DNB – Métropole – juin 2024

Métropole – Juin 2024

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Il existe $37$ nombres entiers compris entre $0$ et $36$ (tous les deux inclus). Chaque nombre a la même probabilité d’être obtenu. La probabilité d’obtenir le numéro $7$ est donc égale à $\dfrac{1}{37}$.
    $\quad$
  2. $10$ cases ($4$, $2$, $6$, $8$, $10$, $24$, $20$, $22$, $28$ et $26$) sont à la fois noire et paire. La probabilité que la bille s’arrête sur une case à la fois noire et paire est égale à $\dfrac{10}{37}$.
    $\quad$
  3. a. $7$ cases (de $0$ à $6$) portent un numéro inférieur ou égal à $6$. la probabilité que la bille s’arrête sur un numéro inférieur ou égal à $6$ est donc égale à $\dfrac{7}{37}$.
    $\quad$
    b. La probabilité que la bille s’arrête sur un numéro supérieur ou égal à $7$ est donc égale à $1-\dfrac{7}{37}=\dfrac{30}{37}$.
    $\quad$
    c. $\dfrac{30}{37} \approx 0,81>0,75$ et $\dfrac{3}{4}=0,75$.
    L’affirmation est donc exacte.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Si on choisit $5$ comme nombre de départ on obtient pour les différents étapes :
    $\bullet$ $5$
    $\bullet$ $5^2=25$
    $\bullet$ $2\times 25=50$
    $\bullet$ $50+2\times 5=60$
    $\bullet$ $60-4=56$
    Le résultat du programme A est bien $56$.
    $\quad$
    b. Si on choisit $-9$ comme nombre de départ
    $\bullet$ $-9$
    $\bullet$ Résultat 1 vaut $-9+2=-7$
    $\bullet$ Résultat 2 vaut $-9-1=-10$
    $\bullet$ $-7\times (-10)=70$
    On obtient alors $70$ avec le programme B.
    $\quad$
  2. a. Avec le programme B on obtient $(x+2)(x-1)$.
    $\quad$
    b. Avec le programme A on obtient $2x^2+2x-4$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} (x+2)(x-1)&=x^2-x+2x-2 \\
    &=x^2+x-2\end{align*}$
    Or $2x^2+2x-4=2\left(x^2+x-2\right)$
    Le résultat du programme A est donc toujours le double du résultat du programme B.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $[AB]$ est un diamètre du cercle $\mathscr{C}$ de rayon $4,5$ cm.
    Par conséquent :
    $\begin{align*}AB&=2\times 4,5 \\
    &=9 \text{ cm}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABD$ le plus grand côté est $[AB]$.
    D’une part $AB^2=81$.
    D’autre part $AD^2+BD^2=7,2^2+5,4^2=81$
    Donc $AB^2=AD^2+BD^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $ABD$ est rectangle en $D$.
    $\quad$
  3. Dans les triangles $AEF$ et $ABD$ :
    $\bullet$ $(BD)$ et $(EF)$ sont parallèles ;
    $\bullet$ $E$ appartient à $[AB]$ et $F$ appartient à $[AD]$.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{EF}{BD}$
    Ainsi $\dfrac{2,7}{9}=\dfrac{AF}{7,2}$
    D’où $AF=\dfrac{2,7\times 7,2}{9}=2,16$ cm.
    $\quad$
  4. a. L’aire du triangle $ABD$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_{ABD}&=\dfrac{AB\times AD}{2} \\
    &=\dfrac{5,4\times 7,2}{2} \\
    &=19,44 \text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’aire du disque est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_{\mathscr{C}}&=\pi\times 4,5^2 \\
    &\approx 63,62 \text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
  5. $\dfrac{\mathscr{A}_{ABD}}{\mathscr{A}_{\mathscr{C}}}\approx \dfrac{19,44}{63,62}\approx 0,3056$
    L’aire du triangle $ABD$ représente environ $30,56\%$ de l’aire du disque.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On a :
    $\begin{align*} f(-4)&=3\times (-4)-2 \\
    &=-12-2\\
    &=-14\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  2. $(-5)^3=-125$
    Réponse A
    $\quad$
  3. L’image de $J$ par la translation qui transforme $C$ en $A$ est $E$.
    Réponse B
    $\quad$
  4. La courbe représentative de la fonction $f$ semble passer par le point de coordonnées $(0;3)$.
    L’antécédent de $3$ est donc $0$.
    Réponse C
    $\quad$
  5. On range les tailles dans l’ordre croissant :
    $1,46$ ; $1,6$ ; $1,65$ ; $1,67$ ; $1,7$ ; $1,72$ ; $1,75$.
    $\dfrac{7}{2}=3,5$ : la médiane est donc la $4$-ième valeur c’est-à-dire $1,67$.
    Réponse B
    $\quad$
  6. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a :
    $\begin{align*} \cos \alpha&=\dfrac{AB}{BC} \\
    &=\dfrac{4}{5} \\
    &=0,8\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

