DNB – Amérique du Nord mai 2024

Amérique du Nord – Mai 2024

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. La moyenne des prix est :
    $\begin{align*} M&=\dfrac{12+15+10+7+13}{5} \\
    &=\dfrac{57}{5} \\
    &=11,4\end{align*}$
    L’affirmation A est vraie.
    $\quad$
    La série ordonnée est $7~10~12~13~15$.
    Il y a $5$ valeurs. $\dfrac{5}{2}=2,5$. La médiane est donc la $3$-ième valeur, soit $12$.
    L’affirmation B est fausse.
    $\quad$
  2. La vitesse moyenne de l’élève est $v=\dfrac{20}{6}=\dfrac{10}{3}$ m/s.
    Or $14$ km/h $=\dfrac{14~000}{3~600}$ m/s $= \dfrac{35}{9}$ m/s.
    Cependant $\dfrac{10}{3}\neq \dfrac{35}{9}$.
    L’affirmation C est fausse.
    $\quad$
  3. Les nombres premiers compris entre $1$ et $15$ sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$ et $13$.
    La probabilité de tirer au hasard une boule sur laquelle apparaît un nombre premier est donc $\dfrac{6}{15}$.
    L’affirmation D est fausse.
    $\quad$
  4. Le triangle $A’B’C’$ est l’image du triangle $ABC$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $(-3)$.
    Par conséquent l’aire du triangle $A’B’C’$ est égale à $3^2=9$ fois l’aire du triangle $ABC$.
    L’affirmation E est fausse.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. $2+2=4$ ; $4\times 4=16$
    $2\times 5=10$ ; $10-3=7$
    $16\times 7=112$
    Si on choisit $2$ comme nombre de départ, le résultat à l’arrivée est $112$.
    $\quad$
  2. Si on choisit à l’arrivée le nombre $-3$ :
    $-3+2=-1$ ; $-1\times 4=-4$
    $-3\times 5=-15$ ; $-15-3=-18$
    $-4\times (-18) = 72$
    Le résultat obtenu à l’arrivée est $72$.
    $\quad$
  3. Le côté gauche fournit le nombre $4(x-2)$ et le côté droit le nombre $5x-3$.
    Le résultat à l’arrivée est donc $4(x-2)(5x-3)$.
    Il s’agit par conséquent de l’expression D.
    De plus $4(x-2)=4x-8$. Ainsi l’expression C est également correcte.
    $\quad$
  4. Si on obtient $0$ à l’arrivée cela signifie que $4(x+2)(5x-3)=0$.
    Un produit de facteur est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    $x+2=0$ revient à $x=-2$
    $5x-3=0$  revient à $5x=3$ soit $x=\dfrac{3}{5}$
    Les nombres $-2$ et $\dfrac{3}{5}$ permettent d’obtenir $0$ à l’arrivée.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*}B&=(4x+2)(5x-3) \\
    &=20x^2-12x+10x-6 \\
    &=20x^2-2x-6\end{align*}$

