Asie – DNB juin 2013

Asie – Juin 2013

DNB – Mathématiques – Correction

Vous pouvez trouver l’énoncé de ce sujet de brevet ici.

Exercice 1

  1. A $2,5$ km le débit est de $10$ Mbits/s.
    $~$
  2. Pour un débit de $20$ Mbits/s Paul se trouve à $1,5$ km.
    $~$
  3. Pour avoir un débit minimum de $15$ Mbits/s il faut donc se trouver à moins de $2$ km.
    $~$

Exercice 2

  1. FAUX
    $36 = 18 \times 2$ donc le PGCD de $18$ et $36$ est $18$.
    $~$
  2. VRAI
    $2 \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{2 \times 9}{2 \times 2} = \dfrac{9}{2}$
    $~$
  3. FAUX
    $\left(3\sqrt{5} \right)^2 = 9 \times 5 = 45$.
    $~$
  4. FAUX
    $(2x+3)^2 = 4x^2+12x+9$
    $9+2x(2x+3) = 9 + 4x^2 + 6x$
    $~$

Exercice 3

  1. Dans le triangle $CMP$ rectangle en $M$
    $\tan \widehat{CPM} = \dfrac{MP}{CM} \Leftrightarrow \tan 36,1 = \dfrac{1,73}{MP} \Leftrightarrow MP = \dfrac{1,73}{\tan 36,1} \approx 2,372 \text{ m}$.
    La sonnerie ne se déclenchera donc pas.
    $~$
  2. a. $\dfrac{40 + 35 + 85 +67 + 28 + 74 + 28}{7} = 51$.
    $~$
    b. Appelons $x$ le nombre de points obtenus à la $6^\text{ème}$ partie.
    On a alors $51 \times 7 = 12 + 62 + 7 + 100 + 81 + 30 + x$.
    Soit $357 = 292 + x$ d’où $x=357 – 292 = 65$.
    Nadia a donc obtenu $65$ à la $6^\text{ème}$ partie.
    $~$
    c. On ordonne les séries.
    Pour rémi : $28-28-35-40-67-74-85$
    $\dfrac{7}{2} = 3,5$. La médiane est donc la $4^\text{ème}$ valeur : $40$.
    Pour Nadia : $7 – 12 – 30 – 62 – 65 – 81 – 100$.
    La médiane est toujours la $4^\text{ème}$ valeur : $62$.
    $~$

Exercice 4

  1. $(3+5)^2=8^2=64 \qquad (-4+5)^2=(-2)^2=4$.
    $~$
  2. a. Appelons $x$ un des nombres cherchés.
    $(x+5)^2=25 \Leftrightarrow x+5=5$ ou $x=5=-5$ $\Leftrightarrow x = 0$ ou $ x=-10$.
    $~$
    b. Un carré ne peut être négatif. Il est donc impossible d’obtenir $-25$.
    $~$
  3. a. La fonction $f$ est celle définie par $x \mapsto (x+5)^2$.
    $~$
    b. $f(-2) = (-2+5)^2 = 3^2 = 9$. Affirmation vraie.
    $~$
  4. a. $(x+5)^2 = 25 \Leftrightarrow x+5=5$ ou $x+5=-5$ $\Leftrightarrow x = 0$ ou $x=-10$.
    $~$
    b. On peut donc choisir $0$ ou $-10$ pour obtenir $25$.
    $~$

Exercice 5

  1. $50~000 \times 10 \times 12 = 6~000~000$.
    Le budget de cette ville pour traiter les poubelles est donc de $6~000~000$ €.
    $~$
  2. En une année, chaque habitant a produit $\dfrac{30}{65} = \dfrac{6}{13}$ tonne de déchets.
    Chaque jour, il produit donc $\dfrac{6}{13 \times 365} \approx 0,0013$ tonne soit $1,3$ kg.
    Affirmation vraie.
    $~$.

Exercice 6

  1. $28 \times \left(1 + \dfrac{11}{100} \right) \approx 31,1$.
    Il y a donc $31,1$ millions de cyberacheteurs au premier trimestre $2012$.
    $~$
  2. $\left(1 + \dfrac{11}{100} \right) \times \left(1 + \dfrac{11}{100} \right) = 1,2321$.
    Sur les $2$ trimestres, il y a donc eu une augmentation de $23,21 \%$.
    $~$.

Exercice 7

  1. Volume d”un cône : $V_{cône} = \dfrac{12 \times \pi \times 3,75^2}{3} = 56,25\pi \text{ cm}^3$.
    Coefficient de réduction : $\dfrac{12 – 4}{12} = \dfrac{2}{3}$.
    Volume du petit cône : $V_{cône} \times \left(\dfrac{2}{3} \right)^3 = \dfrac{450\pi}{27} \text{ cm}^3$.
    Volume cavité : $V_{cavité} = 56,25\pi – \dfrac{450\pi}{27} \approx 124,35 \text{ cm}^3$.
    $~$
  2. $V_{nécessaire} = 9 \times \dfrac{3}{4} \times 125 = 843,75 \text{ cm}^3 < 1~000 \text{cm}^3$.
    Léa a donc préparé assez de pâte.
    $~$

Exercice 8

Largeur du rectangle $ABCD$ :
On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle $ACD$ rectangle en $D$.
$AC^2 = DC^2 + AD^2$ soit $312^2 =288^2+ AD^2$ donc $AD^2 = 14~400$ et $AD = 120 \text{ m}$.
Par conséquent $AJ = 120 – 72 = 48 \text{ m}$.

$AE = 288 – 48 = 240 \text{ m}$

$~$

Dans les triangles $ABC$ et $EBF$ :
– les droites $(EF)$ et $(AC)$ sont parallèles
– les points $B$, $E$, $A$ et $B$, $F$, $C$ sont alignés dans le même ordre.
D’après le théorème de Thalès :
$$\dfrac{BE}{BA} = \dfrac{BF}{BC} = \dfrac{EF}{AC} \Leftrightarrow \dfrac{48}{288} = \dfrac{BF}{120} = \dfrac{EF}{312}$$
Donc $BF = \dfrac{48 \times 120}{288} = 20 \text{ m}$ et $EF = \dfrac{48 \times 312}{288} = 52 \text{ m}$

Par conséquent $CG = 120 – 20 – 52 = 8 \text{ m}$

Remarque : On pouvait également utiliser le codage de la figure pour trouver $CG$ et ensuite en déduire $BF$. Le théorème de Pythagore pouvait alors s’appliquer pour trouver $EF$.

$~$

Périmètre du quart de cercle : $\dfrac{\pi}{2} \times 48 \approx 75,4 \text{ m}$

$~$

$IH = 288 – 44 – 29 = 211 \text{m}$

$~$

Dans le triangle $JDI$ rectangle en $D$, on applique le théorème de Pythagore
$$JI^2 = DI^2 + DJ^2 = 29^2 + 72^2 = 6025$$
Donc $JD = \sqrt{6025} \approx 77,6 \text{ m}$

$~$

Périmètre de la figure : $240 + 52 +52 +75,4 + 211 + 77,6 + 48 = 756 \text{m}$

La piste cyclable a donc une longueur d’environ $756 \text{m}$