Partie A

  1. $\dfrac{132}{15}=8,8$ : $15$ ne divise pas $132$.
    Il n’est donc pas possible de faire $15$ sachets.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} 330&=2\times 165 \\
    &=2\times 3\times 55 \\
    &=2\times 3\times 5\times 11\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} 132&=2\times 66 \\
    &=2^2\times 33 \\
    &=2^3\times 3\times 11\end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après la question précédente, le plus grand diviseur commun à $330$ et $132$ est $2\times 3\times 11=66$.
    La présidente pourra donc réaliser au plus $66$ sachets.
    $\quad$
    c. $\dfrac{330}{66}=5$ et $\dfrac{132}{66}=2$.
    Elle mettra $5$ autocollants et $2$ drapeaux dans chaque sachet.
    $\quad$

Partie B

Le volume de la piscine est :
$\begin{align*} V&=25\times 15\times 2 \\
&=750\text{ m}^3\end{align*}$

Le volume d’eau est :
$\begin{align*} V_{eau}&=\dfrac{9}{10}\times 750 \\
&= 675\text{ m}^3\end{align*}$

Le coût du remplissage est donc :
$\begin{align*} C&=4,14\times 675 \\
&=2~794,5\text{ euros}\end{align*}$

$\quad$

Énoncé

 

Indications portant sur l’ensemble du sujet.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1     (20 points)

Au casino, la roulette est un jeu de hasard pour lequel chaque joueur mise au choix sur un ou plusieurs numéros. On lance une bille sur une roue qui tourne, numérotée de $0$ à $36$.
La bille a la même probabilité de s’arrêter sur chaque numéro.

  1. Expliquer pourquoi la probabilité que la bille s’arrête sur le numéro $7$ est $\dfrac{1}{37}$.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité que la bille s’arrête sur une case à la fois noire et paire.
    $\quad$
  3. a. Déterminer la probabilité que la bille s’arrête sur un numéro inférieur ou égal à $6$.
    $\quad$
    b. En déduire la probabilité que la bille s’arrête sur un numéro supérieur ou égal à $7$.
    $\quad$
    c. Un joueur affirme qu’on a plus de $3$ chances sur $4$ d’obtenir un numéro supérieur ou égal à $7$. A-t-il raison ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (20 points)

  1. a. Vérifier que, si on choisit $5$ comme nombre de départ, le résultat du programme A est $56$.
    $\quad$
    b. Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit $-9$ comme nombre de départ ?
    $\quad$
  2. On choisit un nombre quelconque $x$ comme nombre de départ.
    a. Parmi les trois propositions ci-dessous, recopier l’expression qui donne le résultat obtenu par le programme B ?
    $$E_1 = (x+2)-1 \qquad E_2 = (x+2)\times (x-1) \qquad E_3 = x+2\times x-1$$
    $\quad$
    b. Exprimer en fonction de $x$ le résultat obtenu avec le programme A
    $\quad$
  3. Démontrer que, quel que soit le nombre choisi au départ, le résultat du programme A est toujours le double du résultat du programme B.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (22 points)

