Bac – Spécialité mathématiques – Nouvelle Calédonie – sujet 2 – 29 août 2023

Nouvelle Calédonie – 29 août 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Les points $F$ et $K$ appartiennent au plan $(EHG)$, ne sont pas confondus et le point $C$ n’appartient pas à ce plan.
    Ainsi $C$, $F$ et $K$ définissent bien un plan.
    $\quad$
  2. a. $K$ est le milieu de $[HG]$ et $HG=1$ donc $KG=0,5$.
    $[GF]$ et $[GC]$ sont des arêtes du cube. Donc $GF=GC=1$.
    $\quad$
    b. Le triangle $FGC$ est rectangle en $G$.
    L’aire du triangle $FGC$ est donc :
    $\begin{align*} A_{FGC}&=\dfrac{GF\times GC}{2} \\
    &=\dfrac{1}{2} \text{u.a.}\end{align*}$
    $\quad$
    c. Le volume du tétraèdre $FGCK$ est
    $\begin{align*} V_{FGCK}&=\dfrac{A_{FGC}\times KG}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}}{3} \\
    &=\dfrac{1}{12} \text{u.v.}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On a $C(1;1;0)$, $F(0;1;1)$ et $K(1;0,5;1)$.
    Donc $\vect{CF}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{CK}\begin{pmatrix}0\\-0,5\\1\end{pmatrix}$
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle (ou car, d’après la question 1, ils définissent un plan).
    $\vec{n}.\vect{CF}=-1+0+1=0$ et $\vec{n}.\vect{CK}=0-1+1=0$.
    $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(CFK)$. Il est donc normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(CFK)$ est donc de la forme $x+2y+z+d=0$.
    $C(1;1;0)$ appartient à ce plan. Par conséquent $1+2+0+d=0\ssi d=-3$.
    Une équation cartésienne du plan $(CFK)$ est par conséquent $x+2y+z-3=0$.
    $\quad$
  4. La droite $\Delta$ passe par $G(1;1;1)$ et admet comme vecteur directeur le vecteur $\vec{n}$.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $\begin{cases} x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases} \quad (t\in \R)$.
    $\quad$
  5. a. On note $L(x;y;z)$.
    Les coordonnées de $L$ sont solution du système
    $\begin{align*} \begin{cases} x+2y+z-3=0\\x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases}&\ssi \begin{cases} 1+t+2+4t+1+t-3=0\\x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 6t+1=0\\x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} t=-\dfrac{1}{6}\\[3mm]x=\dfrac{5}{6}\\[3mm]y=\dfrac{2}{3}\\[3mm]\dfrac{5}{6}\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi les coordonnées du point $L$ sont $\left(\dfrac{5}{6};\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{6}\right)$.
    $\quad$
    b. On a alors $\vect{LG}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{6}\\[3mm]\dfrac{1}{3}\\[3mm]\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}$
    Donc :
    $\begin{align*} LG&=\sqrt{\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{6^2}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{1}{6}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{6}}{6}\end{align*}$
    $\quad$
  6. On a
    $\begin{align*}V_{FGCK}=\dfrac{1}{12}&\ssi \dfrac{A_{CFK}\times LG}{3}=\dfrac{1}{12} \\
    &\ssi A_{CFK}\times \dfrac{\sqrt{6}}{6}=\dfrac{1}{4} \\
    &\ssi A_{CFK}=\dfrac{\sqrt{6}}{4} \text{u.a.}\end{align*}$.
    L’aire du triangle $CFK$ est donc égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{4} $ u.a.

