E3C – Fonctions

Séries technologiques

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-2 ; 6]$ dont la
courbe représentative $C_f$ est donnée ci-dessous.

On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2 ; 6]$.

On considère les points $A(0 ; 30)$, $B(2 ; 14)$, $D(4 ; -10)$
et $E(4 ; -2)$. $A$, $B$ et $E$ sont trois points de la courbe $C_f$.

La droite $(BD)$ est la tangente à la courbe $C_f$ au point $B$.

Les tangentes à la courbe $C_f$ aux points $A$ et $E$ sont parallèles à l’axe des abscisses.

À l’aide des informations précédentes, recopier sur votre feuille le tableau ci-dessous en le complétant :
$\quad$
Donner le nombre de solutions de l’équation $f(x)=0$.
$\quad$
Lire graphiquement la valeur de $f'(2)$.
$\quad$
Parmi les courbes suivantes, une seule représente la fonction dérivée $f’$. Laquelle ? Justifier la réponse.

$\quad$
Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $5$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient le tableau de variations suivant :

$\quad$
La courbe coupe $3$ fois l’axe des abscisses.
L’équation $f(x)=0$ possède donc $3$ solutions.
$\quad$
$f'(2)$ est le coefficient directeur de la droite $(BD)$.
Par conséquent
$\begin{align*} f'(2)&=\dfrac{-10-14}{4-2}\\
&=-12\end{align*}$
$\quad$
Le tableau de signe de $f'(x)$ n’est pas cohérent avec la proposition 2.
D’après la question précédente $f'(2)=-12$.
C’est la courbe de la proposition 1 qui représente la fonction $f’$.
$\quad$
D’après la courbe représentant la fonction $f’$ on lit $f'(5)=15$.
D’après la courbe représentant la fonction $f$ on lit $f(5)=5$.
Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $5$ est $y=15(x-5)+5$ soit $y=15x-70$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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