DNB – Métropole (secours) – juin 2024

Métropole (secours) – Juin 2024

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. Ils ont acheté $630+810=1~440$ dragées au total.
    $\quad$
    b. Il y a $810$ dragées blanches parmi les $1~440$ dragées. La probabilité qu’elle obtienne une dragée blanche est égale à $\dfrac{810}{1~440} =\dfrac{9}{16}$.
    $\quad$
  2. a. $\dfrac{810}{21}\approx 38,57$. $810$ n’est donc pas divisible par $21$. Il est par conséquent impossible de réaliser $21$ ballotins.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} 630&=2\times 315 \\
    &=2\times 3\times 105 \\
    &=2\times 3\times 3\times 35 \\
    &=2\times 3^2\times 5\times 7\end{align*}$
    $\begin{align*} 810&=2\times 405 \\
    &=2\times 3\times 135 \\
    &=2\times 3\times 3\times 45 \\
    &=2\times 3^2\times 3^2\times 5\\
    &=2\times 3^4\times 5\end{align*}$
    $\quad$
    c. D’après la question précédente, le plus grand diviseur commun à $630$ et $810$ est $2\times 3^2\times 5=90$.
    $\dfrac{630}{90}=7$ et $\dfrac{810}{90}=9$
    Anne et Jean pourront donc réaliser au plus $90$ ballotins comportant $7$ dragées roses et $9$ dragées blanches.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $13~420=1,342\times 10^4$.
    Réponse B
    $\quad$
  2. $\dfrac{11}{2}=5,5$. La médiane de cette série est donc la $6$-ième meilleures performances, c’est-à-dire $85,74$.
    Réponse A
    $\quad$
  3. Le motif 5
    Réponse C
    $\quad$
  4. Le motif 12
    Réponse B
    $\quad$
  5. La droite représentant la fonction $f$ passe par le point de coordonnées $(2;0)$. Donc $f(2)=0$.
    Réponse A
    $\quad$
  6. À partir d’un point de la droite, en se déplaçant d’une unité vers la droite on “descend” de deux unités pour obtenir de nouveau un point de la droite. Le coefficient directeur de $(d)$ est donc $-2$.
    Réponse C
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. $K$ appartient  à $[DL]$. Par conséquent :
    $\begin{align*} DK&=DL-KL \\
    &=600-120 \\
    &=480 \text{ m}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Dans le triangle $DKJ$, le plus grand côté est $[DJ]$.
    D’une part :
    $\begin{align*}DJ^2&=520^2\\
    &=270~400\end{align*}$
    D’autre part :
    $\begin{align*}DK^2+KJ^2&=480^2+200^2 \\
    &=230~400+40~000\\
    &=270~400\end{align*}$
    Par conséquent $DJ^2=DK^2+KJ^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $DKJ$ est rectangle en $K$.
    $\quad$
  3. Les droites $(KJ)$ et $(LA)$ sont ainsi perpendiculaires à la même droite $(DL)$.
    Elles sont donc parallèles.
    $\quad$
  4. Dans les triangles $DLA$ et $DKJ$ on a :
    $\bullet $ $K$ appartient à $[DL]$ et $J$ appartient à $[DA]$ ;
    $\bullet$ Les droites $(KJ)$ et $(DA)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès : $\dfrac{DJ}{DA}=\dfrac{DK}{DL}=\dfrac{KJ}{LA}$
    soit $\dfrac{520}{DA}=\dfrac{480}{600}$
    ainsi $DA=\dfrac{520\times 600}{480}=650$ m
    $\quad$
  5. $J$ appartient à $[DA]$ donc :
    $\begin{align*}JA&=DA-DJ\\
    &=650-520 \\
    &=130\end{align*}$
    Par conséquent la longueur du trajet $DKJA$ est égale à :
    $\begin{align*} DK+KJ+JA&=480+200+130 \\
    &=810\text{ m}\end{align*}$
    $\quad$
  6. Dans le triangle $DLA$ rectangle en $L$ on a :
    $\begin{align*} \cos \widehat{LDA}&=\dfrac{DL}{DA} \\
    &=\dfrac{600}{650} \end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{LDA} \approx 22,6$ °
    Le photographe pourra donc filmer l’ensemble de la course sans bouger la caméra.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient :
    $\bullet$ Choisir un nombre : $5$
    $\bullet$ Mettre ce nombre au carré : $5^2=25$
    $\bullet$ Soustraire le triple du nombre de départ : $25-3\times 5=10$
    $\bullet$ Soustraire $4$ : $10-4=6$
    Si on choisit $5$ comme nombre de départ, le résultat du programme est $6$.
    $\quad$
  2. On obtient :
    $\bullet$ Choisir un nombre : $x$
    $\bullet$ Mettre ce nombre au carré : $x^2$
    $\bullet$ Soustraire le triple du nombre de départ : $x^2-3x$
    $\bullet$ Soustraire $4$ : $x^2-3x-4$
    Le résultat du programme est $x^2-3x-4$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} (x+1)(x-4)&=x^2-4x+x-4 \\
    &=x^2-3x-4\end{align*}$
    Le résultat du programme peut bien s’écrire sous la forme $(x+1)(x-4)$.
    $\quad$
  4. On veut donc résoudre l’équation $x^2-3x-4=0$ soit $(x+1)(x-4)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, $x+1=0$ ou $x-4=0$.
    Or $x+1=0$ a pour solution $-1$ et $x-4=0$ a pour solution $4$.
    Les nombres permettant d’obtenir $0$ sont donc $-1$ et $4$.
    $\quad$
  5. On peut écrire :
    $\quad$

