E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Lors d’une épidémie observée sur une période de onze jours, un institut de veille sanitaire a étudié l’évolution du nombre de personnes malades.
La durée, écoulée à partir du début de la période, est exprimée en jours. Elle est notée $t$.
On modélise le nombre de cas grâce à la fonction $f$, où $f(t)$ représente le nombre personnes malades, en milliers, à l’instant $t$.
Soit $f’$ la fonction dérivée de $f$. Le nombre $f'(t)$ représente la vitesse d’évolution de la maladie, $t$ jours après l’apparition des premiers cas.

On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$, définie sur l’intervalle $[0 ; 11]$. La droite $\mathcal{T}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $0$ et passe par le point $A$ de coordonnées $(4 ; 45)$.

  1. a. Déterminer par lecture graphique $f'(0)$.
    $\quad$
    b. En déduire l’équation réduite de la tangente $\mathscr{T}$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[0 ; 11]$ par :
    $$f(t)=-t^3+\dfrac{21}{2}t^2+\dfrac{45}{4}t$$
    a. Calculer $f'(t)$ pour tout $t$ dans l’intervalle $[0 ; 11]$.
    $\quad$
    b. On admet que , pour tout $t$ dans l’intervalle $[0 ; 11]$,
    $$f'(t)=-3\left(t+\dfrac{1}{2}\right)\left(t-\dfrac{15}{2}\right)$$
    Étudier le signe de $f'(t)$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[0 ; 11]$.
    $\quad$
    c. Retrouver par le calcul l’équation réduite de la tangente $\mathscr{T}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $f'(0)$ est le coefficient directeur de $\mathcal{T}$.
    Ainsi $f'(0)=\dfrac{45-0}{4-0}=11,25$.
    $\quad$
    b. Une équation de $\mathscr{T}$ est $y=11,25x$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout $t\in[0;11]$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=-3t^2+\dfrac{21}{2}\times 2t+\dfrac{45}{4}\\
    &=-3t^2+21t+\dfrac{45}{4}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Sur $[0;11]$ on a $t+\dfrac{1}{2}>0$
    $t-\dfrac{15}{2}=0\ssi t=\dfrac{15}{2}$ et $t-\dfrac{15}{2}>0\ssi t>\dfrac{15}{2}$
    On obtient ainsi le tableau de signes et de variations suivant :
    $\quad$
    c. $f'(0)=\dfrac{45}{4}$ et $f(0)=0$
    L’équation réduite de $\mathcal{T}$ est $y=f'(0)(x-0)+f(0)$ soit donc $y=\dfrac{45}{4}x$ ou encore $y=11,25x$.
    $\quad$

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$\quad$

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