Centres Étrangers – DNB – Juin 2013

Mathématiques – Correction 

Vous pouvez trouver l’énoncé du sujet ici.

Exercice 1

1. $(x+7)(2x-7)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   On résout donc chacune des équations suivantes :
   $$\begin{align}
   x+7=0 & \qquad \text{ou} \qquad & 2x-7=0 \\\\
   x=-7 & \qquad \text{ou} \qquad & 2x=7\\\\
   & & x=3,5
   \end{align}
   $$
   Réponse A
   $~$
   Remarque : on pouvait également tester toutes les valeurs proposées et ne garder que le couple pour lequel les valeurs étaient toutes les $2$ solutions.
   $~$
2. $~$
   $\begin{align} -2(x+7) \le -16 & \Leftrightarrow x+7 \ge 8 \text{ attention, on divise par un nombre négatif} \\\\
   & \Leftrightarrow x \ge 1
   \end{align}$
   Réponse B
   $~$
3. $(7x-5)^2=(7x)^2-2\times 7x\times 5 + 5^2$ $=49x^2-70x+25$
   Réponse B
   $~$
4. $9-64x^2 = 3^2 – (8x)^2$ $=(3-8x)(3+8x)$
   Réponse C
   $~$
5. Le cône correspondant au volume d’eau est une réduction du cône correspondant au verre de rapport $\dfrac{1}{2}$
   Donc $V_{eau} = \left(\dfrac{1}{2} \right)^3V_{verre} = \dfrac{1}{8}V_{verre}$
   Or $\dfrac{1}{8} < \dfrac{1}{2}$
   Réponse B
   $~$
6. Réponse C
   $~$

Exercice 2

1. $p(A) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$
   $~$
2. Fréquence d’une carte de la famille cœur : $\dfrac{6}{24} = \dfrac{1}{4}$
   $~$
   Fréquence d’une carte de la famille trèfle : $\dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3}$
   $~$
3. Les tirages sont aléatoires et indépendants. L’expérience de la question $2$ n’est donc pas représentative de ce qui peut se produire lors de cette nouvelle expérience. On ne peut donc pas prévoir si l’un des deux à plus de chance que l’autre de gagner.
   $~$

Exercice 3

1. Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$. Par conséquent $(AO)$ est à la fois une médiane, une médiatrice, une hauteur et une bissectrice.
   Donc $\widehat{BAM} = \dfrac{1}{2} \times 50 = 25°$
   $~$
2. $[AM]$ est un diamètre du cercle. Donc le triangle $BAM$, inscrit dans le cercle $\mathscr{C}$ est rectangle en $B$.
   $~$
3. Dans le triangle $ABM$ rectangle en $B$, $\cos \widehat{BAM} = \dfrac{AB}{AM}$
   Donc $\cos 25 = \dfrac{5}{AM}$ et $AM = \dfrac{5}{\cos 25} \approx 5,5$ cm
   $~$
4. Dans le cercle $\mathscr{C}$, les angles inscrits $\widehat{BKC}$ et $\widehat{BAC}$ interceptent le même arc $\overset{\frown}{BC}$
   Donc $\widehat{BLC} = \widehat{BAC} = 50°$.
   $~$

Exercice 4

1. La droite représentant le nombre d’abonnés par rapport au prix de la revue ne passe pas par l’origine du repère. Il n’y a donc pas proportionnalité.
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2. $A(10) = -50 \times 10 + 1~250 $ $= -500 + 1~250 = 750$
   Cela signifie donc qu’il y a $750$ abonnés si le prix de la revue est fixé à $10$€.
   $~$
3. La courbe qui représente $R$ n’est pas une droite. Ce n’est donc pas une fonction affine.
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4. Graphiquement, la recette semble maximale quand $x=12,5$€.
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5. Pour trouver, graphiquement, les antécédents de $6~800$ par $R$, il suffit de tracer la droite horizontale d’équation $y=6~800$ et lire les abscisses des points d’intersection avec la courbe. On lit $x=8$ et $x=17$.
   Les antécédents de $9~800$ sont donc $8$ et $17$.
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6. Lorsque $x=5$, $R(5) = -50 \times 5^2 + 1~250 \times 5 = 5~000$.
   La recette est de $5~000$€.
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   $A5) = -50 \times 5 + 1~250 = 1~000$.
   Il y a donc $1~000$ abonnés.
   $~$

Exercice 5

1. Étendue $= 9,4 – 6,67 = 2,73$
   Le SMIC horaire brut a donc augmenté de $2,73$€ entre $2001$ et $2011$
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2. $\dfrac{11}{2} = 5,5$. La médiane est donc la $6^\text{ème}$ valeur : $ 8,27$
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3. Entre $2001$ et $2002$, le pourcentage d’augmentation est : $\dfrac{6,83 – 6,67}{6,67} \approx 2,40\%$
   Entre $2007$ et $2008$, il est de : $\dfrac{8,63 – 8,44}{8,44} \approx 2,25\%$.
   Paul a donc tort.
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Exercice 6

Dans les triangles $ABM$ et $ACF$ :
$\quad$ – les droites $(BM)$ et $(CF)$ sont parallèles car perpendiculaires à $(AC)$
$\quad$ – les points $A, M, F$ et $A, B, C$ sont alignés dans le même ordre
D’après le théorème de Thalès : $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AM}{AF} = \dfrac{BM}{CF}$ soit $\dfrac{3}{9} = \dfrac{BM}{CF}$.
Par conséquent $BM = \dfrac{1}{3}CF$.
Or, on veut  que $BM = FD = CD-CF = 6 – CF$.
Donc on veut que $\dfrac{1}{3}CF = 6 – CF$ soit $\dfrac{1}{3}CF + CF = 6$ et donc $\dfrac{4}{3}CF = 6$.
$\quad$
Donc $CF = \dfrac{6 \times 3}{4} = 4,5$ cm.

Exercice 7

1. Joé a reçu une dose de $100$ mg alors que la dose maximale journalière est de $70$ mg.
   La posologie n’a donc pas été respectée.
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2. Surface corporelle de Lou = $\sqrt{\dfrac{105 \times 17,5}{3~600}} \approx 0,71 \text{ m}^2$.
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3. Lou devait recevoir $0,71 \times 70 = 49,7$ mg $\approx 50$ mg.
   La posologie a donc bien été respectée.