Exercice 1

Situation 1

$\begin{align*}
780&=2\times 390 \\
&=2\times 2\times 195 \\
&=2^2\times 5\times 39 \\
&=2^2\times 5\times 3\times 13 \\
&=2^2\times 3\times 5\times 13\end{align*}$

$\quad$

 

Situation 2

a. Une seule carte du jeu correspond au 8 de pique.
La probabilité d’obtenir le 8 de pique est donc égale à $\dfrac{1}{32}$.
$\quad$

b. Il y a $8$ cœurs dans le jeu (dont le roi de cœur) et $3$ rois qui ne sont pas des cœurs.
La probabilité d’obtenir un roi ou un cœur est donc égale à $\dfrac{8+3}{32}=\dfrac{11}{32}$.
$\quad$

Situation 3

$\begin{align*} A&=(2x+5)(3x-4) \\
&=6x^2-8x+15x-20\\
&=6x^2+7x-20\end{align*}$
$\quad$

Situation 4

a. Le volume du prisme droit est :
$\begin{align*} V&=\dfrac{60\times 80}{2}\times 120 \\
&=288~000\text{ cm}^3\end{align*}$
$\quad$

b. On a donc $V=288 \text{ dm}^3$ soit $V=288$ L.
$\quad$

Situation 5

Le coefficient d’agrandissement est $3$. L’aire est donc multipliée par $3^2$.
L’aire du polygone 2 est par conséquent :
$\begin{align*} A&=11\times 3^2 \\
&=99 \text{ cm}^2\end{align*}$

$\quad$

 

Exercice 2

1. Dans le triangle $LNA$, le plus grand côté est $[NA]$.
   D’une part $NA^2=13^2=169$
   D’autre part $LN^2+LA^2=5^2+12^2=25+144=169$
   Ainsi $NA^2=LN^2+LA^2$
   D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $LNA$ est rectangle en $L$.
   $\quad$
2. Dans les triangles $LNA$ et $ONH$ :
   – $H$ appartient à $[AN]$ et $O$ appartient à $[LN]$
   – $(OH)$ et $(AL)$ sont perpendiculaires à $(LN)$ donc $(LA)$ et $(OH)$ sont parallèles.
   D’après le théorème de Thalès :
   $\dfrac{NO}{NL}=\dfrac{NH}{NA}=\dfrac{OH}{AL}$
   Ainsi $\dfrac{3}{5}=\dfrac{OH}{12}$
   Soit $\dfrac{OH}=\dfrac{3\times 12}{5}$
   Donc $OH=7,2$ cm.
   $\quad$
3. Dans le triangle $LNA$ rectangle en $L$ on a
   $\cos \widehat{LNA}=\dfrac{LN}{AN} =\dfrac{5}{13}$
   D’après la calculatrice $\widehat{LNA}\approx 67$°
   Remarque : On pouvait utiliser également le sinus ou la tangente.
   $\quad$
4. D’une part $\widehat{LNA}=\widehat{ONH}$.
   D’autre part $\widehat{NLA}=\widehat{NOH}$
   Deux des angles des triangles sont de même mesure. Par conséquent les trois angles des triangles sont de même mesure et les triangles sont semblables.
   $\quad$
5. a. L’aire du triangle $LNA$ est :
   $\begin{align*} A_1&=\dfrac{5\times 12}{2} \\
   &=30\text{ cm}^2\end{align*}$
   L’aire du triangle $ONH$ est :
   $\begin{align*} A_2&=\dfrac{3\times 7,2}{2} \\
   &=10,8\text{ cm}^2\end{align*}$
   Ainsi l’aire du quadrilatère $LOHA$ est :
   $\begin{align*} A_3&=A_1-A_2\\
   &=30-10,8 \\
   &=19,2\text{ cm}^2\end{align*}$
   $\quad$
   b. $\dfrac{A_3}{A_1}=\dfrac{19,2}{30}=0,64$
   L’aire du quadrilatère $LOHA$ représente donc $64\%$ de l’aire du triangle $LNA$.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A : Évolution du nombre de visiteurs sur un site touristique

1. a. D’après le graphique il y a eu $300~000$ visiteurs en 2010.
   $\quad$
   b. C’est en 2019 que le nombre de visiteurs a été le plus élevé avec environ $400~000$ visiteurs.
   $\quad$
2. $187~216\times \left(1+\dfrac{15}{100}\right)=215~298,4<219~042$
   Le nombre de visiteurs a augmenté de plus de $15\%$ entre 2020 et 2021.
   $\quad$
   Remarque : On pouvait également calculer le pourcentage d’augmentation.
   $\quad$

