Exercice 1

Partie A

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   $\quad$
   $\quad$
2. Pour tout $n\in \N$, $\left(R_n,\conj{R_n}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
   $\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(R_{n+1}\right)\\
   &=p\left(R_n\cap R_{n+1}\right)+p\left(\conj{R_n}\cap R_{n+1}\right) \\
   &=p\left(R_n\right)p_{R_n}\left(R_{n+1}\right)+p\left(\conj{R_n}\right)p_{\conj{R_n}}\left(R_{n+1}\right) \\
   &=0,9p_n+0,3\left(1-p_n\right) \\
   &=0,9p_n+0,3-0,3p_n \\
   &=0,6p_n+0,3\end{align*}$
   $\quad$
3. a. Soit $n\in \N$. $u_n=p_n-0,75 \ssi p_n=u_n+0,75$.
   $\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-0,75 \\
   &=0,6p_n+0,3-0,75 \\
   &=0,6p_n-0,45 \\
   &=0,6\left(u_n+0,75\right)-0,45 \\
   &=0,6u_n+0,45-0,45 \\
   &=0,6u_n\end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,6$ et de premier terme $u_0=p_0-0,75=-0,15$.
   $\quad$
   b. Ainsi, pour tout $n\in \N$, $u_n=-0,15\times 0,6^n$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} p_n&=u_n+0,75 \\
   &=0,75-0,15\times 0,6^n\end{align*}$
   $\quad$
   c. $-1<0,6<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,6^n=0$.
   Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,75$.
   La suite $\left(p_n\right)$ converge vers $0,75$.
   $\quad$
   d. Sur le long terme, l’athlète franchira la haie trois fois sur quatre.
   $\quad$

Partie B

1. On répète $10$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,75$.
   $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,75$.
   $\quad$
2. $P(X=10)=0,75^{10} \approx 0,056$
   La probabilité que l’athlète franchisse les $10$ haies est environ égale à $0,056$.
   $\quad$
3. On a :
   $\begin{align*} P(X\pg 9)&=P(X=9)+P(X=10) \\
   &=\dbinom{10}{9}0,75^9\times 0,25+0,75^{10} \\
   &\approx 0,244\end{align*}$
   $\quad$

 

Exercice 2

1. Un vecteur normal de $\mathcal{P}_1$ est $\vect{n_1}\begin{pmatrix}5\\2\\4\end{pmatrix}$.
   Un vecteur normal de $\mathcal{P}_2$ est $\vect{n_2}\begin{pmatrix}10\\14\\3\end{pmatrix}$.
   $\dfrac{10}{5}=2$ et $\dfrac{14}{2}=7$.
   Les vecteurs $\vect{n_1}$ et $\vect{n_2}$ ne sont pas colinéaires.
   Par conséquent $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles.
   $\quad$
2. Montrons que la droite est incluse dans chacun des deux plans.
   Soit $t\in \R$
   $\begin{align*} &5(1+2t)+2(-t)+4(3-2t) \\
   &=5+10t-2t+12-8t\\
   &=17\end{align*}$
   La droite $\mathcal{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}_1$
   $\begin{align*}&10(1+2t)+14(-t)+3(3-2t) \\
   &=10+20t-14t+9-6t\\
   &=19\end{align*}$
   La droite $\mathcal{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}_2$
   Les deux plans ne sont pas parallèles et contiennent tous les deux la droite $\mathcal{D}$.
   $\mathcal{D}$ est donc la droite d’intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
   $\quad$
3. a. $5\times 1+2\times (-1)+4\times (-1)=-1\neq 17$  : $A$ n’apparient pas à $\mathcal{P}_1$.
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*} A\in \mathcal{D} &\ssi \begin{cases} 1+2t=1\\-t=-1\\3-2t=-1\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} 2t=0\\t=1\\-2t=-4\end{cases}\\
   &\ssi \begin{cases} t=0\\t=1\\t=2\end{cases} \end{align*}$
   $t$ ne peut pas prendre plusieurs valeurs en même temps.
   Donc $A$ n’appartient pas à $\mathcal{D}$.
   $\quad$
4. a. On a $\vect{AM}\begin{pmatrix} 2t\\-t+1\\4-2t\end{pmatrix}$
   Par conséquent, pour tout $t\in \R$ on a :
   $\begin{align*} f(t)&=AM^2& \\
   &=(2t)^2+(-t+1)^2+(4-2t)^2 \\
   &=4t^2+t^2-2t+1+16-16t+4t^2 \\
   &=9t^2-18t+17\end{align*}$
   $\quad$
   b. $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $9$. Elle atteint son minimum en $\dfrac{-(-18)}{2\times 9}=1$.
   Les coordonnées du point $M$ quand $t=1$ sont $(3;-1;1)$.
   $\quad$
5. On a $\vect{AH}\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}$
   Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$.
   Par conséquent $\vec{u}.\vect{AH}=4+0-4=0$.
   Les deux vecteurs sont orthogonaux. Les droites $(AH)$ et $\mathcal{D}$ sont orthogonale.
   Si on prend $t=1$ dans la représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ on obtient les coordonnées du point $H$.
   Ainsi $H$ appartient à la fois à $\mathcal{D}$ et à $(AH)$.
   Les droites $\mathcal{D}$ et $(AH)$ sont perpendiculaires en $H$.
   $\quad$

