DNB – Métropole (secours) – juin 2024

Métropole (secours) – Juin 2024

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. Ils ont acheté $630+810=1~440$ dragées au total.
    $\quad$
    b. Il y a $810$ dragées blanches parmi les $1~440$ dragées. La probabilité qu’elle obtienne une dragée blanche est égale à $\dfrac{810}{1~440} =\dfrac{9}{16}$.
    $\quad$
  2. a. $\dfrac{810}{21}\approx 38,57$. $810$ n’est donc pas divisible par $21$. Il est par conséquent impossible de réaliser $21$ ballotins.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} 630&=2\times 315 \\
    &=2\times 3\times 105 \\
    &=2\times 3\times 3\times 35 \\
    &=2\times 3^2\times 5\times 7\end{align*}$
    $\begin{align*} 810&=2\times 405 \\
    &=2\times 3\times 135 \\
    &=2\times 3\times 3\times 45 \\
    &=2\times 3^2\times 3^2\times 5\\
    &=2\times 3^4\times 5\end{align*}$
    $\quad$
    c. D’après la question précédente, le plus grand diviseur commun à $630$ et $810$ est $2\times 3^2\times 5=90$.
    $\dfrac{630}{90}=7$ et $\dfrac{810}{90}=9$
    Anne et Jean pourront donc réaliser au plus $90$ ballotins comportant $7$ dragées roses et $9$ dragées blanches.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $13~420=1,342\times 10^4$.
    Réponse B
    $\quad$
  2. $\dfrac{11}{2}=5,5$. La médiane de cette série est donc la $6$-ième meilleures performances, c’est-à-dire $85,74$.
    Réponse A
    $\quad$
  3. Le motif 5
    Réponse C
    $\quad$
  4. Le motif 12
    Réponse B
    $\quad$
  5. La droite représentant la fonction $f$ passe par le point de coordonnées $(2;0)$. Donc $f(2)=0$.
    Réponse A
    $\quad$
  6. À partir d’un point de la droite, en se déplaçant d’une unité vers la droite on “descend” de deux unités pour obtenir de nouveau un point de la droite. Le coefficient directeur de $(d)$ est donc $-2$.
    Réponse C
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. $K$ appartient  à $[DL]$. Par conséquent :
    $\begin{align*} DK&=DL-KL \\
    &=600-120 \\
    &=480 \text{ m}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Dans le triangle $DKJ$, le plus grand côté est $[DJ]$.
    D’une part :
    $\begin{align*}DJ^2&=520^2\\
    &=270~400\end{align*}$
    D’autre part :
    $\begin{align*}DK^2+KJ^2&=480^2+200^2 \\
    &=230~400+40~000\\
    &=270~400\end{align*}$
    Par conséquent $DJ^2=DK^2+KJ^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $DKJ$ est rectangle en $K$.
    $\quad$
  3. Les droites $(KJ)$ et $(LA)$ sont ainsi perpendiculaires à la même droite $(DL)$.
    Elles sont donc parallèles.
    $\quad$
  4. Dans les triangles $DLA$ et $DKJ$ on a :
    $\bullet $ $K$ appartient à $[DL]$ et $J$ appartient à $[DA]$ ;
    $\bullet$ Les droites $(KJ)$ et $(DA)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès : $\dfrac{DJ}{DA}=\dfrac{DK}{DL}=\dfrac{KJ}{LA}$
    soit $\dfrac{520}{DA}=\dfrac{480}{600}$
    ainsi $DA=\dfrac{520\times 600}{480}=650$ m
    $\quad$
  5. $J$ appartient à $[DA]$ donc :
    $\begin{align*}JA&=DA-DJ\\
    &=650-520 \\
    &=130\end{align*}$
    Par conséquent la longueur du trajet $DKJA$ est égale à :
    $\begin{align*} DK+KJ+JA&=480+200+130 \\
    &=810\text{ m}\end{align*}$
    $\quad$
  6. Dans le triangle $DLA$ rectangle en $L$ on a :
    $\begin{align*} \cos \widehat{LDA}&=\dfrac{DL}{DA} \\
    &=\dfrac{600}{650} \end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{LDA} \approx 22,6$ °
    Le photographe pourra donc filmer l’ensemble de la course sans bouger la caméra.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient :
    $\bullet$ Choisir un nombre : $5$
    $\bullet$ Mettre ce nombre au carré : $5^2=25$
    $\bullet$ Soustraire le triple du nombre de départ : $25-3\times 5=10$
    $\bullet$ Soustraire $4$ : $10-4=6$
    Si on choisit $5$ comme nombre de départ, le résultat du programme est $6$.
    $\quad$
  2. On obtient :
    $\bullet$ Choisir un nombre : $x$
    $\bullet$ Mettre ce nombre au carré : $x^2$
    $\bullet$ Soustraire le triple du nombre de départ : $x^2-3x$
    $\bullet$ Soustraire $4$ : $x^2-3x-4$
    Le résultat du programme est $x^2-3x-4$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} (x+1)(x-4)&=x^2-4x+x-4 \\
    &=x^2-3x-4\end{align*}$
    Le résultat du programme peut bien s’écrire sous la forme $(x+1)(x-4)$.
    $\quad$
  4. On veut donc résoudre l’équation $x^2-3x-4=0$ soit $(x+1)(x-4)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, $x+1=0$ ou $x-4=0$.
    Or $x+1=0$ a pour solution $-1$ et $x-4=0$ a pour solution $4$.
    Les nombres permettant d’obtenir $0$ sont donc $-1$ et $4$.
    $\quad$
  5. On peut écrire :
    $\quad$

    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. a. Les points $A$, $E$, $F$ et $B$ sont alignés. Donc $2AE+EF=AB$
    Par conséquent $2AE+2,2=5$
    d’où $2AE=2,8$
    Ainsi $AE=1,4$ m
    $\quad$
    b. L’aire du triangle $AEL$ est :
    $\begin{align*} A_{AEL}&=\dfrac{AE\times AL}{2} \\
    &=\dfrac{1,4\times 1,4}{2} \\
    &=0,98\text{ m}^2\end{align*}$
    $\quad$
    c. L’aire du carré $ABCD$ est :
    $\begin{align*} A_{ABCD}&=AD^2 \\
    &=25\text{ m}^2\end{align*}$
    Par conséquent, l’aire de l’octogone est :
    $\begin{align*} A_{octogone}&=A_{ABCD}-4\times A_{AEL} \\
    &=25-0,92\times 4 \\
    &=21,08 \text{ m}^2\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. $\dfrac{3}{4}\times 1,5=1,125$.
    Le volume d’eau nécessaire est donc :
    $\begin{align*} V_{eau}&=1,125\times 21,08 \\
    &=23,715\text{ m}^3\end{align*}$
    Le volume d’eau nécessaire est donc environ égal à $24$ m$^3$.
    $\quad$
    b. $\dfrac{24~000}{12}=2~000$.
    Il faut donc $2~000$ minutes pour remplir la piscine.
    $2~000$ min $=33$ h $20$ min.
    Il faut donc $33$h et $20$ min pour remplir la piscine.
    $\quad$

Énoncé

 

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