Dénombrement 2 – Spécialité mathématiques

Dénombrement

Exercice 1

On lance une pièce de monnaie $10$ fois de suite.
Combien y a-t-il d’issues distinctes? (la pièce ne tombe jamais sur la tranche).

$\quad$

Correction Exercice 1

Il s’agit d’une $10$-liste d’un ensemble à $2$ éléments.
Il y a donc $2^{10}=1~024$ issues distinctes.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

  1. Combien peut-on former d’anagrammes du mot MARE ( ayant un sens ou non ) ?
    Rappel : Un anagramme est un mot formé des mêmes lettres réparties dans un ordre différent, par ex. RAME, AMER, ARME…
    $\quad$
  2. Combien commencent par une voyelle ?

$\quad$

Correction Exercice 2

  1. Il s’agit ici de compter le nombre de permutations d’un ensemble à $4$ éléments distincts.
    Il y a donc $4!=24$ anagrammes du mot MARE.
    $\quad$
  2. Il y a deux choix possible pour la première lettre. Il y a ensuite $3!$ permutations possibles des lettres restantes pour chacune de ces lettres.
    $2\times 3!=12$ anagrammes de MARE commencent par une voyelle.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Julie se souvient des $4$ chiffres ( $1$, $3$, $7$, $8$) qui composent le code de sa carte bancaire mais a oublié l’ordre de ces chiffres.

  1. Combien y a-t-il de codes possibles?
    $\quad$
  2. Elle se rappelle que le $8$ est en deuxième position.
    Combien y a-t-il alors de codes possibles?

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. Il s’agit de compter le nombre de permutations d’un ensemble à $4$ éléments.
    Il y a donc $4!=24$ codes possibles.
    $\quad$
  2. Le chiffre $8$ étant fixé il reste à placer $3$ chiffres. Il y a donc $3!=6$ codes possibles.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On lance un dé cubique $4$ fois de suite. Combien peut-on obtenir de suites distinctes de $4$ chiffres?

$\quad$

Correction Exercice 4

Il s’agit de dénombrer le nombre de $4$-listes d’un ensemble à $6$ éléments.
On peut donc obtenir $6^4=1~296$ suites distinctes de $4$ chiffres.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Simplifier au maximum les expressions suivantes:

$A=\dfrac{3}{5!\times 3!}+\dfrac{4}{7!}$

$B=\dfrac{n!}{(n-1)!}$

$C=\dfrac{2}{n!}+\dfrac{2}{(n+2)!}+\dfrac{2}{(n+1)!}$

$D=\dfrac{12!}{10!2!}$

$E=\dfrac{6\times 8!}{6!}$

$F=\dfrac{8!}{(4!)^2}$

$G=\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}$

$H=\dfrac{(2n+1)!}{(2n)!}$

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*}A&=\dfrac{3}{5!\times 3!}+\dfrac{4}{7!}\\
&=\dfrac{1}{2\times 5!}+\dfrac{4}{7!} \\
&=\dfrac{6\times 7+2\times 4}{2\times 7!}\\
&=\dfrac{50}{2\times 7!} \\
&=\dfrac{25}{7!}
\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*} B&=\dfrac{n!}{(n-1)!} \\
&=\dfrac{n\times(n-1)!}{(n-1)!} \\
&=n
\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*}C&=\dfrac{2}{n!}+\dfrac{2}{(n+2)!}+\dfrac{2}{(n+1)!} \\
&=\dfrac{2\left((n+1)(n+2)+1+(n+2)\right)}{(n+2)!} \\
&=\dfrac{2\left(n^2+3n+2+1+n+2\right)}{(n+2)!} \\
&=\dfrac{2\left(n^2+4n+5\right)}{(n+2)!}\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*}D&=\dfrac{12!}{10!2!} \\
&=\dfrac{12\times 11\times 10!}{10!\times 2} \\
&=6\times 11\\
&=66\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*} E&=\dfrac{6\times 8!}{6!} \\
&=\dfrac{6\times 8\times 7\times 6!}{6!} \\
&=6\times 7\times 8\\
&=336\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*} F&=\dfrac{8!}{(4!)^2} \\
&=\dfrac{8\times 7\times 6\times 5\times 4!}{(4\times 3\times 2\times 4!} \\
&=2\times 7\times 5\\
&=70\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*}G&=\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!} \\
&=\dfrac{(n+1)n\times (n-1)!}{(n-1)!} \\
&=n(n+1) \end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*}H&=\dfrac{(2n+1)!}{(2n)!} \\
&=\dfrac{(2n+1)\times (2n)!}{(2n)!} \\
&=2n+1\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$