DNB – Métropole – juin 2024

Métropole – Juin 2024

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Il existe $37$ nombres entiers compris entre $0$ et $36$ (tous les deux inclus). Chaque nombre a la même probabilité d’être obtenu. La probabilité d’obtenir le numéro $7$ est donc égale à $\dfrac{1}{37}$.
    $\quad$
  2. $10$ cases ($4$, $2$, $6$, $8$, $10$, $24$, $20$, $22$, $28$ et $26$) sont à la fois noire et paire. La probabilité que la bille s’arrête sur une case à la fois noire et paire est égale à $\dfrac{10}{37}$.
    $\quad$
  3. a. $7$ cases (de $0$ à $6$) portent un numéro inférieur ou égal à $6$. la probabilité que la bille s’arrête sur un numéro inférieur ou égal à $6$ est donc égale à $\dfrac{7}{37}$.
    $\quad$
    b. La probabilité que la bille s’arrête sur un numéro supérieur ou égal à $7$ est donc égale à $1-\dfrac{7}{37}=\dfrac{30}{37}$.
    $\quad$
    c. $\dfrac{30}{37} \approx 0,81>0,75$ et $\dfrac{3}{4}=0,75$.
    L’affirmation est donc exacte.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Si on choisit $5$ comme nombre de départ on obtient pour les différents étapes :
    $\bullet$ $5$
    $\bullet$ $5^2=25$
    $\bullet$ $2\times 25=50$
    $\bullet$ $50+2\times 5=60$
    $\bullet$ $60-4=56$
    Le résultat du programme A est bien $56$.
    $\quad$
    b. Si on choisit $-9$ comme nombre de départ
    $\bullet$ $-9$
    $\bullet$ Résultat 1 vaut $-9+2=-7$
    $\bullet$ Résultat 2 vaut $-9-1=-10$
    $\bullet$ $-7\times (-10)=70$
    On obtient alors $70$ avec le programme B.
    $\quad$
  2. a. Avec le programme B on obtient $(x+2)(x-1)$.
    $\quad$
    b. Avec le programme A on obtient $2x^2+2x-4$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} (x+2)(x-1)&=x^2-x+2x-2 \\
    &=x^2+x-2\end{align*}$
    Or $2x^2+2x-4=2\left(x^2+x-2\right)$
    Le résultat du programme A est donc toujours le double du résultat du programme B.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $[AB]$ est un diamètre du cercle $\mathscr{C}$ de rayon $4,5$ cm.
    Par conséquent :
    $\begin{align*}AB&=2\times 4,5 \\
    &=9 \text{ cm}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABD$ le plus grand côté est $[AB]$.
    D’une part $AB^2=81$.
    D’autre part $AD^2+BD^2=7,2^2+5,4^2=81$
    Donc $AB^2=AD^2+BD^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $ABD$ est rectangle en $D$.
    $\quad$
  3. Dans les triangles $AEF$ et $ABD$ :
    $\bullet$ $(BD)$ et $(EF)$ sont parallèles ;
    $\bullet$ $E$ appartient à $[AB]$ et $F$ appartient à $[AD]$.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{EF}{BD}$
    Ainsi $\dfrac{2,7}{9}=\dfrac{AF}{7,2}$
    D’où $AF=\dfrac{2,7\times 7,2}{9}=2,16$ cm.
    $\quad$
  4. a. L’aire du triangle $ABD$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_{ABD}&=\dfrac{AB\times AD}{2} \\
    &=\dfrac{5,4\times 7,2}{2} \\
    &=19,44 \text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’aire du disque est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_{\mathscr{C}}&=\pi\times 4,5^2 \\
    &\approx 63,62 \text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
  5. $\dfrac{\mathscr{A}_{ABD}}{\mathscr{A}_{\mathscr{C}}}\approx \dfrac{19,44}{63,62}\approx 0,3056$
    L’aire du triangle $ABD$ représente environ $30,56\%$ de l’aire du disque.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On a :
    $\begin{align*} f(-4)&=3\times (-4)-2 \\
    &=-12-2\\
    &=-14\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  2. $(-5)^3=-125$
    Réponse A
    $\quad$
  3. L’image de $J$ par la translation qui transforme $C$ en $A$ est $E$.
    Réponse B
    $\quad$
  4. La courbe représentative de la fonction $f$ semble passer par le point de coordonnées $(0;3)$.
    L’antécédent de $3$ est donc $0$.
    Réponse C
    $\quad$
  5. On range les tailles dans l’ordre croissant :
    $1,46$ ; $1,6$ ; $1,65$ ; $1,67$ ; $1,7$ ; $1,72$ ; $1,75$.
    $\dfrac{7}{2}=3,5$ : la médiane est donc la $4$-ième valeur c’est-à-dire $1,67$.
    Réponse B
    $\quad$
  6. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a :
    $\begin{align*} \cos \alpha&=\dfrac{AB}{BC} \\
    &=\dfrac{4}{5} \\
    &=0,8\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

Partie A

  1. $\dfrac{132}{15}=8,8$ : $15$ ne divise pas $132$.
    Il n’est donc pas possible de faire $15$ sachets.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} 330&=2\times 165 \\
    &=2\times 3\times 55 \\
    &=2\times 3\times 5\times 11\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} 132&=2\times 66 \\
    &=2^2\times 33 \\
    &=2^3\times 3\times 11\end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après la question précédente, le plus grand diviseur commun à $330$ et $132$ est $2\times 3\times 11=66$.
    La présidente pourra donc réaliser au plus $66$ sachets.
    $\quad$
    c. $\dfrac{330}{66}=5$ et $\dfrac{132}{66}=2$.
    Elle mettra $5$ autocollants et $2$ drapeaux dans chaque sachet.
    $\quad$

Partie B

Le volume de la piscine est :
$\begin{align*} V&=25\times 15\times 2 \\
&=750\text{ m}^3\end{align*}$

Le volume d’eau est :
$\begin{align*} V_{eau}&=\dfrac{9}{10}\times 750 \\
&= 675\text{ m}^3\end{align*}$

Le coût du remplissage est donc :
$\begin{align*} C&=4,14\times 675 \\
&=2~794,5\text{ euros}\end{align*}$

$\quad$

Énoncé

 

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