DNB – Nouvelle Calédonie – 7 décembre 2021

Nouvelle Calédonie – Décembre 2021

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Affirmation 1 fausse
$\dfrac{50}{100}\times 10~350=5~175$

$\quad$

Affirmation 2 vraie
$\dfrac{42}{18}=\dfrac{6\times 7}{6\times 3} = \dfrac{7}{3}$

$\quad$

Affirmation 3 vraie
$2x-4=-x+5$ devient $2x+x=4+5$ soit $3x=9$ et donc $x=3$

$\quad$

Affirmation 4 fausse
Le rayon de la boule est $R=\dfrac{21,6}{2}=10,8$ cm
Le volume de la boule, en cm$^3$, est
$\begin{align*} V&=\dfrac{4}{3}\pi 10,8^3 \\
&\approx 5~276,7 \end{align*}$

$\quad$

Affirmation 5 vraie
Dans le triangle $BDN$ rectangle en $B$ on a
$\tan \widehat{DNB}=\dfrac{BD}{BN}$ soit $\tan \widehat{DNB}=\dfrac{4}{12}$
Par conséquent $\widehat{DNB} \approx 18,4$°.

$\quad$

Affirmation 6 fausse
Il y a $3$ possibilités pour le premier chiffre : $1$, $2$ ou $3$.
Il y a $3$ possibilités pour le deuxième chiffre : $1$, $2$ ou $3$.
Il n’y a qu’une seule possibilité pour le troisième chiffre : $6$.
Il y a donc, au total, $3\times 3\times 1 = 9$ codes différents.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $\begin{align*}\dfrac{147+199+40+67+47+54+104+45+63}{9}&=\dfrac{766}{9} \\
    &\approx 85,11\end{align*}$
    La moyenne des précipitations est donc environ égale à $85$ mm.
    $\quad$
  2. $199-40=159$
    L’étendue des précipitations est égale à $159$ mm.
    $\quad$
  3. On réordonne la série : $40;45;47;54;63;67;104;147;199$
    $\dfrac{9}{2}=4,5$.
    La médiane est donc la $5\ieme$ valeur c’est à dire $63$.
    La médiane des précipitations est égale à $63$ mm.
    $\quad$
  4. Sur les $9$ mois, les précipitations sont supérieures à $100$ mm durant $3$ mois.
    Or $\dfrac{3}{9} \approx 0,333$.
    Les précipitations sont donc supérieures à $100$ mm durant environ $33\%$ de la période étudiée.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Dans le triangle $BAI$ rectangle en $A$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} BI^2&=AI^2+AB^2 \\
    &=155^2+210^2\\
    &=68~125\end{align*}$
    Par conséquent $BI=\sqrt{68~125} \approx 261$ cm.
    $\quad$
  2. Pour chaque vitre, Joanne a besoin d’environ $2\times 261 =522$ cm d’adhésif.
    Elle donc bien besoin d’environ $5,22$ m d’adhésif pour une vitre.
    $\quad$
  3. Pour les $15$ vitres elle a donc besoin d’environ $15\times 5,22 \approx 78,3$ m d’adhésif.
    Les $7$ rouleaux lui fournisse $7\times 10=70$ m d’adhésif.
    Elle n’aura donc pas assez d’adhésif pour toutes les vitres.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $330$ est divisible par $2$ (le chiffre des unités est pair). Il n’est donc pas premier.
    $\quad$
    b. $\quad$
    $\begin{align*} 330&=2\times 165 \\
    &=2\times 3\times 55 \\
    &=2\times 3\times 5\times 11\end{align*}$
    La décomposition en facteurs premiers de $330$ est donc $2\times 3\times 5\times 11$.
    $\quad$
    c. $330=2\times 165$ donc $165$ divise $330$.
    $\quad$
    d. $165$ est divisible par $3$ tandis que $500$ ne l’est pas (la somme de ses chiffres n’est pas un multiple de $3$).
    Par conséquent $165$ ne divise pas $500$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{330}{165}=2$ : il y a donc $2$ biscuits aux noix dans chaque boîte.
    $\quad$
  3. a. $\dfrac{500}{165}\approx 3,03$ : il y a donc $3$ biscuits au chocolat dans chaque boîte.
    $\quad$
    b. $500-3\times 165=5$ : il reste donc $5$ biscuits au chocolat.
    $\quad$
  4. Les $12$ boîtes coûtent, avant réduction, $12\times 3~650=43~800$ francs.
    $43~800\times \dfrac{5}{100}=2~190$.
    On va donc payer $43~800-2~190=41~610$ francs.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Il y a $5+3+3+2+1=14$ cartes par famille.
    Il y a donc $14\times 4=56$ cartes dans le jeu.
    $\quad$
  2. La probabilité d’obtenir $P$ est donc $\dfrac{14}{56}=\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  3. a. L’événement contraire de $P$ est « Jack obtient une carte de la famille banane, citron ou fraise».
    $\quad$
    b. La probabilité de l’événement contraire à $P$ est $1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$
  4. $4\times 2=8$ cartes ont quatre fruits.
    La probabilité d’obtenir une carte avec quatre fruits est donc égale à $\dfrac{8}{56}=\dfrac{1}{7}$.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

