E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une société d’autoroute s’intéresse à l’affluence quotidienne de véhicules au niveau d’un péage.
Des observations menées entre $14$h et $23$h aboutissent au nuage de points ci-dessous représentant le nombre de véhicules présents au péage selon l’heure d’observation.

  1. Pourquoi semble-t-il pertinent de modéliser l’affluence au péage en fonction du temps par une fonction polynôme du second degré ?

Pour la suite, on décide de modéliser le nombre de véhicules présents au péage en fonction de l’heure de la journée $t$, par la fonction définie sur l’intervalle $[14 ; 23]$ par : $$f(t) = -2t^2+74t-600$$

  1. Selon ce modèle, combien de voitures seront présentes au péage à $20$h$00$ ?
    $\quad$
  2. Toujours selon ce modèle, à quelle heure de la demi-journée l’affluence au péage sera–t-elle maximale ? Quel sera alors le nombre de voitures présentes au péage ?

Pour l’affluence du début de journée (entre $t = 0$ et $t = 12$), le modèle choisi est la fonction $g$ définie sur $[0 ; 12]$ par $g(t) = -0,3t^3+5,2t^2-17,3t+18,6$ dont la courbe est fournie en annexe.
Le responsable du péage sait que lorsque l’affluence dépasse $40$ véhicules, il lui est nécessaire pour fluidifier le trafic, d’ouvrir toutes les voies de paiement.

  1. À quelle heure, à $10$ minutes près, l’affluence est-elle maximale en début de journée ? Combien de véhicules sont présents au péage à cet instant ?
    $\quad$
  2. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, la tranche horaire durant laquelle toutes les voies doivent être ouvertes.
    $\quad$

Annexe

Le graphique original ne correspondait à la fonction donnée. 

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Les points du graphique semblent être placés sur une parabole. Il semble donc judicieux de modéliser l’affluence au péage par une fonction polynôme du second degré.
    $\quad$
  2. $f(20)=80$
    Selon ce modèle, $80$ voitures seront présentes au péage à $20$h$00$.
    $\quad$
  3. Le coefficient principal de la fonction $f$ est $a=-2<0$.
    La fonction $f$ admet donc un maximum atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}=18,5$.
    $f(18,5)=84,5$
    Selon ce modèle, l’affluence au péage sera maximale à $18$h$30$. Environ $85$ voitures seront alors présentes au péage.
    $\quad$
  4. D’après le graphique, l’affluence semble être maximale à environ $9$h$30$.
    Il y a alors environ $66$ voitures au péage à cet instant.
    $\quad$
  5. D’après le graphique, il faut ouvrir toutes les voies entre $6$h$15$ et $12$h.
    $\quad$

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$\quad$

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