DNB – Asie – juin 2024

Asie – Juin 2024

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Question 1 : $1$ n’est divisible que par $1$.
$21$ et $54$ sont divisibles par $3$.
$37$ n’est divisible que par $1$ et lui-même. Il est donc premier.
Réponse C
$\quad$

Question 2 : Le patron d’un cube est composé de $6$ carrés.
Chaque carré a une aire, ici, égale à $5^2=25$ cm$^2$.
L’aire du patron est donc égale à $6\times 25=150$ cm$^2$.
Réponse B
$\quad$

Question 3 : On a
$\begin{align*} 4x^2-9&=(2x)^2-3^2 \\
&=(2x-3)(2x+3) \end{align*}$
Réponse B
$\quad$

Question 4 : On appelle $\ell$ la largeur de l’écran.
On a donc $\dfrac{16}{9}=\dfrac{110}{\ell}$ ainsi $\ell=\dfrac{9\times 110}{16}$.
Donc $\ell=61,875$ cm $\approx 62$ cm.
Réponse A
$\quad$

Question 5 : On réordonne la série de valeurs :
$$3,4 \quad 3,67\quad 4,1\quad 4,23\quad 4,5$$
Cette série contient $5$ valeurs. Or $\dfrac{5}{2}=2,5$.
La médiane est donc la $3$-ième valeur soit $4,1$.
Réponse B
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Il manque un carré au dessus du carré de gauche sur cette vue.
    L’affirmation 1 est fausse.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $SNU$ et $SOD$ on a :
    $\bullet$ $N$ appartient à $[SO]$ et $U$ appartient à $[SD]$.
    $\bullet$ $\dfrac{SN}{SO}=\dfrac{1}{2}$ car $N$ est le milieu de $[SO]$
    $\bullet$ $\dfrac{SU}{SD}=\dfrac{5}{5+6}=\dfrac{5}{11}$
    Par conséquent $\dfrac{SU}{SD}\neq \dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{SU}{SD}\neq \dfrac{SN}{SO}$.
    D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(NU)$ et $(OD)$ ne sont pas parallèles.
    L’affirmation 2 est fausse.
    $\quad$
  3. La probabilité d’obtenir une boule bleue est égale à $\dfrac{6}{4+6}=0,6$.
    $3$ faces sur les $6$ du dé portent un numéro pair (les faces $2$, $4$ et $6$). La probabilité d’obtenir un nombre pair est donc égale à $\dfrac{3}{6}=0,5$.
    Or $0,6>0,5$.
    L’affirmation 3 est vraie.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Dans le triangle $BCG$ rectangle en $C$ on applique le théorème de Pythagore.
    On a $BG^2=GC^2+BC^2$ soit $20^2=10^2+BC^2$.
    Donc $400=100+BC^2$. D’où $BC^2=300$ et $BC=\sqrt{300}\approx 17,3$ cm.
    $\quad$
  2. L’aire du triangle $BAG$ est égale à :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AB\times GC}{2} \\
    &=\dfrac{2\times BC\times 10}{2} \\
    &=10BC \\
    &=10\sqrt{300} \\
    &\approx 173 \text{cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Dans le triangle $CGB$ rectangle en $C$ on a :
    $\begin{align*} \cos \widehat{CGB}&=\dfrac{CG}{GB} \\
    &=\dfrac{10}{20} \\
    &=0,5\end{align*}$
    Donc $\widehat{CGB}=60$°.
    $\quad$
    b. Le triangle $AGB$ est isocèle en $G$ puisque $A$ et $B$ sont deux points du cercle de centre $G$.
    Par conséquent, la hauteur issue de $G$ est également une bissectrice du triangle.
    Donc :
    $\begin{align*} \widehat{AGB}=2\times \widehat{CGB} \\
    &=2\times 60 \\
    &=120\text{°}\end{align*}$
    $\quad$
  4. On obtient donc $3$ secteurs angulaires identiques qui mesurent chacun $120$°.
    Or $3\times 120=360$.
    Les trois pièces sont identiques et la somme des angles est égale à $360$°.
    Ils ont donc raison.
    $\quad$
  5. L’aire du disque complet est égale à :
    $\begin{align*} \mathscr{D}&=\pi BG^2 \\
    &=400\pi\end{align*}$
    Les trois pièces ont la même aire $P$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} P&=\dfrac{\mathscr{D}}{3} \\
    &=\dfrac{400\pi}{3} \\
    &\approx 419\text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. La distance la plus courte entre Marseille et Strasbourg est $803$ km.
    Pour un trajet aller-retour ils vont donc parcourir $2\times 803=1~606$ km.
    $\quad$
  2. Avec la formule B ils vont payer :
    $\begin{align*} P&=300+0,25\times 1~606 \\
    &=300+401,5 \\
    &=701,5\end{align*}$
    La location coûtera $701,50$ €.
    $\quad$
  3. Avec la formule A ils paieraient $0,5\times 1~606=803$ €.
    Avec la formule C ils paieraient $900$ €.
    La formule B est donc la plus avantageuse.
    $\quad$
  4. La voiture va consommer : $\dfrac{1~606}{100}\times 5,6=89,936$ L.
    Le prix du carburant utilisé sera donc égale à $89,936\times 1,87\approx 168,18$ €.
    Le coût total du trajet sera donc égale à :  $701,50+168,18+115,8=985,48<1~000$
    Leur budget sera donc suffisant.
    $\quad$

Partie B

  1. Avec la formule A, le prix à payer est égale à $0,5x$.
    Avec la formule B, le prix à payer est égale à $300+0,25x$.
    Avec la formule C, le prix à payer est égale à $900$.
    $\quad$
  2. Le coût est de la formule C est constant. Cette formule est donc représentée par la courbe 1.
    Le coût de la formule A est une expression linéaire. Elle est donc représentée par une droite passant par l’origine du repère, c’est-à-dire par la courbe 3.
    La formule B est donc représentée par la courbe 2.
    $\quad$
  3. $0,25x+300=0,5x$ soit $300=0,25x$ et donc $x=\dfrac{300}{0,25}$ c’est-à-dire $x=1~200$.
    La solution de l’équation est $1~200$.
    Les tarifs A et B coûtent le même prix lorsqu’on parcourt $1~200$ km.
    $\quad$
  4. a. $0,5\times 2~600=1~300$
    $300+0,25\times 2~600=950$
    C’est donc la formule C qui est la plus intéressante.
    $\quad$
    b. Si on parcourt $200$ km la formule A est la plus intéressante. (la courbe représentant cette formule est en-dessous des autres pour cette distance).
    Remarque : n’importe quelle distance inférieure à $1~200$ km est correcte.
    $\quad$
    c. Graphiquement :
    $\bullet$ si on parcourt entre $0$ et $1~200$ km la formule A est la plus intéressante.
    $\bullet$ si on parcourt entre $1~200$ et $2~400$ km la formule B est la plus intéressante.
    $\bullet$ si on parcourt entre $2~400$ et $2~600$ km la formule C est la plus intéressante.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Il se positionne au point de coordonnées $(-100;0)$.
    $\quad$
  2. On obtient la figure suivante :
    $\quad$

    $\quad$
  3. Le script 1 fournit la figure B.
    Le script 2 fournit la figure A.
    Le script 3 fournit la figure C.
    $\quad$
  4. a. Le bloc motif est exécuté $3$ fois.
    $\quad$
    b. À la fin du script la variable côté vaut $80\times 1,2^3=138,24$.
    $\quad$

 

Énoncé

 

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