Repérage dans le plan

I Définitions

Définition 1 :

Pour définir un repère d’un plan, il suffit de fournir trois points non alignés $O$, $I$ et $J$. On note alors ce repère $(O;I,J)$. L’ordre dans lequel les points sont écrits est important.
Si les droites $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires, le repère $(O;I,J)$ est dit orthogonal.
Si le repère $(O;I,J)$ est orthogonal et que $OI = OJ$ alors le repère est dit orthonormé.

Définition 2 : On considère le repère $(O;I,J)$.

Le point $O$ est appelé l’origine du repère.
La droite $(OI)$ est appelé l’axe des abscisses. La longueur $OI$ est la longueur unité de cet axe.
La droite $(OJ)$ est appelé l’axe des ordonnées. La longueur $OJ$ est la longueur unité de cet axe.

2nd - cours - repérage dans le plan - fig1

Repère orthonormé

$\quad$

2nd - cours - repérage dans le plan - fig1bis

Repère orthogonal

Remarque 1 : Puisque la longueur $OI$ est la longueur unité de l’axe des abscisse, cela signifie donc que $OI = 1$. C’est évidemment valable pour les autres axes.

Remarque 2 : Les axes ne sont pas nécessairement perpendiculaires en général mais le seront très souvent en 2nd.

Définition 3 : Soit $M$ un point du plan muni d’un repère $(O;I,J)$. On construit le parallélogramme $OM_xMM_y$ tel que :

$M_x \in (OI)$
$M_y \in (OJ)$

On note alors $x_M = OM_x$ et $y_M = OM_y$.
Le couple $\left(x_M,y_M\right)$ est appelé coordonnées du point $M$.

$x_M$ est l’abscisse du point $M$ et $y_M$ est l’ordonnée du point $M$. Le couple ainsi défini est unique.

Exemple :

Les coordonnées de :

$A$ sont $(4;2)$ et on note $A(4;2)$
$B$ sont $(-2;1)$ et on note $B(-2;1)$
$C$ sont $(1;-2)$ et on note $C(1;-2)$
$D$ sont $(-1;-3)$ et on note $D(-1;-3)$

Remarque 1 : La première coordonnée donnée correspond toujours à celle lue sur l’axe des abscisses et la seconde à celle lue sur l’axe des ordonnées.
Ainsi l’abscisse de $A$ est $4$ et son ordonnée est $2$.

Remarque 2 : On a ainsi $O(0;0)$, $I(1;0)$ et $J(0;1)$

Propriété 1 : On considère deux points $A$ et $B$ d’un plan muni d’un repère $(O;I,J)$.
Ces deux points sont confondus si, et seulement si, leurs coordonnées respectives sont égales.

II Milieu d’un segment

Propriété 2 : On considère deux points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$ du plan muni d’un repère $(O;I,J)$. On appelle $M$ le milieu du segment $[AB]$.

Les coordonnées de $M$ sont alors $\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}$.

Exemple 1 : Dans le repère $(O;I,J)$ on considère $A(4;-1)$ et $B(1;2)$. Ainsi les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$ sont :
$\begin{cases} x_M = \dfrac{4 + 1}{2} = \dfrac{5}{2}\\\\y_M = \dfrac{-1 + 2}{2} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$

Exemple 2 : On utilise la formule pour retrouver les coordonnées de $A$ connaissant celles de $M$ et de $B$.

On considère les points $B(2;-1)$ et $M(1;3)$ du plan muni d’un repère $(O;I,J)$.
Soit $A\left(x_A,y_A\right)$ le point du plan tel que $M$ soit le milieu de $[AB]$.

On a ainsi : $\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}$

On remplace les coordonnées connues par leur valeurs : $\begin{cases} 1 = \dfrac{x_A+2}{2} \\\\3 = \dfrac{y_A-1}{2} \end{cases}$

On résout maintenant chacune des deux équations. Pour cela on multiplie chacun des membres par $2$.
$\begin{cases} 2 = x_A + 2 \\\\ 6 = y_A – 1 \end{cases}$

Par conséquent $x_A = 0$ et $y_A = 7$.
Ainsi $A(0;7)$.

On vérifie sur un repère que les valeurs trouvées sont les bonnes.

Remarque 1 : Cette propriété est valable dans tous les repères, pas seulement dans les repères orthonormés.

Remarque 2 : Cette propriété sera très utile pour montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme ou pour déterminer les coordonnées du quatrième sommet d’un parallélogramme connaissant celles des trois autres.

Fiche méthode 1 : Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Fiche méthode 2 : Déterminer les coordonnées du 4ème sommet d’un parallélogramme

III Longueur d’un segment

Propriété 3 : Dans un plan munit d’un repère orthonormé $(O;I,J)$, on considère les points $A\left(x_A,y_A\right)$ et $B\left(x_B,y_B\right)$.
La longueur du segment $[AB]$ est alors définie par $AB = \sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2}$.

Exemple : Dans un repère orthonormé $(O;I,J)$ on considère les points $A(4;-1)$ et $B(2;3)$.
On a ainsi :
$$\begin{align*} AB^2 &= \left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2 \\\\
&= (2 – 4)^2 + \left(3 – (-1)\right)^2 \\\\
&= (-2)^2 + 4^2 \\\\
&= 4 + 16 \\\\
&= 20 \\\\
AB &= \sqrt{20}
\end{align*}$$

Remarque 1 : Il est plus “pratique”, du fait de l’utilisation de la racine carrée, de calculer tout d’abord $AB^2$ puis ensuite $AB$.

Remarque 2 : Cette propriété n’est valable que dans un repère orthonormé.

Fiche méthode 3 : Déterminer la nature d’un triangle

$\quad$

Les autres cours de 2nd sont ici.