Partie 1 : Distance de réaction

  1. La représentation graphique semble être une demi-droite passant par l’origine du repère et traduit donc une situation de proportionnalité.
    $\quad$
  2. On obtient graphiquement :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \text{Vitesse (km/h)}&0&\boldsymbol{54}&90 \\
    \hline
    \text{Distance de réaction (m)}&\boldsymbol{0}&15&\boldsymbol{25}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$

Partie 2 : Distance de freinage sur route sèche

  1. On écrit $=\text{B1*B1/203.2}$
    $\quad$
  2. À $90$ km/h la distance de freinage est
    $\begin{align*}
    d&=\dfrac{90^2}{203,2} \\
    &=\dfrac{8~100}{203,2} \\
    &\approx 39,86\end{align*}$
    La distance de freinage est bien d’environ $40$ m.
    $\quad$

Partie 3 : Distance d’arrêt sur route sèche

La distance d’arrêt d’un véhicule roulant à $90$ km/h est donc environ égale à $25+40$ soit environ $65$ m.

$\quad$

 

Ex 7

Exercice 7

Surface à peindre :
– au sol : $4\times 8=32$ m$^2$;
– “petites” parois intérieures : $2\times 4\times 1,7=13,6$ m$^2$;
– “grandes” parois intérieures : $2\times 8\times 1,7=27,2$ m$^2$.

La surface totale à peindre est donc égale à $32+13,6+27,2=72,8$ m$^2$.
Il faut deux couches de peinture. Il faut donc peindre $145,6$ m$^2$.

Or $\dfrac{145,6}{35}=4,16$ : il faut  par conséquent acheter $5$ pots de peinture.

$5\times 12~000=60~000$ : Il faut donc prévoir $60~000$ francs pour les travaux de peinture.

$\quad$

Ex 8

Exercice 8

  1. $A$ appartient à $[OH]$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} OH&=OA+AH \\
    &=151+260 \\
    &=411 \text{ m}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Dans les triangles $OAB$ et $OHP$ on a :
    – $A\in [OH]$ et $B\in [OP]$;
    – $(AB)$ et $(HP)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{OA}{OH}=\dfrac{OB}{OP}=\dfrac{AB}{HP}$
    ainsi $\dfrac{151}{411}=\dfrac{AB}{56}$.
    Par conséquent $AB=\dfrac{151 \times 56}{411}$. Donc $AB\approx 21$ m.
    $\quad$
  3. $\widehat{a}$ est le supplémentaire d’un angle de $72$°.
    Par conséquent $\widehat{a}=180-72=108$°.
    $\quad$
  4. On obtient :
    $\quad$

    $\quad$
  5. On obtient :
    $\quad$

    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1      18 points

Pour chaque affirmation répondre par vrai ou faux. Justifier chaque réponse.

Affirmation 1 : $50 \%$ de $10~350$ c’est $10~300$.
$\quad$

Affirmation 2 : $\dfrac{7}{3}$ est la forme irréductible de $\dfrac{42}{18}$.
$\quad$

Affirmation 3 : L’équation $2x-4 =-x +5$ a pour solution $3$.
$\quad$

Affirmation 4 : L’arrondi à l’unité près du volume d’une boule de diamètre $21,6$ cm est $42~213$ cm$^3$.
On rappelle la formule du volume d’une boule $V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$.
$\quad$

Affirmation 5 : : Dans la figure codée ci-contre, la mesure
de l’angle $\widehat{DNB}$, arrondie à l’unité près, est $18$°.

Affirmation 6 : On peut composer $6$ codes différents avec un cadenas à $3$ chiffres qui respecte les conditions suivantes :

  • les deux premiers chiffres sont choisis parmi $1$; $2$ et $3$;
  • un chiffre peut apparaître deux fois;
  •  le dernier chiffre est $6$.

$\quad$

$\quad

Exercice 2      10 points

On étudie les précipitations (hauteurs de pluies) sur la ville de Nouméa entre avril et décembre 2020.
On obtient le tableau suivant :

$\begin{array}{r}\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Mois}&\text{Avril}&\text{Mai}&\text{Juin}&\text{Juillet}&\text{Août}&\text{Sept.}&\text{Oct.}&\text{Nov.}&\text{Déc.} \\
\hline
\text{Précipitations en mm}&147&199&40&67&47&54&104&45&63 \\
\hline
\end{array}\\
\scriptsize{\text{Source : https ://www.historigue-meteo.net/oceanie/nouvelle-caledonie/noumea/2020}}\end{array}$

  1. Calculer la moyenne des précipitations. Arrondir le résultat au mm près.
    $\quad$
  2. Quelle est l’étendue des précipitations ?
    $\quad$
  3. Déterminer la médiane des précipitations.
    $\quad$
  4. Calculer le pourcentage de mois pour lesquels les précipitations sont supérieures à $100$ mm. Arrondir
    le résultat à l’unité près.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3      10 points

$BAI$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $BA = 210$ cm et $AI = 155$ cm.

  1. Déterminer la longueur $BI$ au cm près.
    Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
    L’immeuble de Joanne possède $15$ vitres rectangulaires.
    Chaque vitre a pour longueur $210$ cm et pour largeur $155$ cm.
    Lors d’une préalerte cyclonique Joanne pose de l’adhésif sur les deux diagonales de chaque vitre de l’immeuble.
    $\quad$

    $\quad$
  2. Justifier que Joanne a besoin d’environ $5,22$ m d’adhésif pour une vitre.$\quad$

Joanne a $7$ rouleaux d’adhésif de $10$ m chacun.

  1. A-t-elle assez d’adhésif pour toutes les vitres ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 4      14 points

  1. a. Justifier que $330$ n’est pas un nombre premier.
    La décomposition en produit de facteurs premiers de $500$ est : $500 = 2^2 ×5^3$.
    $\quad$
    b. Décomposer $330$ en produit de facteurs premiers.
    $\quad$
    c. Justifier que $165$ divise $330$.
    $\quad$
    d. Justifier que $165$ ne divise pas $500$.
    $\quad$

La pâtisserie Délices a préparé $330$ biscuits aux noix et $500$ biscuits au chocolat.
La pâtisserie souhaite répartir le plus de biscuits possible dans $\boldsymbol{165}$ boites.
La pâtisserie met le même nombre de biscuits aux noix dans chaque boîte.

  1. Combien de biscuits aux noix y a-t-il dans chaque boîte ?
    La pâtisserie met aussi le même nombre de biscuits au chocolat dans chaque boîte.
    $\quad$
  2. a. Combien de biscuits au chocolat y a-t-il dans chaque boîte ?
    $\quad$
    b. Combien de biscuits au chocolat reste-t-il ?
    $\quad$

Une boîte de biscuits coûte $3~650$ francs.
À partir de $10$ boîtes achetées, la pâtisserie Délices offre une réduction de $5 \%$ sur le montant total.

  1. Combien va-t-on payer pour l’achat de $12$ boîtes ?
    Faire apparaître les calculs effectués.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5      18 points

Un jeu est constitué de quatre familles de cartes : banane; prune; citron; fraise.
Voici la répartition des cartes de la famille banane.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Nombre de banane(s)}&1&2&3&4&5\\
\hline
\text{Nombre de cartes}&5&3&3&2&1\\
\hline
\end{array}$

La répartition est la même pour les cartes avec les autres fruits.

  1. Montrer que ce jeu a $56$ cartes.
    $\quad$
    Joanne mélange toutes les cartes. Son frère Jack prend une carte au hasard. On admet que chaque carte a la même chance d’être choisie.
    Soit $P$ l’évènement : « Jack obtient une carte de la famille prune ».
  2. Quelle est la probabilité de l’évènement $P$ ?
    $\quad$
  3. a. Quel est l’évènement contraire de $P$ ?
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité de l’évènement contraire de $P$ ?
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité d’obtenir une carte avec quatre fruits ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 6      14 points

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 : Distance de réaction

La distance de réaction d’un véhicule est la distance parcourue par ce véhicule entre l’instant où le conducteur voit un obstacle et l’instant où il appuie sur la pédale de frein.
On considère un conducteur en bonne santé.
La distance de réaction, en mètre, en fonction de la vitesse du véhicule est représentée par le graphique de l’annexe.

