E3C – Séries technologiques – Géométrie repérée – Janvier 2020

E3C – Géométrie repérée

Séries technologiques

La figure donnée en annexe à rendre avec la copie représente une pièce d’une maison.

On considère le repère orthonormé $( O , I , J , K )$ avec $OI = OJ = OK = 1$ unité de longueur $= 35$ cm.

  1. Déterminer la superficie au sol de cette pièce en cm$^2$.
    $\quad$
  2. Le mur $(OIK)$ contient une fenêtre carrée $MNPQ$ avec $M( 6 ; 0 ; 3 )$.
    Donner les coordonnées des points $N$, $P$ et $Q$.
    $\quad$
  3. On place dans cette pièce un bureau contre le mur $(OJK)$ dont le plateau est un rectangle de sommet $A ( 0 ; 6 ; 2 )$ , $B ( 0 ; 10 ; 2 )$ , $C ( 2 ; 10 ; 2 )$ et $D ( 2 ; 6 ; 2 )$.
    Dessiner le plateau de ce bureau sur la figure.
    $\quad$
  4. Le point $E ( 1 ; 8 ; 6 )$ matérialise l’emplacement d’un éclairage.
    Cet éclairage est-il situé au-dessus du centre de la table ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  5. Des rayons lumineux traversent la fenêtre jusqu’au sol.
    Le point $q$ représente le projeté sur le sol du point $Q$ parallèlement au rayon lumineux $(Qq)$.
    Construire les projetés des points $M$, $N$ et $P$ sur le sol puis tracer l’ombre de la fenêtre au sol.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La surface au sol est :
    $\begin{align*} S&=(8\times 35) \times (12\times 35)\\
    &=117~600 \text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $N(3;0;3)$, $P(3;0;6)$ et $Q(6,0,6)$.
    $\quad$
  3. Voir figure plus bas
    Pour placer le point $D$ on trace la parallèle à $(OI)$ et on reporte la longueur $2OI$. On procède de la même manière pour placer le point $C$.
    $\quad$
  4. Le centre de la table est le milieu de $[AC]$.
    Il a pour coordonnées $\left(\dfrac{0+2}{2};\dfrac{6+10}{2};\dfrac{2+2}{2}\right)$ soit $(1;8;2)$.
    Les deux premières coordonnées du point $E$ et du milieu de la table sont donc égales.
    Ainsi l’éclairage est bien situé au-dessus du centre de la table.
    $\quad$
  5. On obtient la figure suivante:

    On utilise le fait que les points de la droite $(OI)$ sont leur propre ombre. On trace ensuite la droite $(Qq)$, sa parallèle passant par $M$. L’image de la droite $(QM)$ passe par le projeté de $Q$ sur $(OI)$ et par $q$. On obtient ainsi le point $m$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence