DNB – Metropole juin2013

Métropole – DNB – Juin 2013

Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet se trouve ici.

Exercice 1

  1. Graphiquement, l’aire de $MNPQ$ est égale à $10 \text{ cm}^2$ quand $AM = 1  \text{ cm}$ ou $AM = 3\text{ cm}$.
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  2. Quand $AM = 0,5 \text{ cm}$ alors l’aire est égale à $12,5 \text{ cm}^2$.
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  3. L’aire est minimale pour $AM = 2\text{ cm}$ et vaut alors $8 \text{ cm}^2$.
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Exercice 2

  1. $f(-3) = 22$
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  2. $f(7) = -5 \times 7 + 7 = -28$
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  3. $f(x) = -5x + 7$ (l’expression de la formule $=-5*C1+7$ nous permet de donner cette expression algébrique).
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  4. $=B1$^$2+4$ ou $=B1*B1 + 4$
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Exercice 3

  1. Salaire moyen des femmes :
    $$\dfrac{1200 + 1230+\ldots+2100}{10} = 1450€$$
    Le salaire moyen des femmes est donc intérieur à celui des hommes.
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  2. Il y a $10$ femmes et $20$ hommes dans cette entreprise.
    La probabilité de choisir une femme est donc : $\dfrac{10}{10+20} = \dfrac{1}{3}$
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  3. Le plus petit salaire étant de $1000€$, c’est donc celui d’un homme.
    L’étendue est de $2400$ pour les hommes.
    Le salaire le plus élevé, chez les hommes, est donc de $1000+2400 = 3400 €$.
    C’est aussi le salaire le plus élevé de l’entreprise.
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  4. Chez les hommes, la médiane est de $2400 €$. Sachant que tous les salaires sont différents et qu’il y a $20$ hommes, cela signifie donc que $10$ hommes gagnent plus de $2000€$.
    Une seule femme gagne plus de $2000€$.
    Il y a donc, en tout, dans l’entreprise $11$ personnes qui gagnent plus de $2000€$.
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Exercice 4

Figure 1

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a $\sin \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{3}{6}$.
Donc $\widehat{ABC} = 30°$.

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Figure 2

Le triangle $OAC$ est isocèle en $O$. Donc $\widehat{AOC} = 180 – 2 \times 59 = 62°$.
Dans le cercle, l’angle au centre $\widehat{AOC}$ et l’angle inscrit $\widehat{ABC}$ interceptent le même arc $\overset{\frown}{AC}$.

Par conséquent $\widehat{ABC} = \dfrac{1}{2} \widehat{AOC} = 31°$.

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Figure 3

Le pentagone est régulier. Donc l’angle au centre, pour chacun des triangles est de :
$$\dfrac{360}{5} = 72°$$
Chaque triangle est isocèle en $O$. Les autres angles mesurent donc : $$\dfrac{180 – 72}{2} = 54°$$

Par conséquent $\widehat{ABC} = 2 \times 54 = 108°$.

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Exercice 5

  1. Les $300$ parpaings pèsent $300 \times 10 = 3000$ kg $=3$ tonnes.
    Le fourgon ne peut transporter que $1,7$ tonne.
    En $2$ trajets il peut donc transporter $2 \times 1,7 = 3,4$ tonnes.
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  2. Il a besoin de faire $2$ aller-retour. Cela représente donc $4 \times 10 = 40$ km.
    Il paiera par conséquent $55€$ de location.
    Il consommera : $\dfrac{8 \times 40}{100} = 3,2$ litres et paiera $3,2 \times 1,5 = 4,8€$.
    La location lui reviendra au total à $55 + 4,8 = 59,8 €$.
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  3. $\dfrac{48}{30} = 1,6$ €\km et $\dfrac{55}{50}=1,1$ €\km.
    Les tarifs ne sont pas proportionnels à la distance maximale autorisée.

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Exercice 6

  1. a. Le rayon du cône de sel est de $2,5$ m ($5/2$ m).
    Dans les triangles $AOS$ et $ABC$ :
    – les droites $(BC)$ et $(SO)$ sont perpendiculaires à $(AO)$. Elles sont donc parallèles entre elles.
    – $B \in [AO]$ et $C \in [AS]$.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $$ \dfrac{AC}{AS} = \dfrac{AB}{AO} = \dfrac{BC}{SO}$$
    Or $AO = 3,2 + 2,3 + 2,5 = 8$ m
    Donc $\dfrac{3,2}{8} = \dfrac{1}{OS} et :
    $$OS = \dfrac{8 \times }{3,2} = 2,5 \text{ m}$$
    b. $V_{cône} = \dfrac{\pi \times 2,5^2 \times 2,5}{3} \approx 16 \text{ m}^3$.
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  2. $V_{cône} = \dfrac{\pi \times R^2 \times h}{3}$ donc $R^2 = \dfrac{3 \times V_{cône}}{\pi \times h}$
    Par conséquent : $$R = \sqrt{\dfrac{3 \times V_{cône}}{\pi \times h}}$$
    On sait que $0 \le h \le 6$ et $V_{cône} = 1000$ donc $R \ge 12,6$ m.

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Exercice 7

Affirmation 1 : VRAIE

Un quart des adhérents est donc majeur et deux tiers d’entre eux ont entre $18$ et $25$ ans.

$$\dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}$$

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Affirmation 2 : FAUSSE

Après une baisse de $30\%$ et une autre de $20\%$, le prix est multiplié par :

$$\left(1 – \dfrac{30}{100} \right) \times \left(1 – \dfrac{20}{100} \right) = 0,7 \times 0,8 = 0,56$$

Il y adonc une baisse de $44\%$.

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Affirmation 3 : VRAIE

$\begin{align} (n+1)^2 – (n-1)^2 & =n^2 + 2n + 1 – (n^2 – 2n + 1) \\\\
&= n^2 +2n + 1 – n^2 + 2n – 1 \\\\
&= 4n
\end{align}$