Exercice 1

Question 1 : $1$ n’est divisible que par $1$.
$21$ et $54$ sont divisibles par $3$.
$37$ n’est divisible que par $1$ et lui-même. Il est donc premier.
Réponse C
$\quad$

Question 2 : Le patron d’un cube est composé de $6$ carrés.
Chaque carré a une aire, ici, égale à $5^2=25$ cm$^2$.
L’aire du patron est donc égale à $6\times 25=150$ cm$^2$.
Réponse B
$\quad$

Question 3 : On a
$\begin{align*} 4x^2-9&=(2x)^2-3^2 \\
&=(2x-3)(2x+3) \end{align*}$
Réponse B
$\quad$

Question 4 : On appelle $\ell$ la largeur de l’écran.
On a donc $\dfrac{16}{9}=\dfrac{110}{\ell}$ ainsi $\ell=\dfrac{9\times 110}{16}$.
Donc $\ell=61,875$ cm $\approx 62$ cm.
Réponse A
$\quad$

Question 5 : On réordonne la série de valeurs :
$$3,4 \quad 3,67\quad 4,1\quad 4,23\quad 4,5$$
Cette série contient $5$ valeurs. Or $\dfrac{5}{2}=2,5$.
La médiane est donc la $3$-ième valeur soit $4,1$.
Réponse B
$\quad$

Exercice 2

1. Il manque un carré au dessus du carré de gauche sur cette vue.
   L’affirmation 1 est fausse.
   $\quad$
2. Dans les triangles $SNU$ et $SOD$ on a :
   $\bullet$ $N$ appartient à $[SO]$ et $U$ appartient à $[SD]$.
   $\bullet$ $\dfrac{SN}{SO}=\dfrac{1}{2}$ car $N$ est le milieu de $[SO]$
   $\bullet$ $\dfrac{SU}{SD}=\dfrac{5}{5+6}=\dfrac{5}{11}$
   Par conséquent $\dfrac{SU}{SD}\neq \dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{SU}{SD}\neq \dfrac{SN}{SO}$.
   D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(NU)$ et $(OD)$ ne sont pas parallèles.
   L’affirmation 2 est fausse.
   $\quad$
3. La probabilité d’obtenir une boule bleue est égale à $\dfrac{6}{4+6}=0,6$.
   $3$ faces sur les $6$ du dé portent un numéro pair (les faces $2$, $4$ et $6$). La probabilité d’obtenir un nombre pair est donc égale à $\dfrac{3}{6}=0,5$.
   Or $0,6>0,5$.
   L’affirmation 3 est vraie.
   $\quad$

Exercice 3

1. Dans le triangle $BCG$ rectangle en $C$ on applique le théorème de Pythagore.
   On a $BG^2=GC^2+BC^2$ soit $20^2=10^2+BC^2$.
   Donc $400=100+BC^2$. D’où $BC^2=300$ et $BC=\sqrt{300}\approx 17,3$ cm.
   $\quad$
2. L’aire du triangle $BAG$ est égale à :
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AB\times GC}{2} \\
   &=\dfrac{2\times BC\times 10}{2} \\
   &=10BC \\
   &=10\sqrt{300} \\
   &\approx 173 \text{cm}^2\end{align*}$
   $\quad$
3. a. Dans le triangle $CGB$ rectangle en $C$ on a :
   $\begin{align*} \cos \widehat{CGB}&=\dfrac{CG}{GB} \\
   &=\dfrac{10}{20} \\
   &=0,5\end{align*}$
   Donc $\widehat{CGB}=60$°.
   $\quad$
   b. Le triangle $AGB$ est isocèle en $G$ puisque $A$ et $B$ sont deux points du cercle de centre $G$.
   Par conséquent, la hauteur issue de $G$ est également une bissectrice du triangle.
   Donc :
   $\begin{align*} \widehat{AGB}=2\times \widehat{CGB} \\
   &=2\times 60 \\
   &=120\text{°}\end{align*}$
   $\quad$
4. On obtient donc $3$ secteurs angulaires identiques qui mesurent chacun $120$°.
   Or $3\times 120=360$.
   Les trois pièces sont identiques et la somme des angles est égale à $360$°.
   Ils ont donc raison.
   $\quad$
5. L’aire du disque complet est égale à :
   $\begin{align*} \mathscr{D}&=\pi BG^2 \\
   &=400\pi\end{align*}$
   Les trois pièces ont la même aire $P$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} P&=\dfrac{\mathscr{D}}{3} \\
   &=\dfrac{400\pi}{3} \\
   &\approx 419\text{ cm}^2\end{align*}$
   $\quad$

 