Ex 2

Exercice 2

  1. Pour tout réel $x\pg 0$ on a
    $\begin{align*} f(x)&=x\e^{-x} \\
    &=x\times \dfrac{1}{\e^x} \\
    &=\dfrac{x}{\e^x}\end{align*}$
    Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
    La droite d’équation $y=0$ est par conséquent une asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé $f$ est dérivable sur $\R_+$.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\e^{-x}-x\e^{-x} \\
    &=(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0\ssi x<1$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[0;1]$.
    $f(0)=0$ et $f(1)=\e^{-1}\approx 0,3679$. Donc $\dfrac{367}{1~000}\in \left]0;\e^{-1}\right[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=\dfrac{367}{1~000}$ admet une unique solution sur $]0;1[$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$ et $f(1)=\e^{-1}\approx 0,3679$. Donc $\dfrac{367}{1~000}\in \left]0;\e^{-1}\right[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=\dfrac{367}{1~000}$ admet une unique solution sur $]1;+\infty[$.
    $\quad$
    Finalement, l’équation $f(x)=\dfrac{367}{1~000}$ admet exactement deux solutions sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  5. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-2$.
    $x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0\ssi x>2$.
    La fonction $f$ est donc concave sur $[0;2]$ et convexe sur $[2;+\infty[$.
    $\quad$
  6. a. Une équation de la droite $T_a$ est :
    $\begin{align*}y=f'(a)(x-a)+f(a)&\ssi y=(1-a)\e^{-a}(x-a)+a\e^{-a} \\
    &\ssi y=(1-a)\e^{-a}x-a\e^{-a}+a^2\e^{-a}+a\e^{-a} \\
    &\ssi y=(1-a)\e^{-a}x+a^2\e^{-a}\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’ordonnée à l’origine de $T_a$  est $a^2\e^{-a}$.
    Donc $g(a)=a^2\e^{-a}$.
    $\quad$
    c. On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=x^2\e^{-x}$.
    La fonction $g$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a
    $\begin{align*} g'(x)&=2x\e^{-x}-x^2\e^{-x} \\
    &=x(2-x)\e^{-x} \\
    &=-xf\dsec(x)\end{align*}$
    Ainsi, sur $[0;+\infty[$ $g'(x)$ et $f\dsec(x)$ sont de signes contraires.
    D’après la question 5., $g(a)$ est maximale quand $x=2$ c’est-à-dire quand $A$ est un point d’inflexion de $\mathcal{C}_f$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On a
    $\begin{align*} u_1&=\dfrac{-u_0-4}{u_0+3} \\
    &=-\dfrac{4}{3}\end{align*}$
    $\begin{align*} u_2&=\dfrac{-u_1-4}{u_1+3} \\
    &=-\dfrac{8}{5}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On peut écrire $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def terme(n):}
    \quad \text{u = 0} \\
    \quad \text{for i in range(n):}\\
    \qquad \text{u = (-u – 4)/(u + 3)}\\
    \quad \text{return(u)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $]-3;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>-3$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-(x+3)-(-x-4)}{(x+3)^2} \\
    &=\dfrac{-x-3+x+4}{(x+3)^2} \\
    &=\dfrac{1}{(x+3)^2}\\
    &>0\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-3;+\infty[$.
    $\quad$
  4. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~-2<u_{n+1} \pp u_n$.
    Initialisation : $u_0=0$ et $u_1=-\dfrac{4}{3}$ donc $-2<u_1\pp u_0$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    On a $-2<u_{n+1}\pp u_n$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-3;+\infty[$.
    Par conséquent $f(-2)<f\left(u_{n+1}\right)\pp f\left(u_n\right)$
    Donc $-2<u_{n+2}\pp u_{n+1}$ et $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout $n\in \N$, $-2<u_{n+1}\pp u_n$.
    $\quad$
  5. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $-2$.
    Elle converge donc.
    $\quad$
  6. a. On a $v_0=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\dfrac{1}{u_{n+1}+2}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{-u_n-4}{u_n+3}+2}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{-u_n-4+2u_n+6}{u_n+3}}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{u_n+2}{u_n+3}}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
    &=\dfrac{u_n+3}{u_n+2}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
    &=\dfrac{u_n+2}{u_n+2}\\
    &=1\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $1$.
    $\quad$
    c. Ainsi, pour tout $n\in \N$, on a $v_n=\dfrac{1}{2}+n$.
    Or $v_n=\dfrac{1}{u_n+2}\ssi u_n+2=\dfrac{1}{v_n} \ssi u_n=\dfrac{1}{0,5+n}-2$.
    $\quad$
    d. $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n+0,5}=0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-2$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On a $P_A(F)=\dfrac{25}{75}$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} P(A\cup F)&=\dfrac{75+80}{200} \\
    &=\dfrac{155}{200}  \\
    &=\dfrac{31}{40}\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  3. On appelle $B$ l’événement “le bus est en panne” et $T$ l’événement ‘le train est en panne”.
    On veut calculer :
    $\begin{align*}p_1&=P(B\cup T)\\
    &=P(B)+P(T)-P(B\cap T)\\
    &=b+t-P(B)P(T) \qquad \text{(indépendance)}\\
    &=b+t-bt\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  4. Albert peut se rendre à son travail si le train et le bus ne sont pas en panne. Donc
    $\begin{align*} p_2&=P\left(\conj{B\cap T}\right) \\
    &=1-P(B\cap T) \\
    &=1-P(B)P(T) \qquad \text{(indépendance)}\\
    &=1-bt\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  5. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de FACE.
    On effectue $n$ expériences identiques de Bernoulli de paramètre $x$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n$ et $x$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &=1-(1-x)^n\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$