Partie B : Étude des prix des hôtels de cette ville

3. L’étendue des prix facturés est égale à $500-60=440$ euros.
   $\quad$
4. La moyenne des prix facturés pour une nuit est :
   $\begin{align*} m&=\dfrac{60\times 1~200+80\times 1~350 + \ldots+500\times 300}{1~200+1~350+\ldots+300} \\
   &=\dfrac{1~117~000}{8~350}\\
   &\approx 134\end{align*}$
   La moyenne des prix facturés pour une nuit est environ égale à $134$ euros.
   $\quad$
5. Le nombre de nuits facturées moins de $100$ € est égal à $1~200+1~350+1~000+1~100=4~650$.
   Or $8~350$ nuits ont été facturées.
   $\dfrac{8~350}{2}=4~175<4~650$
   L’annonce est donc vraie.
   $\quad$

Exercice 4

1. a. On obtient la figure suivante :
   $\quad$
   
   $\quad$
   b. On peut écrire :
   $\quad$
   
   $\quad$
2. a. On doit écrire la valeur $5$ .
   $\quad$
   b. On doit tracer $5$ pétales à l’aide d’une rotation d’angle $\dfrac{360}{5}=72$.
   $\quad$
   c. À la ligne 2 : on écrit $12$
   À la ligne 4 : on écrit $30$.
   $\quad$

 

Exercice 5

1. La longueur de la piste est égale à :
   $\begin{align*} P&=850\times 2 + 2\times 40\times \pi \\
   &=1~700+80\pi  \\
   &\approx 1~951\text{ m}\end{align*}$
   $\quad$
2. a. La vitesse moyenne du cheval est :
   $\begin{align*} v&=\dfrac{1~951}{2\times 60+9} \\
   &\approx 15 \text{ m/s}\end{align*}$
   $\quad$
   b. La vitesse en kilomètre par heure est environ égale à $15\times \dfrac{3~600}{1~000} =54$ km/h
   $\quad$
3. Avec la marque A :
   $\dfrac{73~027}{500}\approx 146,05$. Il faut donc $147$ sacs.
   Le coût est donc $147\times 141,95=20~866,65$ euros
   $\quad$
   Avec la marque B :
   $\dfrac{73~027}{400}\approx 182,57$. Il faut donc $183$ sacs.
   Le coût est donc $183\times 87,90=16~085,70$ euros
   $\quad$
   Avec la marque C :
   $\dfrac{73~027}{300}\approx 243,42$. Il faut donc $244$ sacs.
   Le coût est donc $244\times 66,5=16~226$ euros
   $\quad$
   C’est en choisissant la marque B que le coût est le plus faible.
   $\quad$

Indication portant sur l’ensemble du sujet. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1     20 points

Les 5 situations suivantes sont indépendantes.

Situation 1

Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre $780$.
Aucune justification n’est attendue.

$\quad$

Situation 2

On rappelle qu’un jeu de $32$ cartes est composé de quatre familles (trèfle, carreau, cœur, pique).
Chaque famille est composée de huit cartes : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi et as.
L’expérience aléatoire consiste à tirer une carte au hasard dans ce jeu de $32$ cartes.

a. Quelle est la probabilité d’obtenir le 8 de pique ? Aucune justification n’est attendue.
$\quad$
b. Quelle est la probabilité d’obtenir un roi ou un cœur ? Aucune justification n’est attendue.
$\quad$

Situation 3

Développer et réduire l’expression $A$.
$A = (2x+5)(3x−4)$
$\quad$

Situation 4

a. Quel est le volume, en cm$^3$, de ce prisme droit ?
$\quad$
b. Convertir ce résultat en litre.
Rappel : $1$ L = $1$ dm$^3$
$\quad$

Situation 5

Le polygone 2 est un agrandissement du polygone 1.
Le coefficient de cet agrandissement est $3$.
L’aire du polygone 1 est égale à $11$ cm$^2$.
Quelle est l’aire du polygone 2 ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     22 points

On considère la figure ci-dessous.

Cette figure n’est pas à l’échelle.

On donne les mesures suivantes :

• $AN = 13$ cm
• $LN = 5$ cm
• $AL = 12$ cm
• $ON = 3$ cm
• $O$ appartient au segment $[LN]$
• $H$ appartient au segment $[NA]$

1. Montrer que le triangle $LNA$ est rectangle en $L$.
   $\quad$
2. Montrer que la longueur $OH$ est égale à $7,2$ cm.
   $\quad$
3. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{LNA}$. Donner une valeur approchée à l’unité près.
   $\quad$
4. Pourquoi les triangles $LNA$ et $ONH$ sont-ils semblables ?
   $\quad$
5. a. Quelle est l’aire du quadrilatère $LOHA$ ?
   $\quad$
   b. Quelle proportion de l’aire du triangle $LNA$ représente l’aire du quadrilatère $LOHA$ ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     20 points

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A : Évolution du nombre de visiteurs sur un site touristique.

