E3C – Fonctions

Séries technologiques

On a observé sur $5$ ans que la note sur $20$, notée $f(x)$, d’un service au bout de $x$ année(s) est donnée par $f(x)=x^3-6x^2+9x$.
Par exemple, puisque $f(4,5)=4,5^3-6\times 4,5^2+9\times 4,5=10,125$, le service obtient au bout de $4$ ans et demi la notre de $10,125$ sur $20$.

a. Quelle note le service obtient-il au bout d’une année ?
$\quad$
b. Justifier que le service donne pleine satisfaction au bout des $5$ années.
$\quad$
a. Calculer $f'(x)$ sous forme développée.
$\quad$
b. Montrer que $f'(x)=3(x-1)(x-3)$.
$\quad$
c. Dresser, sans justifier, le tableau de variations de $f$ sur l’intervalle $[0;5]$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On a $f(1)=1-6+9=4$.
Le service obtient au bout d’une année la note de $4$ sur $20$.
$\quad$
b. $f(5)=5^3-6\times 5^2+9\times 5=20$.
Le service donne pleine satisfaction au bout des $5$ années.
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ positif on a :
$\begin{align*} f'(x)&=3x^2-6\times 2x+9x\\
&=3x^2-12x+9x\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ positif on a :
$\begin{align*} 3(x-1)(x-3)&=3\left(x^2-3x-x+3\right)\\
&=3\left(x^2-4x+3\right)\\
&=3x^2-12x+9\\
&=f'(x)\end{align*}$
$\quad$
c. On a $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
$x-3=0 \ssi x=3$ et $x-3>0 \ssi x>3$
On obtient donc le tableau de variations suivant :

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence