E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise produit et vend des courgettes. Elle a la capacité de produire entre $0$ et $16$ tonnes.
On note $C(x)$ le coût de production, exprimé en euros, de $x$ tonnes de courgettes.
La fonction $C$ est donc définie sur $[0 ; 16]$ et elle est donnée par : $$C(x)=x^3-15x^2+78x-650$$

Chaque tonne de courgettes est vendue $150$ euros.

On rappelle que le bénéfice correspond à la différence entre la recette et le coût de production.

  1. Vérifier que le bénéfice $B(x)$ s’exprime par : $B(x)=-x^3+15x^2+72x+650$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $B$ est dérivable sur $[0; 16]$ et on note $B’$ sa dérivée.
    Déterminer $B'(x)$.
    $\quad$
  3. Montrer que $B'(x)=-3(x+2)(x-12)$ pour $x$ appartenant à $[0 ; 16]$.
    $\quad$
  4. À l’aide d’un tableau de signes, étudier le signe de $B'(x)$ sur l’intervalle $[0 ; 16]$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $B$ sur $[0 ; 16]$.
    $\quad$
  5. Quelle quantité de courgettes l’entreprise doit-elle produire et vendre pour avoir un bénéfice maximal ? Quel est alors ce bénéfice ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout $x\in[0;16]$ on a :
    $\begin{align*} B(x)&=150x-C(x)\\
    &=150x-x^3+15x^2-78x+650\\
    &=-x^3+15x^2+72x+650\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout $x\in[0;16]$ on a :
    $\begin{align*} B'(x)&=-3x^2+15\times 2x+72\\
    &=-3x^2+30x+72\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout $x\in[0;16]$
    $\begin{align*} -3(x+2)(x-12)&=-3\left(x^2-12x+2x-24\right)\\
    &=-3\left(x^2-10x-24\right)\\
    &=-3x^2+30x+72\\
    &=B'(x)\end{align*}$
    $\quad$
  4. $x+2>0$ sur $[0;16]$
    $x-12=0\ssi x=12$ et $x-12>0\ssi x>12$.
    On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :

    $\quad$
  5. D’après le tableau précédent, l’entreprise soit produire et vendre $12$ tonnes de courgettes pour réaliser un bénéfice maximal qui est $1~946$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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