E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Une entreprise pharmaceutique souhaite commercialiser un test de dépistage d’une maladie infectieuse. Elle réalise une étude portant sur un échantillon représentatif de $2~000$ personnes ayant subi le test et qui vivent dans un territoire victime d’une épidémie de cette maladie.

Les résultats de cette étude sont les suivants :

  • $15\%$ des tests sont positifs
  • $85\%$ des tests sont négatifs.

Parmi les personnes qui ont un test positif, $98\%$ développent la maladie et $2\%$ sont sains.

Parmi les personnes dont le test est négatif, $1\%$ développe la maladie et $99\%$ sont sains.

  1. Montrer que la proportion de personnes de l’échantillon dont le test est positif et qui sont sains est égale à $\dfrac{3}{1~000}$.
    $\quad$
  2. a. Vérifier qu’au total, $311$ personnes de l’échantillon ont développé la maladie.
    $\quad$
    b. En déduire la proportion des personnes qui sont effectivement malades dans cet échantillon.
    $\quad$
  3. En utilisant les questions précédentes, recopier et compléter le tableau à double entrée suivant :
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Test positif (en %)}&\text{Test négatif (en %)}&~~\text{Total}~~\\
    \hline
    \text{Malade (en %)}&&&15,55\\
    \hline
    \text{Sain (en %)}&&&\\
    \hline
    \text{Total(en %)}&15&85&100\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. On choisit une personne au hasard parmi les individus de l’échantillon. Calculer la probabilité que cette personne ait obtenu un test positif sachant qu’elle est effectivement malade.
    $\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. La proportion de personnes de l’échantillon dont le test est positif et qui sont sains est égale à $\dfrac{15}{100}\times \dfrac{2}{100}=\dfrac{3}{1~000}$.
    $\quad$
  2. a. Nombre de personnes ayant un test positif et malades : $2~000\times \dfrac{15}{100}\times \dfrac{98}{100}=294$
    Nombre de personnes ayant un test négatif et malades : $2~000\times \dfrac{85}{100}\times \dfrac{1}{100}=17$
    Par conséquent $294+17=311$ sont malades.
    $\quad$
    b. La proportion des personnes effectivement malades dans cet échantillon est $\dfrac{311}{2~000}=0,155~5$ soit $15,55\%$.
    $\quad$
  3. On obtient donc le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Test positif (en %)}&\text{Test négatif (en %)}&~~\text{Total}~~\\
    \hline
    \text{Malade (en %)}&14,7&0,85&15,55\\
    \hline
    \text{Sain (en %)}&0,3&84,15&84,45\\
    \hline
    \text{Total(en %)}&15&85&100\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. $\dfrac{14,7}{15,55}=\dfrac{294}{311}$
    La probabilité que cette personne ait obtenu un test positif sachant qu’elle est effectivement malade est égale à $\dfrac{294}{311}$.
    $\quad$

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$\quad$

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