DNB – Amérique du Nord mai 2024

Amérique du Nord – Mai 2024

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. La moyenne des prix est :
    $\begin{align*} M&=\dfrac{12+15+10+7+13}{5} \\
    &=\dfrac{57}{5} \\
    &=11,4\end{align*}$
    L’affirmation A est vraie.
    $\quad$
    La série ordonnée est $7~10~12~13~15$.
    Il y a $5$ valeurs. $\dfrac{5}{2}=2,5$. La médiane est donc la $3$-ième valeur, soit $12$.
    L’affirmation B est fausse.
    $\quad$
  2. La vitesse moyenne de l’élève est $v=\dfrac{20}{6}=\dfrac{10}{3}$ m/s.
    Or $14$ km/h $=\dfrac{14~000}{3~600}$ m/s $= \dfrac{35}{9}$ m/s.
    Cependant $\dfrac{10}{3}\neq \dfrac{35}{9}$.
    L’affirmation C est fausse.
    $\quad$
  3. Les nombres premiers compris entre $1$ et $15$ sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$ et $13$.
    La probabilité de tirer au hasard une boule sur laquelle apparaît un nombre premier est donc $\dfrac{6}{15}$.
    L’affirmation D est fausse.
    $\quad$
  4. Le triangle $A’B’C’$ est l’image du triangle $ABC$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $(-3)$.
    Par conséquent l’aire du triangle $A’B’C’$ est égale à $3^2=9$ fois l’aire du triangle $ABC$.
    L’affirmation E est fausse.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. $2+2=4$ ; $4\times 4=16$
    $2\times 5=10$ ; $10-3=7$
    $16\times 7=112$
    Si on choisit $2$ comme nombre de départ, le résultat à l’arrivée est $112$.
    $\quad$
  2. Si on choisit à l’arrivée le nombre $-3$ :
    $-3+2=-1$ ; $-1\times 4=-4$
    $-3\times 5=-15$ ; $-15-3=-18$
    $-4\times (-18) = 72$
    Le résultat obtenu à l’arrivée est $72$.
    $\quad$
  3. Le côté gauche fournit le nombre $4(x-2)$ et le côté droit le nombre $5x-3$.
    Le résultat à l’arrivée est donc $4(x-2)(5x-3)$.
    Il s’agit par conséquent de l’expression D.
    De plus $4(x-2)=4x-8$. Ainsi l’expression C est également correcte.
    $\quad$
  4. Si on obtient $0$ à l’arrivée cela signifie que $4(x+2)(5x-3)=0$.
    Un produit de facteur est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    $x+2=0$ revient à $x=-2$
    $5x-3=0$  revient à $5x=3$ soit $x=\dfrac{3}{5}$
    Les nombres $-2$ et $\dfrac{3}{5}$ permettent d’obtenir $0$ à l’arrivée.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*}B&=(4x+2)(5x-3) \\
    &=20x^2-12x+10x-6 \\
    &=20x^2-2x-6\end{align*}$

