E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

L’entreprise SAVEUR fabrique et commercialise de l’extrait de parfum. Elle est en capacité d’en produire jusqu’à $34$ hectolitres par mois. On suppose que toute la production est
vendue.

On modélise le coût de production mensuel, en centaines d’euros, de $x$ hectolitres d’extrait de parfum par la fonction $C$ définie par $C(x)=2x^2+12x+240$, où $x\in[0;34]$.

Chaque hectolitre d’extrait de parfum est vendu $80$ centaines d’euros.

  1. a. Calculer le coût de production mensuel et la recette réalisée par l’entreprise lorsqu’elle produit $6$ hectolitres d’extrait de parfum dans le mois.
    $\quad$
    b. L’entreprise réalise-t-elle un profit lorsqu’elle produit et vend $6$ hectolitres d’extrait de parfum par mois ?
    $\quad$
  2. Démontrer que le bénéfice, en centaines d’euros, pour la vente de $x$ hectolitres d’extrait de parfum, est donné par la fonction $B$ définie par : $B(x)=-2x^2+68x-240$.
    $\quad$
  3. Justifier que, pour tout réel $x\in[0;34], B(x)=(-2x+8)(x-30)$.
    $\quad$
  4. Etudier le signe de $B(x)$, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 34]$, et en déduire la quantité d’extrait de parfum à produire et à vendre pour que l’entreprise ne travaille pas à perte.
    $\quad$
  5. Déterminer le montant, en euros, du bénéfice maximal que peut réaliser l’entreprise en vendant cet extrait de parfum.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $C(6)=384$
    Le coût de production de $6$ hectolitres est de $38~400$ euros.
    $6\times 80=480$.
    La recette réalisée par l’entreprise est alors de $48~000$ euros.
    $\quad$
    b. La recette est supérieure aux coût quand l’entreprise produit et vend $6$ hectolitres d’extrait de parfum par mois. Elle réalise donc un bénéfice.
    $\quad$
  2. Le bénéfice réalisé pour la vente de $x$ hectolitres est :
    $\begin{align*}B(x)&=80x-C(x)\\
    &=80x-2x^2-12x-240\\
    &=-2x^2+68x-240\end{align*}$
    $\quad$
    $\quad$
  3. Pour tout $x\in [0;34]$ on a :
    $\begin{align*} (-2x+8)(x-30)&=-2x^2+60x+8x-240\\
    &=-2x^2+68x-240\\
    &=B(x)\end{align*}$
    $\quad$
  4. $B(x)$ est un polynôme du second degré dont les racines, d’après l’expression de la question précédente, sont $4$ et $30$. Son coefficient principal est $a=-2<0$.
    Par conséquent :
    – $B(x)>0$ sur $]4;30[$;
    – $B(4)=B(30)=0$;
    – $B(x)<0$ sur $[0;4[\cup]30;34]$.
    L’entreprise doit donc produire et vendre entre $4$ et $30$ hectolitre d’extrait de parfum pour réaliser un bénéfice.
    $\quad$
  5. Le maximum de $B$ est atteint pour $x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{68}{4}=17$.
    $B(17)=338$
    Le bénéfice maximal que l’entreprise peut réaliser est donc égal à $33~800$ euros.
    $\quad$

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$\quad$

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