  1. Cette représentation graphique traduit-elle une situation de proportionnalité ?
    Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. Compléter, par lecture graphique, le tableau de l’annexe.
    $\quad$

Partie 2 : Distance de freinage sur route sèche

La distance de freinage d’un véhicule est la distance parcourue par ce véhicule entre l’instant où le conducteur appuie sur la pédale de frein et l’instant où la voiture s’arrête complètement.
La distance de freinage en mètre, pour un véhicule en bon état, est déterminée en fonction de la vitesse du véhicule par la formule : $$d=\dfrac{v^2}{203,2} \text{ où $v$ est la vitesse exprimée en km/h}$$
On utilise un tableur pour calculer les distances de freinage en fonction de la vitesse :

  1. Recopier parmi les formules trois suivantes, celle qu’il faut saisir dans la cellule B2 puis étirer vers la droite :
    $$\begin{array}{lllll}
    \begin{array}{|c|}
    \hline
    =\text{2*B1/203.2}\\
    \hline
    \end{array} & \phantom{123}&\begin{array}{|c|}
    \hline
    =\text{B1*B1/203.2}\\
    \hline
    \end{array} & \phantom{123}\begin{array}{|c|}
    \hline
    =\text{B1+B1/203.2}\\
    \hline
    \end{array} \end{array}$$
    $\quad$
  2. Un véhicule roule à $90$ km/h.
    Montrer que sa distance de freinage est environ $40$ m.
    $\quad$

Partie 3 : Distance d’arrêt sur route sèche

La distance d’arrêt d’un véhicule est la distance parcourue par ce véhicule entre l’instant où le conducteur voit un obstacle et l’instant où la voiture s’arrête complètement.
Distance d’arrêt = Distance de réaction + Distance de freinage
Calculer la distance d’arrêt d’un véhicule roulant à $90$ km/h.
$\quad$

Annexes

$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
\text{Vitesse (km/h)}&0&\boldsymbol{\ldots}&90 \\
\hline
\text{Distance de réaction (m)}&\boldsymbol{\ldots}&15&\boldsymbol{\ldots}\\
\hline
\end{array}$

$\quad$

$\quad$

Exercice 7      18 points

On doit appliquer deux couches de peinture sur le sol et les parois intérieures d’une piscine rectangulaire dont les dimensions sont données dans le document 2.
À l’aide des documents ci-dessous, calculer le budget que l’on doit prévoir pour les travaux de peinture.

Document 1 : pot de peinture
Surface pouvant être peinte : $35$ m$^2$
Prix : $12~000$ F

Document 2 : piscine de base rectangulaire
Longueur : $8$ m $\quad$ Largeur : $4$ m $\quad$ Profondeur : $1,70$ m

Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans la notation.

$\quad$

$\quad$

 

Exercice 8      18 points

On dispose des informations suivantes sur le phare Amédée, une balise et une bouée :

  •  la hauteur du phare est de $56$ m;
  •  la balise est située à $260$ m du phare;
  • la balise et la bouée sont distantes de $151$ m;
  • la bouée $O$, le sommet $B$ de la balise et le sommet $P$ du phare sont considérés comme trois points alignés.

Schéma de la situation :

Les droites $\boldsymbol{(PH)}$ et $\boldsymbol{(BA)}$ sont parallèles.

  1. Quelle est la distance $OH$ en m ?
    $\quad$
  2. Déterminer la hauteur $AB$ de la balise. Arrondir au dixième de m près.
    Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
    $\quad$

Le haut du phare est protégé par une barrière composée de sculptures.

Contour de la sculpture

On souhaite réaliser un programme Scratch pour reproduire le contour de cette sculpture.

  1. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{a}$ en degré dans la figure ci-dessous :
    $\quad$

    $\quad$
    Le script 1 permet de tracer le motif en pointillé ci-dessous (on part du point $A$ et on s’arrête au point $B$).
    $\quad$

    $\quad$
  2. Compléter le script 1 de l’annexe.
    $\quad$

Le script final permet de réaliser le contour de la sculpture.

  1. Compléter le script final de l’annexe.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$