    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. a. Les points $A$, $E$, $F$ et $B$ sont alignés. Donc $2AE+EF=AB$
    Par conséquent $2AE+2,2=5$
    d’où $2AE=2,8$
    Ainsi $AE=1,4$ m
    $\quad$
    b. L’aire du triangle $AEL$ est :
    $\begin{align*} A_{AEL}&=\dfrac{AE\times AL}{2} \\
    &=\dfrac{1,4\times 1,4}{2} \\
    &=0,98\text{ m}^2\end{align*}$
    $\quad$
    c. L’aire du carré $ABCD$ est :
    $\begin{align*} A_{ABCD}&=AD^2 \\
    &=25\text{ m}^2\end{align*}$
    Par conséquent, l’aire de l’octogone est :
    $\begin{align*} A_{octogone}&=A_{ABCD}-4\times A_{AEL} \\
    &=25-0,92\times 4 \\
    &=21,08 \text{ m}^2\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. $\dfrac{3}{4}\times 1,5=1,125$.
    Le volume d’eau nécessaire est donc :
    $\begin{align*} V_{eau}&=1,125\times 21,08 \\
    &=23,715\text{ m}^3\end{align*}$
    Le volume d’eau nécessaire est donc environ égal à $24$ m$^3$.
    $\quad$
    b. $\dfrac{24~000}{12}=2~000$.
    Il faut donc $2~000$ minutes pour remplir la piscine.
    $2~000$ min $=33$ h $20$ min.
    Il faut donc $33$h et $20$ min pour remplir la piscine.
    $\quad$

Énoncé

 

Indications portant sur l’ensemble du sujet.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1     (20 points)

  1. Anne et Jean ont acheté $630$ dragées roses et $810$ dragées blanches qu’ils ont mises dans un sachet. On suppose que les dragées sont indiscernables au toucher.
    a. Combien Anne et Jean ont-ils acheté de dragées au total ?
    $\quad$
    b. Anne prend au hasard une dragée dans le sachet. Quelle est la probabilité qu’elle obtienne une dragée blanche ?
    $\quad$
  2. Avec ces dragées, ils réalisent des ballotins pour leur mariage de sorte que :
    $\bullet$ le nombre de dragées roses est le même dans chaque ballotin ;
    $\bullet$ le nombre de dragées blanches est le même dans chaque ballotin ;
    $\bullet$ toutes les dragées soient utilisées.
    a. Peuvent-ils réaliser $21$ ballotins ?
    $\quad$
    b. Décomposer $630$ et $810$ en produits de facteurs premiers.
    $\quad$
    c. En déduire le nombre maximum de ballotins qu’Anne et Jean pourront réaliser.
    Donner alors la composition de chaque ballotin.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (18 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée. Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

  1. Quelle est l’écriture scientifique de $13~420$ ?
    Réponse A : $1,342\times 10^{-4}$
    Réponse B : $1,342\times 10^{4}$
    Réponse C : $1,342\times 10^{2}$
    $\quad$
  2. On a relevé, en mètres, les onze meilleures performances du lancer de marteau chez les hommes: $$85,14~;~ 85,14~;~ 85,20~;~ 85,60 ~;~ 85,68 ~;~85,74 ~;~ 86,04 ~;~ 86,34 ~;~ 86,51 ~;~ 86,66 ~;~ 86,74$$
    Quelle est la médiane de cette série ?
    Réponse A : $85,74$
    Réponse B : $85,86$
    Réponse C : $85,89$
    $\quad$
  3. $\quad$