1. Le diagramme ci-dessous représente le nombre de visiteurs par an de 2010 à 2021 sur ce site.
   $\quad$
   
   $\quad$
   a. Quel a été le nombre de visiteurs en 2010 ? Aucune justification n’est attendue.
   $\quad$
   b. En quelle année le nombre de visiteurs a-t-il été le plus élevé ? Aucune justification n’est attendue.
   $\quad$
2. Le tableau ci-dessous indique le nombre de visiteurs sur le site touristique de cette ville en 2020 et en 2021 :
   $$\begin{array}{|l|c|c|}
   \hline
   \text{Année}& 2020& 2021\\
   \hline
   \text{Nombre de visiteurs}& 187~216& 219~042\\
   \hline
   \end{array}$$
   Le maire de cette ville avait pour objectif que le nombre de visiteurs progresse d’au moins $15 \%$ entre 2020 et 2021.
   L’objectif a-t-il été atteint ?
   $\quad$

Partie B : Étude des prix des hôtels de cette ville.

Sur une période donnée, on relève les prix facturés pour une nuit par les hôtels de cette ville.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{l}\text{Prix facturés pour}\\\text{une nuit (en euro)}\end{array}& 60& 80& 85& 90& 110& 120& 350& 500\\
\hline
\text{Effectif}& 1~200& 1~350& 1~000& 1~100&1~200& 1~300&900&300\\
\hline\end{array}$$

3. Déterminer l’étendue des prix facturés.
   $\quad$
4. Quelle est la moyenne des prix facturés pour une nuit ? Arrondir à l’euro près.
   $\quad$
5. L’association des hôteliers de cette ville cherche à attirer des touristes et annonce : « Dans les hôtels de notre ville, au moins la moitié des nuits est facturée à moins de $100$ € ». Est-ce vrai ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     20 points

À l’aide d’un logiciel de programmation, on veut réaliser le motif « Fleur » suivant

1. a. Le parallélogramme $KLMN$ ci-dessous représente un des pétales du motif « Fleur ».
   Construire ce parallélogramme sur la copie en prenant $1$ cm pour $5$ pas.
   $\quad$
   

   $\quad$

   b. On définit le bloc « Pétale » ci-dessous afin de dessiner ce
   parallélogramme.
   On commence la construction du parallélogramme au point $K$ en s’orientant vers la droite.
   $\quad$
   
   $\quad$

   Par quelles valeurs doit-on compléter les lignes 4, 5, 6, et 7 du bloc « Pétale » ci-dessus ? Aucune justification n’est attendue, écrire sur la copie le numéro de la ligne du bloc « Pétale » et la valeur correspondante.
   $\quad$
   

2. Le bloc ci-dessous permet de construire un motif « Fleur » en partant de son centre.
   $\quad$
   

   $\quad$
   a. Par quelle valeur doit-on compléter la ligne 2 du bloc « Fleur » ci-dessus ? Aucune justification n’est attendue.
   $\quad$
   b. Expliquer le choix de la valeur « $72$ » dans la ligne 4.
   $\quad$
   c. On modifie le bloc « Fleur » pour construire le motif suivant :
   $\quad$
   

   $\quad$
   Quelles sont alors les modifications à apporter aux lignes 2 et 4 du bloc « Fleur » ? Aucune justification n’est attendue.
   $\quad$
   
   

$\quad$

Exercice 5     18 points

Un hippodrome est un lieu où se déroule des courses de chevaux.
On s’intéresse à la piste d’un hippodrome.
Cette piste est composée de :

• deux lignes droites modélisées par des segments de 850 mètres ;
• deux virages modélisés par deux demi-cercles de rayon 40 mètres.

1. Montrer que la longueur d’un tour de piste est d’environ $1~951$ m.
   $\quad$
2. Un cheval parcourt un tour de piste en $2$ min $9$ s.
   a. Calculer la vitesse moyenne de ce cheval sur un tour de piste en mètre par seconde (m/s).
   Donner une valeur approchée à l’unité près.
   $\quad$
   b. Convertir cette vitesse en kilomètre par heure (km/h).
   $\quad$
3. On admet que la surface de la piste a une aire d’environ $73~027$ m$^2$.
   On souhaite semer du gazon sur la totalité de la surface de la piste.
   On doit choisir des sacs de gazon à semer parmi les trois marques ci-dessous :
   $$\begin{array}{|c|c|c|}
   \hline
   &\textbf{Surface couverte par sac}&\textbf{Prix d’un sac}\\
   \hline
   \textbf{Marque A}& 500 \text{ m}^2& 141,95 \text{ €}\\
   \hline
   \textbf{Marque B}& 400 \text{ m}^2& 87,90 \text{ €}\\
   \hline
   \textbf{Marque C}& 300 \text{ m}^2 & 66,50 \text{ €}\\
   \hline
   \end{array}$$
   Quelle marque doit-on choisir pour que cela coûte le moins cher possible ?
   $\quad$

$\quad$