Métropole – DNB – Juin 2014

Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1

1. Chaque angle au centre mesure $\dfrac{360}{8} = 45°$
   
   
2. L’angle $\widehat{HOD} = 4 \times 45 = 180°$.
   Par conséquent $[HD]$ est un diamètre du cercle. $A$ est un point de cercle.
   Donc le triangle $HAD$ est rectangle en $A$.
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3. L’angle au centre $\widehat{BOH} = 2 \times 45 = 90°$.
   Cet angle au centre et l’angle inscrit $\widehat{BEH}$ intercepte le même arc $\overset{\frown}{BH}$  du cercle.
   Par conséquent $\widehat{BEH} = \dfrac{90}{2} = 45°$
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Exercice 2

1. Soit $P$ le prix d’un cahier
   Magasin A  et B: pour un cahier, on paye $P$ euros
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   Magasin C : Le prix unitaire est de $0,7P$ euros.
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   Le magasin C est donc le plus intéressant si on achète un seul cahier.
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2. a. Si on achète $2$ cahiers.
   Magasin A : On paye $2P$ euros
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   Magasin B : On paye $1,5P$ euros
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   Magasin C : On paye $2\times 0,7P = 1,4$ euros
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   Elle doit choisir le magasin C.
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   b. Si on achète $3$ cahiers.
   Magasin A : On paye $2P$ euros
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   Magasin B : On paye $2,5P$ euros
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   Magasin C : On paye $3\times 0,7P = 2,1$ euros
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   Elle doit choisir le magasin A.
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3. Elle paye donc au final $0,9 \times 0,7P = 0,63P$ euros .
   Elle va donc obtenir une réduction de $37\%$.
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Exercice 3

1. Si on choisit $8$, on obtient comme résultat :
   $$(8-6)\times (8-2) = 12$$
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2. Proposition 1 : Vraie
   Si on prend le nombre $5$, on obtient :$$(5-6)\times (5-2) = -3 < 0$$
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   Proposition 2 : Vraie
   $$\left(\dfrac{1}{2} – 6 \right) \times \left(\dfrac{1}{2} – 2 \right) = \dfrac{-11}{2} \times \dfrac{-3}{2} = \dfrac{33}{4}$$
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   Proposition 3 : Vraie
   Si $x$ est le nombre choisi alors le programme calcule $(x-6)(x-2)$.
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins s’annule.
   Ici le produit ne peut s’annuler qu’en $6$ et en $2$.
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   Proposition 4 : Faux
   D’après la proposition précédente, l’expression algébrique de la fonction correspondant au résultat est :
   $$f(x) = (x-6)(x-2) = x^2-8x+12$$
   $f$ n’est donc une fonction linéaire.

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Exercice 4

1. a. La fréquence correspondant au jeton jaune étant sur le long terme la plus grande, c’est donc la couleur jaune qui est la plus fréquente.
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   b. On peut écrire $=B2/A2$
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2. $\dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{20}$
   Comme il y a $20$ jetons au total dans le sac, cela signifie donc qu’il contient $4$ jetons rouges.

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Exercice 5

Question 1 : Quand on double le rayon d’une boule, son volume est multiplié par $2^3 = 8$
Réponse d
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Question 2 : $36 \text{ km.h}^{-1} = \dfrac{36~000}{3~600} \text{ m.s}^{-1} = 10 \text{ m.s}^{-1}$
Réponse a
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Question 3 : $\dfrac{\sqrt{525}}{5} = \dfrac{\sqrt{525}}{\sqrt{25}} $ $=\sqrt{\dfrac{525}{25}}$ $=\sqrt{21}$
Réponse c
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Question 4 : $1,5$ To $ =1,5 \times 10^{12}$ octets $\quad$ $60$ Go $=60 \times 10^9$ octets.
$\dfrac{1,5 \times 10^{12}}{60 \times 10^9} = 25$
Réponse a

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Exercice 6

1. $QK = 0,65 – 0,58 = 0,07$. Donc $\dfrac{QK}{QP} = \dfrac{0,07}{5} = 0,014$.
   L’inclinaison des feux de croisement de Pauline ont bien une inclinaison de $0,014$.
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2. Le triangle $PQK$ est rectangle en $Q$. Par conséquent :
   $\tan \widehat{QPK} = \dfrac{QK}{PQ} = 0,014$. On a donc $\widehat{QPK} \approx 0,8°$
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3. Dans les triangles $SAP$ et $SKC$ :
   – les droites $(KC)$ et $(AP)$ sont parallèles.
   – $K \in [SP]$ et $C \in [SA]$
   D’après le théorème de Thalès on a :
   $$\dfrac{SC}{SA} = \dfrac{SK}{SP} = \dfrac{KC}{AP}$$
   Par conséquent :
   $$ \dfrac{SC}{SC + 5} = \dfrac{0,58}{0,65}$$
   On obtient alors : $0,65SC = 0,58(SC + 5)$ soit $0,07SC = 2,9$.
   Donc $SC = \dfrac{2,9}{0,07} \approx 41,4$ et $SA \approx 46$ m
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   Autre méthode (mais du fait des arrondis de la tangente, on trouve un résultat un peu différent) :
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   Dans le triangle $APS$ rectangle en $A$ on a : $\widehat{SPA} = 90 – \widehat{QPK} \approx 89,2°$
   Par conséquent $\tan \widehat{SPA} = \dfrac{AS}{AP}$ soit $AS = 0,65 \times \tan 89,2 \approx 47$ m

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Exercice 7

1. Volume d’une botte de paille : $0,9 \times 0,45 \times 0,35 = 0,14175 \text{m}^3$
   Poids d’une botte de paille : $0,14175 \times 90 = 12,7575$ kg
   Prix d’une botte de paille : $12,7575 \times 10^{-3} \times 40 \approx 0,51 €$
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2. a. Dans le triangle $IJF$ rectangle en $I$ on a :
   $IJ = 7,7 – 5 = 2,7$ m et $IF = 3,6$ m
   On applique le théorème de Pythagore :
   $$ \begin{align} JF^2 &= IJ^2 + IF^2 \\\\
   & = 2,7^2 + 3,6^2 \\\\
   & = 20,24 \\\\
   JF = 4,5
   \end{align}$$
   La surface du toit est de $ 4,5 \times 15,3 = 68,85 \text{ m}^2$.
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   La surface au sol d’une botte de paille d’épaisseur $35$ cm est : $0,9 \times 0,45 = 0,405 \text{ m}^2$
   $\dfrac{68,85}{0,405} = 170$.
   On a donc  besoin de $170$ bottes.
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   b. Le prix à payer sera, en reprenant un coût unitaire de $0,51€$, de $0,51 \times 170 = 86,70€$.