Exercice 4

Partie A

1. La distance la plus courte entre Marseille et Strasbourg est $803$ km.
   Pour un trajet aller-retour ils vont donc parcourir $2\times 803=1~606$ km.
   $\quad$
2. Avec la formule B ils vont payer :
   $\begin{align*} P&=300+0,25\times 1~606 \\
   &=300+401,5 \\
   &=701,5\end{align*}$
   La location coûtera $701,50$ €.
   $\quad$
3. Avec la formule A ils paieraient $0,5\times 1~606=803$ €.
   Avec la formule C ils paieraient $900$ €.
   La formule B est donc la plus avantageuse.
   $\quad$
4. La voiture va consommer : $\dfrac{1~606}{100}\times 5,6=89,936$ L.
   Le prix du carburant utilisé sera donc égale à $89,936\times 1,87\approx 168,18$ €.
   Le coût total du trajet sera donc égale à :  $701,50+168,18+115,8=985,48<1~000$
   Leur budget sera donc suffisant.
   $\quad$

Partie B

5. Avec la formule A, le prix à payer est égale à $0,5x$.
   Avec la formule B, le prix à payer est égale à $300+0,25x$.
   Avec la formule C, le prix à payer est égale à $900$.
   $\quad$
6. Le coût est de la formule C est constant. Cette formule est donc représentée par la courbe 1.
   Le coût de la formule A est une expression linéaire. Elle est donc représentée par une droite passant par l’origine du repère, c’est-à-dire par la courbe 3.
   La formule B est donc représentée par la courbe 2.
   $\quad$
7. $0,25x+300=0,5x$ soit $300=0,25x$ et donc $x=\dfrac{300}{0,25}$ c’est-à-dire $x=1~200$.
   La solution de l’équation est $1~200$.
   Les tarifs A et B coûtent le même prix lorsqu’on parcourt $1~200$ km.
   $\quad$
8. a. $0,5\times 2~600=1~300$
   $300+0,25\times 2~600=950$
   C’est donc la formule C qui est la plus intéressante.
   $\quad$
   b. Si on parcourt $200$ km la formule A est la plus intéressante. (la courbe représentant cette formule est en-dessous des autres pour cette distance).
   Remarque : n’importe quelle distance inférieure à $1~200$ km est correcte.
   $\quad$
   c. Graphiquement :
   $\bullet$ si on parcourt entre $0$ et $1~200$ km la formule A est la plus intéressante.
   $\bullet$ si on parcourt entre $1~200$ et $2~400$ km la formule B est la plus intéressante.
   $\bullet$ si on parcourt entre $2~400$ et $2~600$ km la formule C est la plus intéressante.
   $\quad$

 

Exercice 5

1. Il se positionne au point de coordonnées $(-100;0)$.
   $\quad$
2. On obtient la figure suivante :
   $\quad$
   
   $\quad$
3. Le script 1 fournit la figure B.
   Le script 2 fournit la figure A.
   Le script 3 fournit la figure C.
   $\quad$
4. a. Le bloc motif est exécuté $3$ fois.
   $\quad$
   b. À la fin du script la variable côté vaut $80\times 1,2^3=138,24$.
   $\quad$

 

 

Indications portant sur l’ensemble du sujet.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1     (20 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée. Pour chaque question, quatre réponses (A, B, C et D) sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse.

Question 1
Lequel de ces quatre nombres est premier ?
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Réponse A}& \textbf{Réponse B}& \textbf{Réponse C }& \textbf{Réponse D}\\
\hline
1 &21 &37 &54
\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Question 2
L’aire totale du patron d’un cube d’arête $5$ cm est égale à…
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Réponse A}& \textbf{Réponse B}& \textbf{Réponse C }& \textbf{Réponse D}\\
\hline
125 \text{cm}^2& 150 \text{cm}^2& 120 \text{cm}^2& 100 \text{cm}^2\\
\hline \end{array}$$

$\quad$

Question 3
Une forme factorisée de l’expression littérale $4x^2-9$ est…
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Réponse A}& \textbf{Réponse B}& \textbf{Réponse C }& \textbf{Réponse D}\\
\hline
(4x-3)(4x + 3)& (2x-3)(2x+ 3)&(2x-3)^2& (4x-9)(4x+ 9)\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Question 4
Un écran de télévision est au format $16 : 9$ ce qui signifie que la longueur et la largeur de l’écran sont dans le ratio $16 : 9$.
Dans ce cas, si la longueur de l’écran est de $110$ cm, sa largeur est d’environ…
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Réponse A}& \textbf{Réponse B}& \textbf{Réponse C }& \textbf{Réponse D}\\
\hline
62 \text{cm}& 103 \text{cm}& 196 \text{cm}& 94 \text{cm}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Question 5
On considère la série de valeurs : $$4,1 \quad 3,67\quad 4,23\quad 4,5\quad 3,4$$
Quelle est la médiane de cette série ?
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Réponse A}& \textbf{Réponse B}& \textbf{Réponse C }& \textbf{Réponse D}\\
0,83&4,1&4,23&3,98\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Exercice 2     (18 points)

Voici quatre affirmations. Pour chacune d’entre elles, justifier si elle est vraie ou fausse.