Ex 3

Exercice 3

  1. $11\times 3=33$
    Avec le tarif « Classique » cette personne va payer $33$ €.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} 50+8\times 5&=50+40 \\
    &=90\end{align*}$
    Avec le tarif « Essentiel » cette personne va payer $90$ €.
    $\quad$
  3. $g$ est une fonction constante. Elle est donc représentée par la droite $\left(d_3\right)$.
    $h$ est une fonction linéaire est donc représentée par une droite passant par l’origine du repère c’est-à-dire par la droite $\left(d_1\right)$.
    $f$ est donc représentée par la droite $\left(d_1\right)$.
    $\quad$
  4. Une situation de proportionnalité est associée à une fonction linéaire.
    Le tarif « Classique » propose donc un prix proportionnel au nombre d’entrées.
    $\quad$
  5. a. On cherche à déterminer la plus grande valeur de l’entier naturel $x$ tel que :
    $50+5x\pp 150$ soit $5x\pp 100$ et donc $x\pp 20$.
    On peut donc acheter au maximum $20$ places au tarif « Essentiel » avec $150$ €.
    $\quad$
    b. La droite $\left(d_3\right)$ est en dessous de la droite $\left(d_2\right)$ à partir de $38$ entrées.
    En achetant $38$ entrées les deux tarifs reviennent au même prix et à partir de $39$ entrées le tarif « Liberté » est plus intéressant.
    $\quad$
    c. Graphiquement, le tarif « Classique » permet d’acheter $18$ entrées et le tarif « Essentiel » permet d’en acheter $30$ avec un budget de $200$ €.
    C’est donc le tarif « Essentiel » qui permet d’acheter le plus grand nombre d’entrées.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. $F$ appartient à $[EJ]$. Or $EF=6$ m ($EFGH$ est un rectangle) et $EJ=10$ m.
    Donc :
    $\begin{align*} FJ&=EJ-EF \\
    &=10-6\\
    &=4\end{align*}$
    Ainsi $FJ=4$ m.
    $\quad$
  2. Le triangle $FGJ$ est rectangle en $F$. D’après le théorème de Pythagore :
    $\begin{align*} GJ^2&=FJ^2+FG^2 \\
    &=4^2+3^2 \\
    &=16+9\\
    &=25\end{align*}$
    Donc $GJ=5$ m.
    Le périmètre du polygone $EFJGH$ est ainsi égal à :
    $10+5+6+3=24$ m.
    Ils doivent donc acheter au minimum $24$ m de planches.
    $\quad$
  3. a. Le volume de la terrasse est égal à :
    $\begin{align*} V&=24\times 0,15 \\
    &=3,6 \\
    &<4\end{align*}$
    Le volume de la terrasse est bien inférieur à $4$ m$^3$.
    $\quad$
    b. Pour réaliser $4$ m$^3$ de béton, il faut acheter $4\times  250=1~000$ kg de ciment.
    $\quad$
    c. Il faut donc $\dfrac{7}{2}\times 1~000=3~500$ kg de gravier et $\dfrac{5}{2}\times 1~000=2~500$ kg de sable pour réaliser $4$ m$^3$ de béton.
    $\quad$
  4. L’aire du rectangle $EFGH$ est égale à $3\times 6=18$ m$^2$.
    L’aire du triangle rectangle $FGJ$ est égale à $\dfrac{3\times 4}{2}=6$ m$^2$.
    Ils doivent donc peindre $18+6=24$ m$^2$.
    Deux couches étant nécessaires il faut donc prévoir de peindre $2\times 24=48$ m$^2$.
    $\dfrac{48}{5}=9,6$ : il faut donc au moins $9,6$ litres de peinture.
    Avec le pot A : il faut prévoir $2$ pots. Le deuxième article ayant une réduction de $50\%$ sur le deuxième article identique cela coûte $79,9\times 1,5=119,85$ €.
    Avec le pot B il ne faut qu’un pot qui coûte $129,90$ €.
    Il faut ainsi choisir acheter $2$ pots de l’offre A pour effectuer ces travaux avec un coût minimum.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

Partie A

  1. La somme des angles d’un triangle est égale à $180$°.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \widehat{ACB}&=180-2\times 60 \\
    &=180-120 \\
    &=60\end{align*}$
    Les trois angles du triangle $ABC$ ont la même mesure. C’est donc un triangle équilatéral.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $ABC$ et $DCE$:
    – $C$ appartient à $[DB]$ et $[AE]$
    – $\dfrac{DC}{CB}=\dfrac{80}{240}$ et $\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{80}{240}$ donc $\dfrac{DC}{CB}=\dfrac{EC}{AC}$
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, les droites $(DE)$ et $(AB)$ sont parallèles.
    $\quad$

Partie B

  1. Le point de départ du lutin a pour coordonnées $(-180;-150)$.
    $\quad$
  2. Il faut saisir la valeur $240$ à la ligne $4$ du programme.
    $\quad$
  3. Après avoir exécuté la ligne 7 du programme, le lutin se trouve à la case G3.
    $\quad$
  4. Le triangle $DCE$ est l’image du triangle $ABC$ par l’homothétie de centre $C$ et de rapport $\dfrac{240}{60}=\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$

 

Énoncé

 

Exercice 1     (20 points)

Voici cinq affirmations. Pour chacune d’entre elles, dire si elle est vraie ou fausse.
On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.

  1. Voici les prix en euros d’un vêtement relevés dans différents magasins. $$12 ; 15 ; 10 ; 7 ; 13$$
    Affirmation A : La moyenne des prix est $11,40$ €.
    $\quad$
    Affirmation B : La médiane des prix est $10$ €.
    $\quad$
  2. Lors d’un entraînement, une élève court $20$ m en $6$ secondes.
    Affirmation C : Lors de cet entraînement, sa vitesse moyenne était de $14$ km/h.
    $\quad$
  3. Une urne contient $15$ boules indiscernables numérotées de $1$ à $15$.
    Affirmation D : La probabilité de tirer au hasard une boule sur laquelle apparaît un nombre premier est $\dfrac{7}{15}$.
    $\quad$
  4. Le triangle $A’B’C’$ est l’image du triangle $ABC$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $(-3)$.
    $\quad$

    $\quad$
    Affirmation E : L’aire du triangle $A’B’C’$ est égale à $3$ fois l’aire du triangle $ABC$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (20 points)

Voici un programme de calcul :

  1. Montrer que si on choisit $2$ comme nombre de départ, le résultat à l’arrivée est $112$.
    $\quad$
  2. Quel est le résultat obtenu à l’arrivée quand on choisit $-3$ comme nombre de départ ?
    $\quad$
  3. On choisit $x$ comme nombre de départ.
    Parmi les expressions suivantes, lesquelles permettent d’exprimer le résultat à l’arrivée de ce programme de calcul. Aucune justification n’est demandée.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Expression A}&\text{Expression B}&\text{Expression C}&\text{Expression D}\\ \hline
    (x + 2 × 4)(x × 5-3)& (4x + 2)(5x-3)& (4x + 8)(5x- 3)& (x + 2) \times 4 \times (5x-3)\\ \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. Trouver les deux nombres de départ qui permettent d’obtenir $0$ à l’arrivée. Expliquer la démarche.
    $\quad$
  5. Développer et réduire l’expression $B$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (20 points)

Un cinéma propose trois tarifs :
Tarif « Classique » : La personne paye chaque entrée $11$ €.
Tarif « Essentiel » : La personne paye un abonnement annuel de $50$ € puis chaque entrée coûte $5$ €.
Tarif « Liberté » : La personne paye un abonnement annuel de $240$ € avec un nombre d’entrées illimité.

