DNB – Métropole – septembre 2024

Métropole – Septembre 2024

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $4$ n’est pas un nombre premiers. Donc $4\times 5\times 13$ n’est pas la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $260$.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. La première urne contient $3+4+8=15$ boules dont $8$ rouges.
    La probabilité de tirer une boule rouge est donc égale à $\dfrac{8}{15}$.
    La seconde urne contient $1+1+3=5$ boules dont $3$ marquées de la lettre C. La probabilité de tirer une boule marquée de la lettre C est donc égale à $\dfrac{3}{5}$.
    Or $\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{15}>\dfrac{8}{15}$.
    La probabilité d’obtenir une boule rouge est donc inférieure à la probabilité d’obtenir une boule marquée de la lettre C.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  3. $7x+5=2x-2$ revient à $7x-2x=-2-5$ soit $5x=-7$.
    Par conséquent $x=-\dfrac{7}{5}$ c’est-à-dire $x=-1,4$.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. Le rayon d’une pièce est égale à $\dfrac{1,9}{2}=0,95$ cm.
    Le volume du cylindre est donc :
    $\begin{align*} V&=10\times 0,95^2\times \pi\times 0,2 \\
    &=1,805\pi \\
    &\approx 5,67 \text{~cm}^3\end{align*}$
    Le volume du cylindre, arrondi à l’unité, formé par les $10$ pièces est bien de $6$ cm$^3$.
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
  5. $17$ km/h$=17 \times \dfrac{1~000}{3~600}$ m/s $\approx 4,72$ m/s
    Or $5>4,72$.
    Un éléphant qui court à une vitesse de $5$ m/s est plus rapide qu’un cochon qui se déplace à une vitesse de $17$ km/h.
    Affirmation 5 vraie
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On a :
    $\begin{align*} BG&=5BE\\
    &=5\times 12 \\
    &=60\text{ m}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $G$ appartient à $[BC]$
    Donc :
    $\begin{align*} CG&=BC-BG\\
    &=150-60\\
    &=90\text{ m}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Dans les triangles $GCF$ et $BCA$ on a :
    – Le point $G$ appartient à $[BC]$ ;
    – Le point $F$ appartient à $[AC]$ ;
    – Les droites $(GF)$ et $(AB)$ sont parallèles puisque perpendiculaires à la droite $(BC)$.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{CG}{CB}=\dfrac{CF}{CA}=\dfrac{GF}{AB}$
    Soit $\dfrac{90}{150}=\dfrac{GF}{200}$
    Par conséquent $GF=\dfrac{200\times 90}{150}$
    D’où $GF=120$ m.
    $\quad$
  3. a. Le triangle $CGF$ est rectangle en $G$.
    Par conséquent sont aire est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_{CGF}&=\dfrac{CG\times GF}{2} \\
    &=\dfrac{90\times 120}{2} \\
    &=5~400\text{ m}^2\end{align*}$
    $\quad$
    b. Il a fallu $80$ minutes pour moissonner $9~600$ m$^2$. Il faudra donc $\dfrac{5~400\times 80}{9~600} = 45$ minutes pour moissonner la partie restante $CGF$ de son champ.
    $\quad$
  4. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2 \\
    &=200^2+150^2 \\
    &=40~000+22~500 \\
    &=62~500\end{align*}$
    Par conséquent $AC=\sqrt{62~500}=250$ m.
    Le périmètre du triangle $ABC$ est donc :
    $\begin{align*} P&=AB+BC+CA \\
    &=200+150+250\\
    &=600\text{ m}\end{align*}$.
    Il doit donc acheter $600$ m de clôture.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. La production d’électricité a été la plus grande samedi ($405$ kWh).
    $\quad$
    b. L’étende de ces productions d’électricité est :
    $\begin{align*} e&=405-322 \\
    &=83 \text{ kWh}\end{align*}$
    $\quad$
    c. La production moyenne d’électricité par jour sur cette période est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{381+363+322+329+393+405+376}{7} \\
    &=\dfrac{2~569}{7}\\
    &=367 \text{ kWh}\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\dfrac{15}{100}\times 2~569=385,35$.
    L’entreprise revend donc $385,35$ kWh.
    $385,35\times 0,08=30,828$ €.
    Elle a donc gagné $30,828$ € pendant ces $7$ jours.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $LVO$ rectangle en, $V$ on a :
    $\begin{align*} \sin\widehat{VLO}&=\dfrac{OV}{OL} \\
    &=\dfrac{7}{13,5}\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{VLO}\approx 31,2$°.
    Or $30<31,1<35$.
    Les panneaux solaires ont donc une production maximale.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On a
    $\begin{align*} f(6)&=6^2+10\times 6+16 \\
    &=36+60+16\\
    &=112\end{align*}$
    L’image de $6$ par la fonction $f$ est $112$.
    $\quad$
  2. a. On a saisi la formule $=\text{B1*B1+10*B1+16}$ dans la cellule $\text{B2}$.
    $\quad$
    b. D’après le tableau $f(-2)=0$.
    Donc $-2$ est un antécédant de $0$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout nombre $x$ on a :
    $\begin{align*}(x+2)(x+8)&=x^2+8x+2x+16\\
    &=x^2+10x+16\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $f(x)=0$ revient à $(x+2)(x+8)=0$.
    Il s’agit d’une équation de produit nul.
    Par conséquent $x+2=0$ ou $x+8=0$
    soit $x=-2$ ou $x=-8$.
    $-8$ est donc un autre antécédent de $0$ par la fonction $f$.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. On obtient la figure suivante :
    $\quad$

