Dénombrement – Spécialité mathématiques

Dénombrement

Exercice 1

Un restaurateur propose un menu composé d’une entrée, d’un plat principal et d’un dessert. Il y a, au choix, $2$ entrées, $3$ plats principaux et $4$ desserts.
Combien peut-on composer de menus différents?

$\quad$

Correction Exercice 1

Il y a $2\times 3\times 4 =24$ menus différents.

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Exercice 2

Une urne contient $12$ boules sur lesquelles on a inscrit les lettres de l’alphabet de A à L.
On tire successivement et sans remise $5$ boules et on inscrit dans l’ordre les lettres portées par les boules tirées.
Combien de mots de $5$ lettres peut on former?

$\quad$

Correction Exercice 2

On a $12$ choix pour la première lettre, $11$ pour la deuxième, $10$ pour la troisième, …
Il existe donc $12\times 11\times 10\times 9\times 8=95~040$ mots de $5$ lettres.
Il ‘agit du nombre d’arrangements de $5$ éléments d’un ensemble à $12$ éléments.

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Exercice 3

Une chaîne de télévision organise un concours de chanteurs avec $15$ candidats pour la finale. Seuls les trois premiers sont classés et gagnent des cadeaux.

  1. Combien y a-t-il de classements possibles?
    $\quad$
  2. La nièce du producteur participe au concours et il s’arrange pour qu’elle finisse deuxième.
    Combien y a-t-il alors de classements possibles?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. Il y a $15\times 14\times 13=2~730$ classements possibles.
    $\quad$
  2. On a $14$ choix possibles pour la première place et $13$ pour la troisième. Cela fait donc $14\times 13=182$ classements possibles.
    $\quad$

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Exercice 4

On réunit $4$ personnes qui écrivent les uns après les autres leurs mois de naissance. Combien y a-t-il de résultats possibles?

$\quad$

Correction Exercice 4

Il y a $12^4=20~736$ résultats possibles.
C’est une $4$-liste d’un ensemble à $12$ éléments.
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Exercice 5

Une plaque minéralogique d’une voiture comporte généralement 2 lettres suivies de 3 chiffres suivis enfin de 2 lettres. On suppose que toutes les lettres et tous les chiffres peuvent être utilisés (ce qui n’est pas le cas dans la pratique pour éviter des confusions).

  1. Combien commencent par la lettre A ?
    $\quad$
  2. Combien contiennent 3 chiffres identiques?
    $\quad$
  3. Combien comportent 2 lettres identiques au début?
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. Il y a $26$ choix possibles pour la 2ème lettre, $10^3$ choix possibles pour les chiffres et enfin $26^2$ choix possibles pour les deux dernières lettres.
    Il y a donc $26\times 10^3\times 26^2=17~576~000$ plaques qui commencent par la lettre $A$.
    $\quad$
  2. Il y a $10$ choix de chiffres et $26^2\times 26^2$ choix possibles pour les lettres.
    Il existe donc $10\times 26^4=4~569~760$ plaques contenant $3$ chiffres identiques.
    $\quad$
  3. Il y a $26$ choix possibles pour le premier couple de lettres, $10^3$ choix possibles pour les chiffres et enfin $26^2$ choix possibles pour les deux dernières lettres.
    Il y a donc $26\times 10^3\times 26^2=17~576~000$ plaques qui comportent $2$ lettres identiques au début.
    $\quad$

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