DNB – Polynésie – juin 2024

Polynésie – Juin 2024

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Dans le triangle $ABC$ le plus grand côté est $[AC]$.
    D’une part, $AC^2=29^2=841$
    D’un autre côté, $AB^2+BC^2=20^2+21^2=841$
    Ainsi $AC^2=AB^2+BC^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
    $\quad$
  2. D’après le graphique $f(0)=1$. Ca exclut donc les réponses 1 et 3.
    On a $f(-2)=0$.
    Si $f(x)=2x+1$ alors $f(-2)=-3$.
    Si $f(x)=\dfrac{x}{2}+1$ alors $f(-2)=-1+1=0$.
    Donc $\boldsymbol{f(x)=\dfrac{x}{2}+1}$
    $\quad$
  3. La carré n°2 est l’image du carré n°1 par l’homothétie de centre $\boldsymbol{O}$ et de rapport $\boldsymbol{-2}$.
    $\quad$
  4. Il y a un ration $10:6:2$. Donc chaque unité de volume vaut $\dfrac{90}{18}=5$.
    Il y a donc $\boldsymbol{5\times 6=30}$ cL de jus de fruit de la passion.
    $\quad$
  5. $\dfrac{408}{48}=8,5$ : on exclut la réponse 1
    $\dfrac{408}{24}=17$ et $\dfrac{168}{24}=7$
    De plus $6<8<24$.
    Ainsi il peut remplir au plus $\boldsymbol{24}$ sacs.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $5$ éditions (Athènes, Pékin, Londres, Rio de Janeiro, Tokyo) sur $8$ on eu un coût réel supérieur ou égal à $10$ milliards d’euros.
    $\quad$
  2. $\dfrac{16,5-9}{9}\approx 0,833$.
    Le coût réel a donc augmenté d’environ $83\%$.
    $\quad$
  3. Le coût réel moyen entre 1992 et 2021 est :
    $\begin{align*}m&=\dfrac{9,3+2,3+5,5+10+31+11+16,5+12,1}{8} \\
    &=\dfrac{97,7}{8} \\
    &\approx 12,2\end{align*}$
    Le coût réel moyen entre 1992 et 2021 est environ égal à $12,2$ milliards d’euros.
    $\quad$
  4. a. $2$ (Pékin et Rio de Janeiro) éditions sur les $8$ on un coût supérieur à $12,2$ milliards d’euros.
    Or $\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{2}$.
    L’affirmation est donc fausse. Le journaliste confond médiane et moyenne.
    $\quad$
    b. On appelle $x$ le coût prévisionnel des JO de Paris 2024.
    On a donc :
    $\dfrac{3,5+1,8+3+5,3+2,6+4,8+9+13+x}{9}=5,5$.
    soit $\dfrac{43+x}{9}=5,5$
    donc $43+x=49,5$
    Ainsi $x=6,5$.
    Le coût prévisionnel des JO de Paris 2024 est égal à $6,5$ milliards d’euros.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} AB^2&=AC^2+BC^2 \\
    &=15^2+27^2 \\
    &=954\end{align*}$
    Donc
    $\begin{align*}AB&=\sqrt{954}\\
    &\approx 31 \text{ m} \end{align*}$
    $\quad$
    b. Dans les triangles $DEF$ et $FJH$ on a :
    $\bullet$ $J\in [DF]$ et $H\in [EF]$ ;
    $\bullet$ $(JH)$ et $(DE)$ sont perpendiculaires à $(EF)$ et sont donc parallèles entre elles.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{FJ}{FD}=\dfrac{FH}{FE}=\dfrac{JH}{DE}$
    Ainsi $\dfrac{15}{FD}=\dfrac{7}{18}$ d’où $FD=\dfrac{15\times 18}{7}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} JD&=FD-FJ\\
    &=\dfrac{15\times 18}{7}-15 \\
    &\approx 24\text{ m}\end{align*}$
    $\quad$
    c. D’après les questions précédentes $JD<AB$.
    Jules est donc plus proche d’un bord de la piscine.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ on a :
    $\begin{align*} \tan\widehat{ABC}&=\dfrac{AC}{BC} \\
    &=\dfrac{15}{27} \end{align*}$
    Donc $\widehat{ABC}\approx 29$ °$<35$°.
    Les gradins Nord respectent cette norme.
    $\quad$
    Remarque : On aurait pu utiliser le sinus ou le cosinus mais cela faisait intervenir la valeur de $AB$ que l’énoncé ne fournit pas. Il est donc plus prudent d’utiliser la tangente.
    $\quad$
  3. La surface d’un panneau photovoltaïque est :
    $\begin{align*} S&=1\times 1,7 \\
    &=1,7\text{ m}^2\end{align*}$
    Il y a donc $\dfrac{4~678,4}{1,7}=2~752$ panneaux sur le toît.
    La quantité annuelle d’énergie produite par l’ensemble des panneaux photovoltaïques du toit est égale à $2~752\times 350=963~200$ kWh.
    $\quad$
  4. Le volume d’eau est égal à $50\times 25\times 3=3~750$ m$^3$
    Il faut donc $9,3\times 3~750=34~875$ kWh pour chauffer toute l’eau de la piscine olympique jusqu’à 26°C.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On a :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    1^{\text{er}}\text{ tirage}\setminus 2^{\text{e}}\text{ tirage}&3&5\\
    \hline
    5&15&25\\
    \hline
    2&6&10\\
    \hline
    3&9&15\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Deux résultats sur les $6$ sont égaux à $15$.
    La probabilité d’obtenir $15$ comme résultat est donc égale à $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
  3. Les multiples de $3$ possibles sont $15$, $6$, $9$.
    Il y a donc $4$ multiples de $3$ présents dans le tableau.
    La probabilité d’obtenir un multiple de $3$ est donc égale à $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.
    L’affirmation est vraie.
    $\quad$
  4. On a $165=3\times 5\times 11$ et $78=2\times 3\times 13$.
    Il est impossible d’obtenir $2$ ou $3$ à l’aide des deux premières boîtes.
    De plus $11$ et $13$ n’appartiennent à aucune des deux premières boîtes.
    Ainsi la troisième boîte contient les nombres $11$ et $13$.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