    $\quad$
    b. Les quatre côtés du quadrilatère non croisé $ABCD$ ont la même longueur.
    Il s’agit donc d’un losange.
    $\quad$
    c. Les triangles $ABC$ et $ACD$ sont équilatéraux. Tous leurs angles mesurent donc $60$°.
    Or :
    $\begin{align*} \widehat{BCD}&=\widehat{BCA}+\widehat{ACD} \\
    &=60+60\\
    &=120\text{ °}\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$

    $\quad$
  3. Le programme A permet de tracer la figure 2.
    Le programme B permet de tracer la figure 3.
    Le programme C permet de tracer la figure 1.
    $\quad$

Énoncé

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation

Exercice 1     (20 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse.
Toutes les réponses devront être justifiées.

  1. Affirmation 1
    La décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $260$ est $4 \times 5 \times 13$.
    $\quad$
  2. Affirmation 2
    Une urne opaque contient des boules indiscernables au toucher : $3$ boules blanches, $4$ boules jaunes et $8$ boules rouges.
    On pioche au hasard une boule dans cette urne et on note sa couleur.
    Une autre urne opaque contient des boules indiscernables au toucher : $1$ boule marquée de la lettre A, $1$ boule marquée de la lettre B et $3$ boules marquées de la lettre C.
    On pioche au hasard une boule dans cette urne et on note la lettre obtenue.
    La probabilité d’obtenir une boule de couleur rouge est supérieure à la probabilité d’obtenir une boule marquée de la lettre C.
    $\quad$
  3. Affirmation 3
    La solution de l’équation $7x + 5 = 2x-2$ est $-1,4$.
    $\quad$
  4. Affirmation 4
    On empile $10$ pièces cylindriques de $1,9$ cm de diamètre et de $0,2$ cm de hauteur.
    Le volume du cylindre, arrondi à l’unité, formé par les 10 pièces est de $6$ cm$^3$.
    Rappel : le volume d’un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $h$ est égal à $\pi \times R^2\times h$.
    $\quad$
  5. Affirmation 5
    Un éléphant qui court à une vitesse de $5$ m/s est plus rapide qu’un cochon qui se déplace à une vitesse de $17$ km/h.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (20 points)

Un agriculteur possède un champ de blé ayant la forme d’un triangle $ABC$ rectangle en $B$ représenté ci-dessous.

On donne $AB = 200$ m et $BC = 150$ m.
Pour moissonner son champ, il utilise une moissonneuse batteuse qui, à chaque passage, coupe des bandes de $12$ mètres de large parallèles à la droite $(AB)$. On a donc $BE = 12$ m.

Il commence à passer le long du côté $[AB]$. Le segment en pointillés $[DE]$ représente la limite du premier passage de la moissonneuse batteuse.

Après avoir fait $5$ passages, il a moissonné le quadrilatère $ABGF$.