  1. Avec le tarif « Classique », une personne souhaite acheter trois entrées au cinéma.
    Combien va-t-elle payer ?
    $\quad$
  2. Avec le tarif « Essentiel », une personne souhaite aller huit fois au cinéma.
    Montrer qu’elle va payer $90$ €.
    $\quad$
  3. Dans la suite, $x$ désigne le nombre d’entrées au cinéma.
    On considère les trois fonctions $f$, $g$ et $h$ suivantes :
    $f~:~x\mapsto 50+5x \qquad g~:~x\mapsto 240 \qquad h~:~x\mapsto 11x$
    Associer, sans justifier, chacune de ces fonctions au tarif correspondant.

Le graphique ci-dessous représente le prix à payer en fonction du nombre d’entrées pour chacun de ces trois tarifs.

  1. Quel tarif propose un prix proportionnel au nombre d’entrées ?
    $\quad$
  2. Pour les questions suivantes, aucune justification n’est attendue.
    a. Avec $150$ €, combien peut-on acheter d’entrées au maximum avec le tarif « Essentiel » ?
    $\quad$
    b. À partir de combien d’entrées, le tarif « Liberté » devient-il le tarif le plus intéressant ?
    $\quad$
    c. Si on décide de ne pas dépasser un budget de $200$ €, quel est le tarif qui permet d’acheter le plus grand nombre d’entrées ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (21 points)

M. et Mme Martin veulent construire une terrasse en béton dans leur jardin. Ils souhaitent que leur terrasse ait une hauteur de $15$ cm. Les représentations ci-dessous ne sont pas à l’échelle.

  1. Montrer que $FJ = 4$ m.
    $\quad$
  2. Afin de pouvoir couler le béton, M. et Mme Martin doivent délimiter la terrasse en installant des planches tout autour. Quelle longueur de planches doivent-ils acheter au minimum ?
    $\quad$
  3. M. et Mme Martin souhaitent réaliser $4$ m$^3$ de béton.
    a. Montrer que le volume de la terrasse est bien inférieur à $4$ m$^3$.
    $\quad$
    b. Sachant que pour faire $1$ m$^3$ de béton, il faut $250$ kg de ciment, quelle masse de ciment (en kg) doivent-ils acheter pour réaliser $4$ m$^3$ de béton ?
    $\quad$
    c. Pour faire du béton, on ajoute de l’eau à un mélange de ciment, de gravier et de sable.
    Dans ce mélange, les masses de ciment – gravier – sable sont dans le ratio $2~:~7~:~5$.
    Déterminer (en kg), la masse de gravier et la masse de sable nécessaires pour réaliser les $4$ m$^3$ de béton.
    $\quad$
  4. M. et Mme Martin souhaitent peindre la surface supérieure de leur terrasse.
    À l’aide des documents 1, 2 et 3, déterminer le type et le nombre de pots nécessaires pour effectuer ces travaux avec un coût minimum.

$\quad$

$\quad$

Exercice 5     (19 points)

Dans cet exercice on considère la figure codée ci-dessous.

  • Les points $A$, $C$ et $E$ sont alignés.
  • Les points $B$, $C$ et $D$ sont alignés.
  • $AB = 240$ mm.
  • $CE = 80$ mm.

Partie A

  1. Montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral.
    $\quad$
  2.  Montrer que les droites $(DE)$ et $(AB)$ sont parallèles.
    $\quad$

Partie B

On donne le programme suivant qui permet de tracer la figure précédente.
Ce programme comporte une variable nommée « côté ».
Les longueurs sont données en pas : $1$ pas représente $1$ mm.
On rappelle que l’instruction signifie que le lutin se dirige horizontalement vers la droite.

  1. Quelles sont les coordonnées du point de départ du lutin ? Aucune justification n’est demandée.
    $\quad$
  2. Quelle valeur doit être saisie à la ligne 4 dans le programme ? Aucune justification n’est demandée.
    $\quad$
  3. Le lutin démarre à la case D8. Dans quelle case se trouve-t-il lorsqu’il vient d’exécuter la ligne 7 du programme ? Aucune justification n’est demandée.
    $\quad$

    $\quad$
  4. Expliquer l’instruction « côté / 3 » de la ligne 8 du programme pour le tracé de la figure.
    $\quad$

$\quad$