E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

L’annexe est à rendre avec la copie.

Le tableau incomplet, en annexe, donne le nombre de salariés en France, en milliers, selon la catégorie et le type de contrôle de l’entreprise en 2015.

On peut traiter les questions 1. et 2. de façon indépendante.

  1. a. En 2015, $66,8 \%$ des salariés des ETI (entreprises de taille intermédiaire) font partie d’un groupe français.
    Calculer le nombre de salariés des ETI de groupes français.
    $\quad$
    b. Compléter le tableau donné en annexe en arrondissant les résultats au millier près.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard un salarié en 2015. On considère les événements suivants :
    $F$ : « le salarié fait partie d’un groupe français » ;
    $M$ : « le salarié fait partie d’une PME ».
    Dans cette question, les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-2}$.
    a. Calculer $P(F)$ et $P(M)$.
    $\quad$
    b. Calculer $P(F\cap M)$ et interpréter, dans le contexte de l’exercice, cette probabilité.
    $\quad$
    c. Calculer $P_M(F)$ et interpréter, dans le contexte de l’exercice, cette probabilité.
    $\quad$

Annexe

$$\begin{array}{r}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&\begin{array}{c}\textbf{Unités}\\\textbf{légales hors}\\\textbf{groupes}\end{array}&\begin{array}{c}\textbf{Groupes}\\\textbf{français}\end{array}&\begin{array}{c}\textbf{Sous}\\\textbf{contrôle}\\\textbf{d’un groupe}\\\textbf{étranger}\end{array}&\textbf{Total}\\
\hline
\begin{array}{c}\textbf{Grandes entreprise}\\\textbf{(GE)}\end{array}&0&&&4~235\\
\hline
\begin{array}{c}\textbf{Entreprises de taille}\\\textbf{intermédiaire (ETI)}\end{array}&154&&&3~657\\
\hline
\begin{array}{c}\textbf{Petites et moyennes}\\\textbf{entreprises (PME)}\\\textbf{hors mircroentreprises}\end{array}&1~669&2~255&335&4~259\\
\hline
\begin{array}{c}\\\textbf{Microentreprises (MIC)}\\\end{array}&2~549&177&20&2~745\\
\hline
\begin{array}{c}\\\textbf{Total}\\\end{array}&4~373&8~477&2~047&14~897\\
\hline
\end{array}\\
\textit{Source : INSEE 2015}\end{array}$$

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $\dfrac{66,8}{100}\times 3~657=2~442,876$
    $2~442~876$ salariés des ETRI font partie d’un groupe français.
    $\quad$
    b. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{r}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\begin{array}{c}\textbf{Unités}\\\textbf{légales hors}\\\textbf{groupes}\end{array}&\begin{array}{c}\textbf{Groupes}\\\textbf{français}\end{array}&\begin{array}{c}\textbf{Sous}\\\textbf{contrôle}\\\textbf{d’un groupe}\\\textbf{étranger}\end{array}&\textbf{Total}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\textbf{Grandes entreprise}\\\textbf{(GE)}\end{array}&0&3~602&633&4~235\\
    \hline
    \begin{array}{c}\textbf{Entreprises de taille}\\\textbf{intermédiaire (ETI)}\end{array}&154&2~443&1~060&3~657\\
    \hline
    \begin{array}{c}\textbf{Petites et moyennes}\\\textbf{entreprises (PME)}\\\textbf{hors mircroentreprises}\end{array}&1~669&2~255&335&4~259\\
    \hline
    \begin{array}{c}\\\textbf{Microentreprises (MIC)}\\\end{array}&2~549&177&20&2~745\\
    \hline
    \begin{array}{c}\\\textbf{Total}\\\end{array}&4~373&8~477&2~047&14~897\\
    \hline
    \end{array}\\
    \textit{Source : INSEE 2015}\end{array}$$
    Remarque : du fait des arrondis plusieurs lignes et colonnes ne fournissent exactement pas le total annoncé.
    $\quad$
  2. a. $P(F)=\dfrac{8~477}{14~897}\approx 0,57$
    $P(M)=\dfrac{4~259}{14~897}\approx 0,29$
    $\quad$
    b. $P(F\cap M)=\dfrac{2~255}{14~897}\approx 0,15$
    La probabilité qu’un salarié fasse partie d’une PME française est environ égale à $15\%$.
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} P_M(F)&=\dfrac{P(F\cap M)}{P(M)}\\
    &=\dfrac{2~255}{4~259} \\
    &\approx 0,53\end{align*}$
    La probabilité qu’un salarié fasse partie d’un groupe français sachant qu’il fait partie d’une PME est environ égale à $0,53$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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