  1. a. Montrer que $BG = 60$ m.
    $\quad$
    b. En déduire que $CG = 90$ m.
    $\quad$
  2. Démontrer que la longueur $GF$ est de $120$ m.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que l’aire du triangle rectangle $CGF$ est de $5~400$ m$^2$.
    $\quad$
    b. Le quadrilatère $ABGF$ a une surface de $9~600$ m$^2$ qui a été moissonnée en $80$ minutes.
    On admet que le temps de travail de la moissonneuse batteuse est proportionnel à la surface moissonnée.
    Calculer le temps de travail qu’il faut pour moissonner la partie restante $CGF$ de son champ.
    $\quad$
  4. L’année suivante, il décide de clôturer son champ $ABC$ afin d’y mettre des animaux pour l’été.
    Quelle longueur de clôture doit-il acheter ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (20 points)

Une entreprise décide de faire poser sur le toit de son hangar des panneaux solaires.
Pendant une semaine d’utilisation, les productions d’électricité journalières en kilowattheures (kWh) de ces panneaux ont été relevées dans le tableau ci-dessous.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{c}\text{Jour de la}\\\text{semaine}\end{array}&\text{Lundi}&\text{Mardi}&\text{Mercredi}&\text{Jeudi}&\text{Vendredi}&\text{Samedi}&\text{Dimanche}\\
\hline
\begin{array}{c}\text{Production}\\\text{d’électricité}\\\text{en kWh}\end{array}&381& 363&322& 329& 393& 405& 376\\
\hline
\end{array}$$

  1. a. Quel jour la production d’électricité a-t-elle été la plus grande ?
    $\quad$
    b. Calculer l’étendue de ces productions d’électricité.
    $\quad$
    c. Quelle est la production moyenne d’électricité par jour sur cette période ?
    $\quad$
  2. L’entreprise revend $15 \%$ de sa production d’électricité au tarif de $8$ centimes le kWh.
    Combien a-t-elle gagné en euros pendant ces $7$ jours ?
    $\quad$
  3. Afin que les panneaux solaires aient une production maximale, le toit doit avoir une pente avec l’horizontale comprise entre $30$° et $35$°
    $\quad$

    $\quad$
    Schéma en coupe du hangar.
    La pente du toit avec l’horizontale correspond à l’angle $\widehat{OLV}$.
    $\quad$
    Sur ce toit, les panneaux solaires ont-ils une production maximale ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (20 points)

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2+10x+16$.

  1. Vérifier par le calcul que l’image de $6$ par la fonction $f$ est $112$.
    $\quad$
  2. On utilise un tableur afin de calculer les images des entiers compris entre $-4$ et $4$ par la fonction $f$.
    $\quad$

    $\quad$
    a.  Parmi les $4$ formules ci-dessous, recopier celle qui a été saisie dans la cellule $\text{B2}$, puis étirée vers la droite afin de calculer les images des nombres donnés par la fonction $f$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{=B1*B1+10*B1+16}&\text{=A1*A1+10*A1+16}&\text{=(-4)*(-4)+10*(-4)+16}&\text{=𝑥 ∗ 𝑥 + 10 ∗ 𝑥 + 16}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. En utilisant le tableau, déterminer un antécédent de $0$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que $f(x)$ peut s’écrire $(x+2)(x+8)$.
    $\quad$
    b. En déduire un autre antécédent de $0$ par la fonction $f$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     (20 points)

Le quadrilatère $ABCD$ ci-dessous est constitué de 2 triangles équilatéraux de côté $5$ cm.

  1. a. Reproduire le quadrilatère $ABCD$ en vraie grandeur.
    $\quad$
    b. Quelle est sa nature ?
    $\quad$
    c. Démontrer que l’angle $\widehat{BCD}$ mesure $120$°.
    $\quad$
  2. Le programme ci-dessous permet de créer le bloc $\texttt{Motif}$ qui trace le quadrilatère $ABCD$.
    Recopier et compléter les lignes $5$ et $6$ de ce programme.
    On utilise l’échelle suivante : $10$ pas dans le programme représentent $1$ cm dans la réalité.
    $\quad$

    $\quad$
  3. Recopier et compléter les trois phrases suivantes afin d’associer chaque figure au programme qui permet de la tracer.
    Le programme A permet de tracer la figure …
    Le programme B permet de tracer la figure …
    Le programme C permet de tracer la figure …
    $\quad$

    $\quad$