    $\quad$
    Quelle est l’image du motif gris par la symétrie d’axe $(d)$ ?
    Réponse A : Le motif $8$
    Réponse B : Le motif $15$
    Réponse C : Le motif $5$
    $\quad$
  4. Quelle est l’image du motif gris par la rotation de centre $O$ et
    d’angle $90$° dans le sens antihoraire ?
    Réponse A : Le motif $4$
    Réponse B : Le motif $12$
    Réponse C : Le motif $13$
    $\quad$
  5. $\quad$

    $\quad$
    Quelle est l’image de $2$ par la fonction $f$ ?
    Réponse A : $0$
    Réponse B : $1$
    Réponse C : $4$
    $\quad$
  6. Quel est le coefficient directeur de la droite $(d)$ ?
    Réponse A : $2$
    Réponse B : $-0,5$
    Réponse C : $-2$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (22 points)

Sur la figure ci-après, qui n’est pas à l’échelle, on a représenté le trajet de la course que doit faire Oscar.
Dans le triangle $DLA$ rectangle en $L$, le point $J$ appartient au segment $[DA]$ et le point $K$ appartient au segment $[DL]$.


On donne :

  • $DL = 600$ m ;
  • $KJ = 200$ m ;
  • $DJ = 520$ m ;
  • $KL = 120$ m
  1. Montrer que la longueur $DK$ est égale à $480$ m.
    $\quad$
  2. Montrer que le triangle $DKJ$ est rectangle en $K$.
    $\quad$
  3. Justifier que les droites $(KJ)$ et $(LA)$ sont parallèles.
    $\quad$
  4. Montrer que le segment $[DA]$ mesure $650$ m.
    $\quad$
  5. Calculer la longueur du trajet $DKJA$, fléché sur la figure.
    $\quad$
  6. Un photographe place une caméra au point $D$. Afin de filmer l’ensemble de la course sans bouger la caméra, l’angle $\widehat{LDA}$ doit être inférieur à $25$°.
    Est-ce le cas ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (18 points)

On considère le programme de calcul ci-dessous :

$$\begin{array}{|cl|}
\hline
\bullet&\text{Choisir un nombre} \\
\bullet&\text{Mettre ce nombre au carré} \\
\bullet&\text{Soustraire le triple du nombre de départ} \\
\bullet&\text{Soustraire $4$} \\
\hline
\end{array}$$

  1. Montrer que si on choisit $5$ comme nombre de départ, le résultat du programme est $6$.
    $\quad$
  2. On choisit $x$ comme nombre de départ.
    Exprimer le résultat du programme en fonction de $x$.
    $\quad$
  3. Vérifier que l’on peut écrire ce résultat sous la forme $(x + 1) (x- 4)$.
    $\quad$
  4. Déterminer les nombres à choisir au départ pour que le résultat du programme soit $0$.
    $\quad$
  5. Juliette a écrit le programme ci-dessous :
    $\quad$

    $\quad$
    Recopier et compléter sur la copie les lignes 4 et 6 du programme afin que celui-ci corresponde au programme de calcul encadré.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     (22 points)

Pour obtenir l’octogone grisé $EFGHIJKL$ ci-dessous, on retire quatre triangles rectangles isocèles identiques des coins d’un carré $ABCD$ de côté $5$ m.

On donne :

  • $AD = 5$ m ;
  • $EF = 2,2$ m
  1. a. Montrer que la longueur $AE$ est égale à $1,4$ m.
    $\quad$
    b. Montrer que l’aire du triangle $AEL$ est égale à $0,98$ m$^2$.
    $\quad$
    c. En déduire que l’aire de l’octogone grisé est égale à $21,08$ m$^2$.
  2. Cet octogone a les mêmes dimensions que la surface d’une piscine de hauteur $1,50$ m.
    On souhaite remplir cette piscine aux trois quarts de sa hauteur.
    $\quad$

    $\quad$
    a. Montrer que le volume d’eau nécessaire est environ égal à $24$ m$^3$.
    $\quad$
    b. Sachant que le débit du robinet utilisé pour remplir la piscine est de $12$ L/min, calculer durée de remplissage de ces $24$ m$^3$ d’eau. Donner le résultat en heures et minutes.
    Rappel : $1$ m$^3 = 1~000$ L.
    $\quad$

$\quad$