 

Exercice 3

Partie A

1. La fonction représentée par la courbe $C_1$ semble être strictement positive sur $]-\infty;4[$ et strictement négative sur $]4;+\infty[$.
   La fonction représentée par la courbe $C_3$ semble être strictement croissante sur $]-\infty;4[$ et strictement décroissante sur $]4;+\infty[$. La fonction précédente semble être sa dérivée.
   La fonction représentée par la courbe $C_3$ semble être strictement positive et la fonction représentée par la courbe $C_2$ semble être strictement croissante.
   Par conséquent $f$ est représentée par $C_2$, $f’$ est représentée par $C_3$ et $f\dsec$ est représentée par $C_1$.
   $\quad$
2. D’après la question précédente, le coefficient directeur de la courbe $C_2$ au point d’abscisse $4$ est $f'(4)$ et correspond donc à l’ordonnée du point de $C_3$ d’abscisse $4$.
   Ainsi le coefficient directeur de la courbe $C_2$ au point d’abscisse $4$ est $f'(4)=3$.
   $\quad$
3. Les points d’inflexion de courbe $C_1$ semble avoir comme abscisse $3$, $4$ et $5$.
   $\quad$

Partie B

1. $\lim\limits_{x\to +\infty} -kx=-\infty$ car $k>0$.
   Or $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-kx}=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=4$.
   $\quad$
   $\lim\limits_{x\to -\infty} -kx=+\infty$ car $k>0$.
   Or $\lim\limits_{X\to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-kx}=+\infty$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=0$.
   $\quad$
2. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=\dfrac{-4\times (-k)\e^{-kx}}{\left(1+\e^{-kx}\right)^2}$.
   Par conséquent $g'(0)=\dfrac{4k}{4}=4$.
   $\quad$
3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $R$.
   D’après le logiciel de calcul formel, le signe de $g\dsec(x)$ ne dépend donc que de $-\left(\e^{kx}-1\right)$
   Or $\e^{kx}-1=0 \ssi \e^{kx}=1 \ssi kx=0 \ssi x=0$
   Et $\e^{kx}-1>0 \ssi \e^{kx}>1 \ssi kx>0 \ssi x>0$
   La fonction $g\dsec$ s’annule en changeant de signe en $0$.
   La courbe représentative de $g$ admet donc un point d’inflexion au point d’abscisse $0$.
   $\quad$

Exercice 4

1. Pour tout $n\in \N$ on a $-1\pp (-1)^n \pp 1$.
   Par conséquent $-\dfrac{1}{n+1} \pp u_n \pp \dfrac{1}{n+1}$.
   Or, pour tout $n\in \N$, $\dfrac{1}{n+1}\pp 1$.
   Par conséquent $-1\pp u_n \pp 1$.
   Affirmation 1 vraie
   $\quad$
2. La suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=(-1)^n$ est bornée (d’après la question précédente) et pourtant ne converge pas puisque les termes prennent comme valeur $-1$ et $1$ de façon alternée.
   Affirmation 2 fausse
   $\quad$
3. Considérons la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=-\dfrac{1}{n+1}$.
   Pour tout $n\in \N$ on a
   $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{-1}{n+2}+\dfrac{1}{n+1} \\
   &=\dfrac{-n-1+n+2}{(n+1)(n+2)} \\
   &=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \\
   &>0\end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
   Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n+1}=0$.
   Affirmation 3 fausse
   $\quad$
   Remarque : On pouvait prendre également comme contre-exemple n’importe quelle suite constante puisque l’énoncé ne spécifie pas que la suite doit être strictement croissante.
   $\quad$
4. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout $x\in \R$ :
   $ f'(x)=\dfrac{2x+2}{x^2+2x+2}$
   $\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{2\left(x^2+2x+2\right)-(2x+2)^2}{\left(x^2+2x+2\right)^2} \\
   &=\dfrac{2x^2+4x+4-4x^2-8x-4}{\left(x^2+2x+2\right)^2}\\
   &=\dfrac{-2x^2-4x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}\end{align*}$
   $-2x^2-4x=-2x(x+2)$
   $-2x>0\ssi x<0$ et $x+2>0\ssi x>-2$.
   Ainsi $f\dsec(-2,5)<0$ : la fonction $f$ n’est pas convexe sur $[-3;1]$.
   Affirmation 4 fausse
   $\quad$
   Remarque : On pouvait également faire un tableau de signes pour déterminer le signe de $f\dsec(x)$.
   $\quad$
5. La fonction $\texttt{mystere}$ renvoie le maximum de la liste $\texttt{L}$.
   $7$ est bien le maximum de la liste passée en argument.
   Affirmation 5 vraie
   $\quad$

Exercice 1       5 points

Thèmes : probabilités, suites

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d’entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente, que :

• si l’athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans $90 \%$ des cas le jour suivant ;
• si l’athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans $70 \%$ des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.

