E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

En 2021, une entreprise compte produire au plus $60~000$ téléphones portables pour la France et les vendre $800$ € l’unité. On suppose que tous les téléphones produits sont vendus.

Le coût de production, en euros, est modélisé par la fonction $C$ définie sur $[0 ; 60~000]$ par : $$C(x) = 0,01x^2 + 250x + 2~500~000$$
où $x$ représente le nombre de téléphones fabriqués et vendus.

  1. a. Calculer $C(7~500)$. Interpréter le résultat obtenu.
    $\quad$
    b. Calculer le montant de la recette, en euros, que rapporte la vente de $7~500$ téléphones.
    En déduire le montant du bénéfice, en euros, pour $7~500$ téléphones vendus.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout $x\in [0 ; 60~000]$, le bénéfice, en euros, est défini par : $$B(x) = -0,01?^2 + 550?-2~ 500~000$$
    où $x$ représente le nombre de téléphone fabriqués et vendus.
    $\quad$
  3. a. Étudier les variations de la fonction $B$ sur $[0 ; 60~000]$.
    $\quad$
    b. En déduire le nombre de téléphone que l’entreprise doit produire pour réaliser un bénéfice maximal. Donner la valeur ce bénéfice en euros.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $C(7~500)=4~967~500$
    Le coût de production de $7~500$ téléphones s’élèvent à $4~967~500$ €.
    $\quad$
    b. La recette est alors $7~500\times 800=6~000~000$ €.
    $\quad$
  2. Pour tout $x\in[0;60~0000]$ on a :
    $\begin{align*} B(x)&=800x-C(x)\\
    &=800x-0,01x^2-250x-2~500~000\\
    &=-0,01x^2+550x-2~500~000\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. $B(x)$ est un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=-0,01<0$.
    Le maximum est atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}=27~500$.
    Ainsi la fonction $B$ est strictement croissante sur $[0;27~500]$ et strictement décroissante sur $[27~500;60~000]$.
    $\quad$
    b. Le bénéfice maximal est donc réalisé quand l’entreprise produit et vend $27~500$ téléphones.
    Le bénéfice maximal vaut alors $B(27~500)=5~062~500$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence