E3C – Fonctions

Séries technologiques

Suite à une épidémie dans une région, le nombre de personnes malades $t$ jours après l’apparition des premiers cas est modélisé par $f(t)=45t^2-t^3$ pour tout $t$ appartenant à
$[0 ; 45]$.

Déterminer le nombre de personnes malades prévu par ce modèle au bout de $20$ jours.
$\quad$
Montrer que, pour tout 𝑡 appartenant à $[0 ; 45]$, $f'(t)=3t(30-t)$.
$\quad$
Déterminer le signe de $f'(t)$ sur $[0 ; 45]$.
$\quad$
Dresser le tableau de variation de $f$ sur l’intervalle $[0 ; 45]$.
$\quad$
Déterminer le jour où le nombre de personnes malades est maximal durant cette période de $45$ jours et préciser le nombre de personnes malades ce jour-là.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$f(20)=45\times 20^2-20^3=10~000$
Au bout de $20$ jours il y aura donc $10~000$ malades selon ce modèle.
$\quad$
Pour tout $t\in [0;45]$ on a :
$\begin{align*} f'(t)&=45\times 2t-3t^2\\
&=90t-3t^2\\
&=3t(30-t)\end{align*}$
$\quad$
$3t=0 \ssi t=0$ et $3t>0 \ssi t>0$
$30-t=0\ssi t=30$ et $30-t>0 \ssi t<30$.
On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :

$\quad$
Voir tableau précédent
$\quad$
D’après le tableau de variations la fonction $f$ atteint son maximum pour $t=30$.
Le nombre de malades est maximal au bout de $30$ jours. Il y a alors $13~500$ malades ce jour-là.
$\quad$

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$\quad$

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