On note pour tout entier naturel $n$ :

• $R_n$ l’événement : « L’athlète réussit à franchir la haie lors de la $n$-ième séance »,
• $p_n$ la probabilité de l’événement $R_n$. On considère que $p_0= 0,6$.

1. Soit $n$ un entier naturel, recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.
   $\quad$
   
   $\quad$
2. Justifier en vous aidant de l’arbre que, pour tout entier naturel $n$, on a :
   $$p_{n+1}=0,6p_n+0,3$$
   $\quad$
3. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=p_n-0,75$.
   a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
   $\quad$
   b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $p_n=0,75-0,15\times 0,6^n$.
   $\quad$
   c. En déduire que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
   $\quad$
   d. Interpréter la valeur de $\ell$ dans le cadre de l’exercice.
   $\quad$

Partie B

Après de nombreuses séances d’entraînement, l’entraineur estime maintenant que l’athlète franchit chaque haie avec une probabilité de $0,75$ et ce indépendamment d’avoir franchi ou non les haies précédentes.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de haies franchies par l’athlète à l’issue d’un $400$ mètres haies qui comporte $10$ haies.

1. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
   $\quad$
2. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que l’athlète franchisse les $10$ haies.
   $\quad$
3. Calculer $P(X\pg 9)$, à $10^{-3}$ près.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2       5 points

Thème : Géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère :

• le point $A(1 ; -1 ; -1)$ ;
• le plan $\mathcal{P}_1$ d’équation : $5x + 2y + 4z = 17$ ;
• le plan $\mathcal{P}_2$ d’équation : $10x + 14y + 3z = 19$ ;
• la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique : $$\begin{cases} x=1+2t\\y=-t\\z=3-2t\end{cases} \qquad \text{où $t$ décrit $\R$}$$

1. Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles.
   $\quad$
2. Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite d’intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
   $\quad$
3. a. Vérifier que $A$ n’appartient pas à $\mathcal{P}_1$.
   $\quad$
   b. Justifier que $A$ n’appartient pas à $\mathcal{D}$.
   $\quad$
4. Pour tout réel $t$, on note $M$ le point de $\mathcal{D}$ de coordonnées $(1 + 2t ; -t ; 3-2t)$.
   On considère alors $f$ la fonction qui à tout réel $t$ associe $AM^2$, soit $f(t) = AM^2$.
   a. Démontrer que pour tout réel $t$, on a : $f(t)=9t^2-18t+17$.
   $\quad$
   b. Démontrer que la distance $AM$ est minimale lorsque $M$ a pour
   coordonnées $(3 ; -1 ; 1)$.
   $\quad$
5. On note $H$ le point de coordonnées $(3 ; -1 ; 1)$. Démontrer que la droite $(AH)$ est perpendiculaire à $\mathcal{D}$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3       5 points

Thème : étude de fonctions

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A.

Le plan est ramené à un repère orthogonal. On a représenté ci-dessous la courbe d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$, ainsi que celle de sa dérivée $f’$ et de sa dérivée seconde $f\dsec$.

1. Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.
   $\quad$
2. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_2$ au point d’abscisse $4$.
   $\quad$
3. Donner, avec la précision permise par le graphique, l’abscisse de chaque point d’inflexion de la courbe $C_1$.
   $\quad$

Partie B.

Soit un réel $k$ strictement positif. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$g(x)=\dfrac{4}{1+\e^{-kx}}$$.

1. Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .
   $\quad$
2. Prouver que $g'(0)=k$.
   $\quad$
3. En admettant le résultat ci-dessous obtenu avec un logiciel de calcul formel, prouver que la courbe de $g$ admet un point d’inflexion au point d’abscisse $0$.
   $\quad$
   
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4       5 points

Thème : suites, fonction logarithme, algorithmique

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Affirmation : La suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}$ est bornée.
   $\quad$
2. Affirmation : Toute suite bornée est convergente.
   $\quad$
3. Affirmation : Toute suite croissante tend vers $+\infty$.
   $\quad$
4. Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\ln\left(x^2+2x+2\right)$.
   Affirmation : La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[−3 ; 1]$.
   $\quad$
5. On considère la fonction $\texttt{mystere}$ définie ci-dessous qui prend une liste $\texttt{L}$ de nombres en paramètre. On rappelle que $\texttt{len(L)}$ renvoie la longueur, c’est-à-dire le nombre d’éléments de la liste $\texttt{L}$.
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   \texttt{def mystere(L) :}\\
   \hspace{0.8cm}\texttt{M = L[0]}\\
   \hspace{0.8cm}\texttt{#On initialise M avec le premier élément de la liste L}\\
   \hspace{0.8cm}\texttt{for i in range(len(L)) :}\\
   \hspace{1.6cm}\texttt{if L[i] > M :}\\
   \hspace{1.6cm}\texttt{M = L[i]}\\
   \hspace{0.8cm}\texttt{return M}\\
   \hline
   \end{array}$$
   Affirmation : L’exécution de $\texttt{mystere([2,3,7,0,6,3,2,0,5]) }$ renvoie $\texttt{7}$.
   $\quad$

$\quad$