Énoncé

La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     5 points

On considère le cube $ABCDEFGH$ d’arête $1$ représenté ci-dessous.

On note $K$ le milieu du segment $[HG]$.
On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AD},\vect{AB},\vect{AE}\right)$.

  1. Justifier que les points $C$, $F$ et $K$ définissent un plan.
    $\quad$
  2. a. Donner, sans justifier, les longueurs $KG$, $GF$ et $GC$.
    $\quad$
    b. Calculer l’aire du triangle $FGC$.
    $\quad$
    c. Calculer le volume du tétraèdre $FGCK$.
    On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par :
    $$V=\dfrac{1}{3}\mathcal{B}\times h$$
    où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondante.
    $\quad$
  3. a. On note $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$.
    Démontrer que $\vec{n}$ est normal au plan $(CFK)$.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(CFK)$ est :
    $$x +2y + z-3 = 0$$
    $\quad$
  4. On note $\Delta$ la droite passant par le point $G$ et orthogonale au plan $(CFK)$.
    Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :
    $$\begin{cases}x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases}\quad (t\in \R)$$
    $\quad$
  5. Soit $L$ le point d’intersection entre la droite $\Delta$ et le plan $(CFK)$.
    a. Déterminer les coordonnées du point $L$.
    $\quad$
    b. En déduire que $LG = \dfrac{\sqrt{6}}{6}$.
    $\quad$
  6. En utilisant la question 2., déterminer la valeur exacte de l’aire du triangle $CFK$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

On considère la fonction $f$ , définie sur $[0 ;+\infty[$ par : $$f(x) = x\e^{-x}$$
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $[0 ;+\infty[$.
On note $f’$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.

  1. En remarquant que pour tout x dans $[0 ;+\infty[$, on a $f(x) =\dfrac{x}{\e^x}$ , démontrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ possède une asymptote en $+\infty$ dont on donnera une équation.
    $\quad$
  2. Démontrer que pour tout réel $x$ appartenant à $[0 ;+\infty[$ : $$f'(x) = (1-x)\e^{-x}$$
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0 ;+\infty[$, sur lequel on fera figurer les valeurs aux bornes ainsi que la valeur exacte de l’extremum.
    $\quad$
  4. Déterminer, sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$, le nombre de solutions de l’équation : $$f(x) = \dfrac{367}{1~000}$$
    $\quad$
  5. On admet que pour tout $x$ appartenant à $[0 ;+\infty[$ : $$f\dsec(x) = \e^{-x}(x-2)$$
    Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$.
    $\quad$
  6. Soit $a$ un réel appartenant à $[0 ;+\infty[$ et $A$ le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a$.
    On note $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A$.
    On note $H_a$ le point d’intersection de la droite $T_a$ et de l’axe des ordonnées.
    On note $g(a)$ l’ordonnée de $H_a$.
    La situation est représentée sur la figure ci-dessous.
    $\quad$

    $\quad$
    a. Démontrer qu’une équation réduite de la tangente $T_a$ est :
    $$y=\left((1-a)\e^{-a}\right).x+a^2\e^{-a}$$
    $\quad$
    b. En déduire l’expression de $g(a)$.
    $\quad$
    c. Démontrer que $g(a)$ est maximum lorsque $A$ est un point d’inflexion de la courbe $C_f$.
    Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1} =\dfrac{-u_n-4}{u_n +3}$$
On admet que $u_n$ est défini pour tout entier naturel $n$.