Sur la figure ci-dessous, on a :

  • $\mathscr{C}$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $4,5$ cm ;
  • $[AB]$ est un diamètre de ce cercle et $D$ est un point du cercle ;
  • les points $B$, $E$, $A$ sont alignés, ainsi que les points $D$, $F$, $A$ ;
  • les droites $(BD)$ et $(EF)$ sont parallèles ;
  • $BD = 5,4$ cm ; $DA = 7,2$ cm et $AE = 2,7$ cm.
    $\quad$

  1. Justifier que le diamètre $[AB]$ mesure $9$ cm.
    $\quad$
  2. Démontrer que le triangle $ABD$ est rectangle en $D$.
    $\quad$
  3. Calculer $AF$.
    $\quad$
  4. a. Justifier que l’aire du triangle $ABD$ est égale à $19,44$ cm$^2$.
    $\quad$
    b. Calculer l’aire du disque, arrondie au centième.
    Rappel : l’aire du disque est égale à $\pi\times R^2$, où $R$ est le rayon du disque.
    $\quad$
  5. Quel pourcentage de l’aire du disque représente l’aire du triangle $ABD$ ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (18 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, trois réponses (A, B ou C) sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée.

  1. On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=3x-2$.
    Quelle est l’image de $-4$ par cette fonction ?
    Réponse A : $-14$
    Réponse B : $-10$
    Réponse C : $-3$
    $\quad$
  2. Combien vaut $(-5)^3$ ?
    Réponse A : $-125$
    Réponse B : $-15$
    Réponse C : $125$
    $\quad$
  3. Quelle est l’image du point $J$ par la translation qui transforme $C$ en $A$ ?
    $\quad$

    $\quad$
    Réponse A : $H$
    Réponse B : $E$
    Réponse C : $D$
    $\quad$
  4. Quel est l’antécédent de $3$ par la fonction $𝑓$ ?
    $\quad$

    $\quad$
    Réponse A : $3$
    Réponse B : $-3$
    Réponse C : $0$
    $\quad$
  5. On a mesuré les tailles, en m, de sept élèves : $$1,46 ~;~ 1,65 ~;~ 1,6 ~;~ 1,72 ~;~ 1,7 ~;~ 1,67 ~;~ 1,75$$
    Quelle est la médiane, en m, de ces tailles ?
    Réponse A : $1,72$
    Réponse B : $1,67$
    Réponse C : $1,65$
    $\quad$
  6. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ ci-dessous, qui n’est pas en vraie grandeur, quelle est la valeur de $\cos \alpha$ ?
    $\quad$

    $\quad$
    Réponse A : $0,8$
    Réponse B : $0,75$
    Réponse C : $0,6$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     (20 points)

Un club de natation propose un après-midi découverte pour les enfants.

PARTIE A

La présidente du club veut offrir des petits sachets cadeaux tous identiques contenant des autocollants et des drapeaux avec le logo du club. Elle a acheté $330$ autocollants et $132$ drapeaux et veut tous les utiliser. Elle veut que, dans chaque sachet, il y ait exactement le même nombre d’autocollants et que, dans chaque sachet, il y ait exactement le même nombre de drapeaux.

  1. Pourquoi n’est-il pas possible de faire $15$ sachets ?
    $\quad$
  2. a. Décomposer $330$ et $132$ en produits de facteurs premiers.
    $\quad$
    b. En déduire le plus grand nombre de sachets que la présidente pourra réaliser.
    $\quad$
    c. Dans ce cas, combien mettra-t-elle d’autocollants et de drapeaux dans chaque sachet ?
    $\quad$

PARTIE B

La piscine a la forme d’un pavé droit représenté ci-dessous.

$\quad$
Elle est remplie aux $\dfrac{9}{10}$ du volume.
$1$ m$^3$ d’eau coûte $4,14$ €.
Combien coûte le remplissage de la piscine ?