1. Voici un assemblage de quatre cubes identiques représenté en
   perspective cavalière.
   $\quad$
   
   $\quad$
   Affirmation n°1 : « La vue de droite est représentée par le dessin ci-dessous. »
   Le dessin n’est pas à l’échelle. 
   $\quad$
   
2. On considère le schéma ci-dessous (qui n’est pas à l’échelle) :
   $\quad$
   
   $\quad$
   Affirmation n°2 : « Les droites $(NU)$ et $(OD)$ sont parallèles. »
   $\quad$
3. On considère deux expériences aléatoires.
   Dans la première expérience aléatoire, on tire une boule dans une urne opaque et on annonce sa couleur. Dans l’urne, il y a $4$ boules rouges et $6$ boules bleues indiscernables au toucher.
   Dans la seconde expérience aléatoire, on lance un dé non truqué avec des faces numérotées de $1$ à $6$ et on annonce le nombre qui apparaît sur la face du dessus.
   Affirmation n°3 : « La probabilité d’obtenir une boule bleue dans l’urne est supérieure à la probabilité d’obtenir un nombre pair avec le dé ».
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (20 points)

Trois élèves construisent chacun en vraie grandeur une même figure puis la découpent.
Ils obtiennent ainsi, à eux trois, $3$ pièces identiques, comme ci-dessous.

Le schéma ci-dessous représente la pièce construite par chaque élève avec les indications suivantes :

• Les droites $(AB)$ et $(CG)$ sont perpendiculaires.
• Les points $A$, $C$ et $B$ sont alignés.
• L’arc de cercle qui relie le point $A$ au point $B$ a pour centre le point $G$.
• $AC = CB$
• $CG = 10$ cm et $BG = 20$ cm

 

1. Démontrer que la longueur $BC$ mesure environ $17,3$ cm.
   $\quad$
2. Quelle est l’aire du triangle $BAG$ ? On donnera une valeur arrondie à l’unité.
   $\quad$
3. a. Montrer que l’angle $\widehat{CGB}$ mesure exactement $60$°.
   $\quad$
   b. En déduire la mesure de l’angle $\widehat{AGB}$.
   $\quad$
4. Les trois élèves pensent qu’ils peuvent former un disque complet avec leurs $3$ pièces.
   Expliquer pourquoi ils ont raison.
   $\quad$
5. En déduire l’aire de la pièce obtenue par chacun des élèves. On donnera une valeur arrondie à l’unité.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (26 points)

Des amis habitent Strasbourg et préparent leurs vacances. Cette année ils ont décidé de partir découvrir une grande ville française pendant une semaine. Pour s’y rendre, ils louent une voiture. Une fois arrivés sur place, ils feront ensuite tous leurs trajets à pied ou en
transport en commun.
Une agence de location de voitures propose les trois formules suivantes pour une location sur $1$ semaine :

PARTIE A : Les amis souhaitent se rendre à Marseille. Ils ont un budget de $1~000$ € pour le voyage.

1. Quelle distance, en km, vont-ils parcourir pour le trajet aller-retour ?
   $\quad$
2. En choisissant la formule B, montrer que la location de voiture coûtera $701,50$ €.
   $\quad$
3. Quelle est la formule la plus avantageuse ?
   $\quad$
4. Voici des informations pour le voyage :
   $\quad$
   
   $\quad$
   Leur budget sera-t-il suffisant ?
   Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans la correction
   $\quad$

PARTIE B : Etude des formules

5. Soit $x$ le nombre de kilomètres parcourus, exprimer en fonction de $x$ le prix payé pour chaque formule de location.
   $\quad$
6. On a représenté ci-dessous, pour chacune des formules, le coût de la location (en euros) en fonction de la distance parcourue (en kilomètres).
   Associer chaque courbe à la formule de location correspondante. Ne pas justifier.
   $\quad$
   
   $\quad$
7. Résoudre l’équation $0,25x + 300 = 0,5x$. Interpréter ce résultat.
   $\quad$
8. a. Si la distance parcourue est de $2~500$ km, quelle formule doit-on choisir pour payer le moins cher ? Ne pas justifier.
   $\quad$
   b. Donner une distance parcourue pour laquelle la formule A est la plus intéressante. Ne pas justifier.
   $\quad$
   c. Déterminer graphiquement quelle formule de location est la moins chère en fonction de la distance parcourue pour une distance inférieure à $2~600$ km.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 5     (16 points)

On donne le programme suivant.

Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue.

1. À quelles coordonnées le lutin se positionne-t-il juste après avoir cliqué sur le drapeau vert ?
   $\quad$
2. En prenant $1$ cm pour $20$ pas, dessiner en vraie grandeur la figure obtenue en exécutant le script principal.
   $\quad$
3. On modifie le script principal de trois façons différentes. Associer chaque script à la figure qui lui correspond.
   $\quad$
   
   $\quad$
4. Dans cette question on s’intéresse au script n° 2.
   a. Combien de fois le bloc « motif » est-il exécuté ?
   $\quad$
   b. Quelle est la valeur de la variable « côté » à la fin de ce script ?

   $\quad$

$\quad$