Amérique du Nord – DNB – Juin 2014

Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet se trouve ici.

Exercice 1

1. Réponse B
   $$\begin{align} \left(\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7} \right) : \dfrac{1}{5} &= \dfrac{5}{7}:\dfrac{1}{5} \\\\
   &= \dfrac{5}{7} \times \dfrac{5}{1} \\\\
   &=\dfrac{25}{7}
   \end{align}$$
2. Réponse B
   Pour calculer le PGCD de $133$ et $84$ on utilise l’algorithme d’Euclide :
   $$\begin{align} 133 &=84 \times 1 +49 \\\\
   84 &= 49 \times 1 + 35 \\\\
   49 &= 35 \times 1 + 14 \\\\
   35 &= 14\times 2 + 7 \\\\
   14 &= 7 \times 2 + 0
   \end{align}$$
   Le PGCD est le dernier reste non nul.
   $~$
3. Réponse A
   $$\begin{align} -3x+5 \ge 9 &\Leftrightarrow -3x \ge 4\\\\
   &\Leftrightarrow x \le \dfrac{4}{-3}
   \end{align}$$
4. Réponse C
   $$\begin{align} \left(1 + \sqrt{2} \right)^2 &= 1^2 + 2\sqrt{2} + \sqrt{2}^2 \\\\
   &= 1 + 2\sqrt{2} + 2 \\\\
   &=3 + 2\sqrt{2}
   \end{align}$$

Exercice 2

Le rayon est $R = \dfrac{16}{2} = 8 \text{ cm}$.

Volume du cylindre : $V_1 = \pi \times 8^2\times 50 = 3200\pi \text{ cm}^3$.
Volume des $2$ demi-boules : $V_2 = \dfrac{4}{3}\pi \times 8^3 = \dfrac{2048\pi}{3} \text{ cm}^3$.

Le volume total est donc :
$$\begin{align} V &= V_1 + V_2 \\\\
&= 3200\pi + \dfrac{2048\pi}{3} \\\\
&= \dfrac{11648\pi}{3} \text{ cm}^3 \\\\
&\approx 12~197,76 \text{cm}^3
\end{align}$$

Exercice 3

1. $\dfrac{240}{8} = 30$. Il faut donc $30$ heures pour effectuer la traversée en péniche sans faire de pause.
   $~$
2. $V_{écluse} = 8,4 \times 30 \times 3 = 756 \text{ m}^3$
   $~$
3. $882 \times \left( 1 +\dfrac{27}{100} \right) = 1120,14 €$
   La location à cette période est donc de $1120,14€$.

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Exercice 4

1. On peut écrire $=L3- B3$
   $~$
2. On obtient alors un dénivelé de $-5,23 – 2,44 = -7,67 \text{ m}$
   $~$
3. Le dénivelé étant négatif, le parcours est descendant.

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Exercice 5

Dans le triangle $ACE$ rectangle en $C$ on applique le théorème de Pythagore :
$$\begin{align} AE^2 &= AC^2 + CE^2 \\\\
56^2 &= 34^2 + CE^2 \\\\
3136 &=1156 + CE^2 \\\\
CE^2 &= 1980 \\\\
CE& = \sqrt{1980} \\\\
CE&\approx 44,50
\end{align}$$
$44 < 44,50 < 46$ : La hauteur du siège est donc bien adaptée.

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Exercice 6

1. Le dé étant équilibré, la probabilité d’obtenir chacune des faces est la même.
   La probabilité d’obtenir “1” est la même que celle d’obtenir “5”.
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2. Il y a $6$ issues possibles pour le dé jaune et $6$ issues également pour le dé rouge. Cela représente donc $6 \times 6 = 36$ issues au total.
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3. Il manque $350$ points à Paul pour gagner. Il ne peut donc gagner qu’en obtenant une paire de “1”, “4”,”5″ ou “6”.
   Cela correspond donc à une probabilité de $\dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}$.

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Exercice 7

1. La vitesse de l’eau s’écoulant par la vantelle à l’instant de son ouverture est :
   $$v = \sqrt{2\times 9,81(4,3 – 1,8)} = \sqrt{49,05} \approx 7 \text{ m.s}^{-1}$$
2. La vitesse sera nulle quand $h-x = 0$ soit $x=h$
   Cela signifie donc que $x = 4,3$ m.
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3. Il suffit de lire sur le graphique l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse $3,4$ : $4,2$
   La vitesse d’écoulement est alors d’environ $4,2 \text{ m.s}^{-1}$.

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Exercice 8

1. Aire de la vantelle : $\pi\times 30^2 = 900\pi \text{cm}^2 = 0,09\pi\text{ m}^2$
   $~$
2. Le débit moyen est donc : $q = 2,8 \times 0,09 \pi = 0,252\pi \approx 0,792 \text{m}^3.\text{s}^{-1}$.
   $~$
3. Le temps de remplissage est alors :
   $$t = \dfrac{756}{0,792} \approx 955 \text{s} $$
   $955 = 15$ minutes $55$ secondes.
   On attendra donc plus de $15$ minutes.

Exercice 9

Le triangle $APB$ est isocèle en $P$. Par conséquent la hauteur $[PH]$ est également une médiane et $H$ est le milieu de $[AB]$.

L’angle $\widehat{HAP} = 90 – 55 = 35°$.

Dans le triangle $APH$ rectangle en $H$ : $\cos 35 = \dfrac{2,9}{AP}$.
Par conséquent $AP = \dfrac{2,9}{\cos 35}$.

La longueur totale des portes est donc : $2 \times \dfrac{2,9}{\cos 35} \approx 7,08\text{ m}$.