E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Plusieurs fois par jour, un auxiliaire de puériculture change le nourrisson dont il a la charge en choisissant une couche au hasard, puis prépare un biberon, en utilisant un lait qu’il choisit au hasard également. Le stock de couches est composé de :

  • $50 \%$ de couches de la marque Nouvonez à $0,25$ € l’unité ;
  • $30 \%$ de couches de la marque Supersec à $0,35$ € l’unité ;
  • $20 \%$ de couches de la marque distributeur à $0,15$ € l’unité.

Dans le placard de la cuisine, l’auxiliaire de puériculture dispose de :

  • $60 \%$ de lait Vitamax (le coût du biberon est alors de $0,10$ €) ;
  • $40 \%$ de lait Grandivit (le coût du biberon est alors de $0,15$ €).

Dans tout l’exercice, on appelle séquence l’action de changer le nourrisson, puis de lui donner un biberon.

  1. Construire un arbre illustrant cette séquence.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que, lors d’une séquence, l’auxiliaire de puériculture utilise une couche Nouvonez et le lait Grandivit. Quel est alors le coût d’une telle
    séquence ?
    $\quad$

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque séquence, associe son coût en euro.

  1. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
    $\quad$
  2. Calculer l’espérance de 𝑋 et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

On admet que la probabilité que l’auxiliaire de puériculture utilise la séquence la moins chère est égale à $0,12$. L’auxiliaire de puériculture change et nourrit le nourrisson quatre fois au cours d’une même journée.

  1. Quelle est la probabilité qu’au cours d’une journée l’auxiliaire de puériculture utilise quatre fois la séquence la moins chère pour ce nourrisson ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On considère les événements :
    – $N$ « la couche est de la marque Nouvonez »
    – $S$ « la couche est de la marque Supersec »
    – $D$ « la couche est de la marque distributeur »
    – $V$ « le lait est de la marque Vitamax »
    On obtient alors l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P\left(N \cap \conj{V}\right)&=P(N)\times P_N\left(\conj{V}\right)\\
    &=0,5\times 0,4\\
    &=0,2\end{align*}$
    La probabilité que, lors d’une séquence, l’auxiliaire de puériculture utilise une couche Nouvonez et le lait Grandivit est égale à $0,2$.
    $\quad$
    Le coût est alors égal à $0,25+0,15=0,40$ €.
    $\quad$
  3. $X$ peut prendre les $0,25;0,3;0,35;0,4;0,45;0,5$.
    $P(X=0,25)=P(D\cap V)=0,2\times 0,6=0,12$
    $P(X=0,3)=P\left(D\cap \conj{V}\right)=0,2\times 0,4=0,08$
    $P(X=0,35)=P(N\cap V)=0,5\times 0,6=0,3$
    $P(X=0,4)=P\left(N\cap \conj{V}\right)=0,5\times 0,4=0,2$
    $P(X=0,45)=P(S\cap V)=0,3\times 0,6=0,18$
    $P(X=0,5)=P\left(S\cap \conj{V}\right)=0,3\times 0,4=0,12$
    $\quad$
  4. L’espérance est :
    $\begin{align*} E(X)&=0,25\times 0,12+0,3\times 0,08+0,35\times 0,3\\
    &\phantom{=}+0,4\times 0,2+0,45\times 0,18+0,5\times 0,12 \\
    &=0,38\end{align*}$
    En moyenne une séquence coûte $0,38$ €.
    $\quad$
  5. La probabilité que l’auxiliaire de puériculture utilise quatre fois la séquence la moins chère est : $p=0,12^4=0,000~207~36$.
    $\quad$

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$\quad$

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