad (t\in \R)$$
    Démontrer qu’il existe un unique point $K$ sur la droite $(FG)$ tel que le triangle
    $KMN$ soit rectangle en $K$.
    $\quad$
  7. Quelle fraction du volume du cube $ABCDEFGH$ le volume du tétraèdre $FNKM$ représente-t-il ?
    $\quad$

$\quad$