Partie A

  1. On a :
    $\begin{align*} f(-4)&=(-4+2)^2-(-4) \\
    &=(-2)^2+4 \\
    &=4+4\\
    &=8\end{align*}$
    $\quad$
  2. On veut résoudre $7x+4=3$ soit $7x=-1$ et donc $x=-\dfrac{1}{7}$.
    Un antécédent de $3$ par la fonction $g$ est donc $-\dfrac{1}{7}$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Il a pu saisir $=\text{7*B1+4}$.
    $\quad$
    b. Avec cette méthode, il obtient que $0$ est l’unique solution de l’équation $f(x)=g(x)$.
    $\quad$
  2. a. On obtient :
    $\quad$

    $\quad$
    b. On a $f(0)=2^2=4$ et $g(0)=4$.
    Le programme affiche alors “Le nombre choisi est une solution de l’équation $f(x)=g(x)$.
    $\quad$
    c. Ainsi $0$ est une solution de l’équation $f(x)=g(x)$.
    $\quad$
  3. a. On a $f(x)=g(x)$
    Ainsi $(x+2)^2-x=7x+4$
    D’où $x^2+4x+4-x=7x+4$
    soit $x^2-4x=0$
    $\quad$
    b. Or $x^2-4x=x(x-4)$.
    $x^2-4x=0$ revient donc à $x(x-4)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Or $x-4=0$ revient à $x=4$.
    Ainsi les solutions de l’équation $f(x)=g(x)$ sont $0$ et $4$.
    $\quad$
  4. Paul n’a trouvé qu’une seule solution : $0$. Il n’a pas résolu l’équation $f(x)=g(x)$.
    Jane n’a trouvé qu’une seule solution : $0$. Elle n’a pas résolu l’équation $f(x)=g(x)$.
    Morgane a trouvé toutes les solutions de l’équation $f(x)=g(x)$.
    Par conséquent, seule Morgane a résolu l’équation $f(x)=g(x)$.
    $\quad$

Énoncé

 

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