  1. Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. On considère la fonction terme ci-dessous écrite de manière  incomplète en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def terme(n):}\\
    \quad \text{u = …}\\
    \quad \text{for i in range(n):}\\
    \qquad \text{u = …}\\
    \quad \text{return(u)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On rappelle qu’en langage Python, « $\text{i in range(n)}$ » signifie que $\text{i}$ varie de $\text{0}$ à $\text{n-1}$.
    Recopier et compléter le cadre ci-dessus de sorte que, pour tout entier naturel $n$, l’instruction $\text{terme(n)}$ renvoie la valeur de $u_n$.
    $\quad$
  3. Soit la fonction $f$ définie sur $]-3 ;+\infty[$ par : $$f(x) = \dfrac{-x-4}{x+3}$$
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
    Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-3 ;+\infty[$.
    $\quad$
  4. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
    $$−2 < u_{n+1} \pp u_n$$
    $\quad$
  5. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  6. Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$vn = \dfrac{1}{u_n+2}$$
    a. Donner $v_0$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $1$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $$u_n =\dfrac{1}{n+0,5}-2$$
    $\quad$
    d. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

L’énoncé ci-dessous est commun aux questions 1. et 2.

Les $200$ adhérents d’un club sont des filles ou des garçons. Ces adhérents pratiquent l’aviron ou le basket selon la répartition figurant dans le tableau ci-dessous.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\text{Aviron}&\text{Basket}&\text{Total}\\
\hline
\text{Filles}& 25& 80& 105\\
\hline
\text{Garçon}& 50&45&95\\
\hline
\text{Total}& 75& 125& 200\\
\hline
\end{array}$$
On choisit un adhérent au hasard et on considère les évènements suivants :
$F$ : l’adhérent est une fille.  $\qquad A$ : l’adhérent pratique l’aviron.

  1. La probabilité de $F$ sachant $A$ est égale à :
    a. $\dfrac{25}{100_{\phantom{1}}}$
    b. $\dfrac{25}{75_{\phantom{1}}}$
    c. $\dfrac{25}{105_{\phantom{1}}}$
    d. $\dfrac{75}{105_{\phantom{1}}}$
    $\quad$
  2. La probabilité de l’événement $A\cup F$ est égale à :
    a. $\dfrac{9}{10_{\phantom{1}}}$
    b. $\dfrac{1}{8_{\phantom{1}}}$
    c. $\dfrac{31}{40_{\phantom{1}}}$
    d. $\dfrac{5}{36_{\phantom{1}}}$
    $\quad$
    $$\begin{array}{c} \ast\\[-1cm]\ast\ast\end{array}$$

L’énoncé ci-dessous est commun aux questions 3. et 4.

Pour se rendre à son travail, Albert peut utiliser au choix le bus ou le train.

La probabilité que le bus soit en panne est égale à $b$.
La probabilité que le train soit en panne est égale à $t$.
Les pannes de bus et de train surviennent de façon indépendante.

  1. La probabilité $p_1$, que le bus ou le train soient en panne est égale à :
    a. $p_1 = bt$
    b. $p_1 = 1-bt$
    c. $p_1 = b+t$
    d. $p_1 = b + t-bt$
    $\quad$
  2. La probabilité p2 que Albert puisse se rendre à son travail est égale à :
    a. $p_1 = bt$
    b. $p_1 = 1-bt$
    c. $p_1 = b+t$
    d. $p_1 = b + t-bt$
    $\quad$
    $$\begin{array}{c} \ast\\[-1cm]\ast\ast\end{array}$$

 

  1. On considère une pièce de monnaie pour laquelle la probabilité d’obtenir FACE est égale à $x$. On lance la pièce $n$ fois. Les lancers sont indépendants.
    La probabilité $p$ d’obtenir au moins une fois FACE sur les $n$ lancers est égale à :
    a. $p = x^n$
    b. $p = (1- x)^n$
    c. $p = 1-x^n$
    d. $p = 1-(1-x)^n$
    $\quad$

$\quad$