E3C – Fonctions

Séries technologiques

On veut construire une cuve métallique sans couvercle, à partir d’une plaque carrée de $3$ mètres de côté À chaque coin de la plaque métallique, on découpe un carré de côté $x$ mètres, où $x$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $[0 ; 1,5]$. En pliant et en soudant, on obtient une cuve sans couvercle de volume $V(x)$ exprimé en m$^3$.

a. Montrer que l’aire du carré $ABCD$ représenté sur la figure ci-dessus peut s’écrire sous la forme $(3-2x)^2$.
$\quad$
b. Montrer que le volume $V(x)$ de la cuve, exprimé en m$^3$, peut s’écrire sous la forme $V(x)=4x^3-12x^2+9x$.
$\quad$
On note $V’$ la fonction dérivée de $V$.
a. Calculer $V'(x)$ puis vérifier que $V'(0,5) = 0$ et $V'(1,5)= 0$.
$\quad$
b. En déduire les variations de $V$ sur l’intervalle $[0 ; 1,5]$.
$\quad$
c. Pour quelle valeur de $x$ le volume de la cuve est-il maximal ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On a $AB=(3-x-x)=(3-2x)$.
Par conséquent l’aire du carré $ABCD$ est égale à $(3-2x)^2$.
$\quad$
b. Le volume de la cuve est :
$\begin{align*} V(x)=x\times (3-2x)^2 \\
&=x\left(9-2\times 3\times 2x+(2x)^2\right)\\
&=x\left(9-12x+4x^2\right)\\
&=4x^3-12x^2+9x\end{align*}$
$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} V'(x)&=4\times 3x^2-12\times 2x+9 \\
&=12x^2-24x+9\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} V'(0,5)&=12\times 0,5^2-24\times 0,5+9\\
&=3-12+9\\
&=0\end{align*}$
et
$\begin{align*} V'(1,5)&=12\times 1,5^2-24\times 1,5+9\\
&=27-36+9\\
&=0\end{align*}$
$\quad$
b. $V'(x)$ est un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=12>0$ et dont les racines sont $0,5$ et $1,5$.
Ainsi $V'(x)<0$ sur $]0,5;1,5[$ et $V'(x)>0$ sur $[0;0,5[$
La fonction $V$ est donc croissante sur l’intervalle $[0;0,5]$ et décroissante sur l’intervalle $[0,5;1,5]$.
Elle atteint ainsi son maximum en $0,5$.
Le volume de la cuve est donc maximal quand $x=0,5$.
$\quad$

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