Ex 3

Exercice 3

  1. $11\times 3=33$
    Avec le tarif « Classique » cette personne va payer $33$ €.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} 50+8\times 5&=50+40 \\
    &=90\end{align*}$
    Avec le tarif « Essentiel » cette personne va payer $90$ €.
    $\quad$
  3. $g$ est une fonction constante. Elle est donc représentée par la droite $\left(d_3\right)$.
    $h$ est une fonction linéaire est donc représentée par une droite passant par l’origine du repère c’est-à-dire par la droite $\left(d_1\right)$.
    $f$ est donc représentée par la droite $\left(d_1\right)$.
    $\quad$
  4. Une situation de proportionnalité est associée à une fonction linéaire.
    Le tarif « Classique » propose donc un prix proportionnel au nombre d’entrées.
    $\quad$
  5. a. On cherche à déterminer la plus grande valeur de l’entier naturel $x$ tel que :
    $50+5x\pp 150$ soit $5x\pp 100$ et donc $x\pp 20$.
    On peut donc acheter au maximum $20$ places au tarif « Essentiel » avec $150$ €.
    $\quad$
    b. La droite $\left(d_3\right)$ est en dessous de la droite $\left(d_2\right)$ à partir de $38$ entrées.
    En achetant $38$ entrées les deux tarifs reviennent au même prix et à partir de $39$ entrées le tarif « Liberté » est plus intéressant.
    $\quad$
    c. Graphiquement, le tarif « Classique » permet d’acheter $18$ entrées et le tarif « Essentiel » permet d’en acheter $30$ avec un budget de $200$ €.
    C’est donc le tarif « Essentiel » qui permet d’acheter le plus grand nombre d’entrées.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. $F$ appartient à $[EJ]$. Or $EF=6$ m ($EFGH$ est un rectangle) et $EJ=10$ m.
    Donc :
    $\begin{align*} FJ&=EJ-EF \\
    &=10-6\\
    &=4\end{align*}$
    Ainsi $FJ=4$ m.
    $\quad$
  2. Le triangle $FGJ$ est rectangle en $F$. D’après le théorème de Pythagore :
    $\begin{align*} GJ^2&=FJ^2+FG^2 \\
    &=4^2+3^2 \\
    &=16+9\\
    &=25\end{align*}$
    Donc $GJ=5$ m.
    Le périmètre du polygone $EFJGH$ est ainsi égal à :
    $10+5+6+3=24$ m.
    Ils doivent donc acheter au minimum $24$ m de planches.
    $\quad$
  3. a. Le volume de la terrasse est égal à :
    $\begin{align*} V&=24\times 0,15 \\
    &=3,6 \\
    &<4\end{align*}$
    Le volume de la terrasse est bien inférieur à $4$ m$^3$.
    $\quad$
    b. Pour réaliser $4$ m$^3$ de béton, il faut acheter $4\times  250=1~000$ kg de ciment.
    $\quad$
    c. Il faut donc $\dfrac{7}{2}\times 1~000=3~500$ kg de gravier et $\dfrac{5}{2}\times 1~000=2~500$ kg de sable pour réaliser $4$ m$^3$ de béton.
    $\quad$
  4. L’aire du rectangle $EFGH$ est égale à $3\times 6=18$ m$^2$.
    L’aire du triangle rectangle $FGJ$ est égale à $\dfrac{3\times 4}{2}=6$ m$^2$.
    Ils doivent donc peindre $18+6=24$ m$^2$.
    Deux couches étant nécessaires il faut donc prévoir de peindre $2\times 24=48$ m$^2$.
    $\dfrac{48}{5}=9,6$ : il faut donc au moins $9,6$ litres de peinture.
    Avec le pot A : il faut prévoir $2$ pots. Le deuxième article ayant une réduction de $50\%$ sur le deuxième article identique cela coûte $79,9\times 1,5=119,85$ €.
    Avec le pot B il ne faut qu’un pot qui coûte $129,90$ €.
    Il faut ainsi choisir acheter $2$ pots de l’offre A pour effectuer ces travaux avec un coût minimum.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

Partie A

  1. La somme des angles d’un triangle est égale à $180$°.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \widehat{ACB}&=180-2\times 60 \\
    &=180-120 \\
    &=60\end{align*}$
    Les trois angles du triangle $ABC$ ont la même mesure. C’est donc un triangle équilatéral.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $ABC$ et $DCE$:
    – $C$ appartient à $[DB]$ et $[AE]$
    – $\dfrac{DC}{CB}=\dfrac{80}{240}$ et $\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{80}{240}$ donc $\dfrac{DC}{CB}=\dfrac{EC}{AC}$
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, les droites $(DE)$ et $(AB)$ sont parallèles.
    $\quad$

Partie B

  1. Le point de départ du lutin a pour coordonnées $(-180;-150)$.
    $\quad$
  2. Il faut saisir la valeur $240$ à la ligne $4$ du programme.
    $\quad$
  3. Après avoir exécuté la ligne 7 du programme, le lutin se trouve à la case G3.
    $\quad$
  4. Le triangle $DCE$ est l’image du triangle $ABC$ par l’homothétie de centre $C$ et de rapport $\dfrac{240}{60}=\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$

 

Énoncé

 

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