Polynésie – DNB – Juin 2013

Mathématiques – Correction

Vous pouvez trouver le sujet de ce brevet ici.

Exercice 1

1. $\dfrac{15 – 9\times 10^{-3}}{5 \times 10^2} = 0,029982$ $\quad$ Réponse B
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2. $800$ m $=0,8$ km.
   Donc $t = \dfrac{0,8}{40} = 0,02$ h $= 0,02 \times 60 = 1,2$ min.
   $0,2$ min $= 0,2 \times 60$ s $=12$ s. $\quad$ Réponse A
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3. Le coefficient d’agrandissement est $3$. Donc le volume est multiplié par $3^3 = 27$.$\quad$ Réponse C
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4. $~$
   $\begin{align} 25x^2 – 16 &= (5x)^2   – 4^2 \\\\
   &= (5x – 4)(5x + 4)
   \end{align}$
   Réponse C

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Exercice 2

1. En utilisant l’algorithme d’Euclide :
   $$\begin{align} 405 &= 1 \times 315 + 90 \\\\
   315 &= 3 \times 90 + 45 \\\\
   90& = 2 \times 45 + 0
   \end{align}$$
   Le PGCD est le dernier reste non nul. C’est donc $45$.
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2. a. Il possède donc :
   – $9 \times 35 = 315$ bénitiers de $12,5$ cm
   – $15 \times 27 = 405$ bénitiers de $17,5$ cm
   Le nombre de lots $N$ doit diviser le nombre de bénitiers de $12,5$ cm ainsi que celui de $17,5$ cm.
   On veut que ce nombre soit le plus grand possible. $N$ est donc le PGCD de $315$ et de $405$.
   Par conséquent $N = 45$
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   b. $\dfrac{315}{45} = 7$ $\quad$ et $\quad$ $\dfrac{405}{45} = 9$
   Chaque lot sera donc composé de $7$ bénitiers de $12,5$ cm et de $9$ bénitiers de $17,5$ cm.

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Exercice 3

1. $550~000 \times 6 = 3~300~000 \text{ km}^2$
   Cette poubelle géante a donc une superficie de $3~300~000 \text{ km}^2$
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2. Dans un an la superficie sera de $3~000~000 \times \left(1 + \dfrac{10}{100} \right) = 3~630~000 \text{ km}^2$.
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3. En $4$ ans, la superficie sera multipliée par $\left(1 + \dfrac{10}{100} \right)^4 = 1,4641 \ne 2$.
   Affirmation fausse.

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Exercice 4

1. voir figure
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2. Le triangle est rectangle en $C$.
   D’après le théorème de Pythagore on a :
   $AB^2 = AC^2 + BC^2$ $\quad$ donc $\quad$ $100 = 64 + BC^2$ $\quad$ et $\quad$ $BC^2 = 100 – 64 = 36$.
   Par conséquent $BC = \sqrt{35}= 6$ cm.
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3. a.b.c.
   d. Le quadrilatère $CFME$ possède $3$ angles droits (en $C$, $F$ et $E$).
   Proposition 3

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Exercice 5

a. $f(2) = 6,5$
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b. Les antécédents de $5$ sont : $5$ et $8$.
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c. $S$ semble avoir pour coordonnées $(6,5;4,75)$

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Exercice 6

1. a. $V_A = 1 \times 1 \times 2 = 2 \text{ m}^3$
   $V_B=\dfrac{4}{3}\pi \times 0,58^3 + 0,58^2 \times pi \times 1,15 \approx 2,03 \text{ m}^3$
   Les $2$ conteneurs ont donc pratiquement le même volume.
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   b. Le conteneur A est plus facile à poser au sol. Il est également plus facile de les regrouper. Il semble plus de les remplir.
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2. a. $Aire_A = 2 \times 1 \times 1 + 5 \times 1 \times 2 = 10 \text{ m}^2$.
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   b. $Aire_B = 4 \times \pi \times 0,58^2 + 2 \times \pi \times 0,58 \times 1,15 \approx 8,4 \text{ m}^2$.
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   c. L’aire du conteneur B est la plus petite. Il sera donc le plus économique à fabriquer.

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Exercice 7

Les pas de Moana ont donc une taille de $\dfrac{100}{111}$.
On a donc la configuration suivante :

avec $AD = 7 \times \dfrac{100}{111}$ $\quad$ $AC = 10 \times \dfrac{100}{111}$  $\quad$ et $\quad $ $ED=1,8$.
Par conséquent : $CD = 3 \times \dfrac{100}{111}$
Remarque : ce qui est finalement réellement utile c’est le rapport $\dfrac{3}{10}$ correspondant à $\dfrac{CD}{CA}$

Dans les triangles $ABC$ et $CDE$ :
– les points $C$, $E$, $B$ et $C$, $D$, $A$ sont alignés dans le même ordre.
– les droites $(DE)$ et $(AB)$ sont parallèles.

D’après le théorème de Thalès on a :

$$\dfrac{CE}{CB} = \dfrac{CD}{CA} = \dfrac{DE}{AB}$$

Donc : $\dfrac{300}{1000} = \dfrac{1,8}{AB}$ et finalement $AB = \dfrac{1,8 \times 1000}{300} = 6$.

Le cocotier mesure donc $6$ m.

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Exercice 8

1. a. Dans l’expérience N°$3$ on a tiré la boule noire N°$2$ et la boule blanche N°$3$.
   La somme des $2$ numéros faisant $5$.
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   b. $=B5+C5$
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   c. Non. Pour obtenir $2$, il faut avoir une boule blanche N°$1$ ce qui est impossible.
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   d. Les tirages boule noire – boule blanche sont : $N1-B3$ et $N2 – B2$.
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   e. La plus grande somme correspond à la somme des plus grands numéros des $2$ types de boules : $4 + 5 = 9$.
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2. a. Fréquence de $9$^: $\dfrac{2}{50} = \dfrac{1}{25}$.
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   b. $=B6/I6$ ou $=B6/\$I\$6$ (pour pouvoir faire une recopie de la cellule).
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   c. La probabilité d’obtenir la somme $3$ est environ de $0,08$.
   Remarque : la valeur exacte étant $\dfrac{1}{12}$ car un seul tirage sur les $12$ possibles nous donne cette somme.