Brevet – Amérique du Nord

Mathématiques – Juin 2013 – Correction

Vous pouvez trouver l’énoncé de ce brevet ici.

Exercice 1

1. $1 – \dfrac{1}{9} – \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{9}$. Réponse c $~$
2. Les $34$ tables à $4$ pieds fournissent $4 \times 34 = 136$ pieds. Les tables à $3$ pieds fournissent donc $169 – 136 = 33$ pieds. il y a donc $\dfrac{33}{3} = 11$ tables. Réponse b $~$
3. Soit $h$ la hauteur totale de l’iceberg. On a donc $0,1h=35$ soit $h=\dfrac{35}{0,1} = 350$ m. Réponse a $~$
4. Réponse b $~$

Exercice 2

On appelle $x$ le nombre de billets de $5$ € et $y$ le nombre de billets de $10$ €. On obtient donc le système suivant : $$\left\{ \begin{array}{l} x+y = 21\\\\5x+10y=125 \end{array}\right.$$ Donc $\left\{ \begin{array}{l} x = 21 -y\\\\x+2y=25 \end{array}\right.$ soit $\left\{ \begin{array}{l} x = 21 – y\\\\21 – y+2y=25 \end{array}\right.$ et donc $\left\{ \begin{array}{l} x = 21 – y\\\\y=4 \end{array}\right.$ Finalement $x=17$ et $y=4$. Il y a donc $17$ billets de $5$ € et $4$ de $10$ €.

Exercice 3

1. Prix	Casque $1$	Casque $2$	Casque $3$
   Rollers gris	$132$ €	$109$ €	$116$ €
   Rollers noirs	$144$ €	$121$ €	$128$ €

   Il y a donc $4$ combinaisons sur $6$  pour payer moins de $130$ €. La probabilité est donc de $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ $~$

2. a. $144 \times \left(1 – \dfrac{20}{200} \right) = 115,2$ $~$ b. Après réduction, on a alors $5$ combinaisons permettant de payer moins de $130$ €. La probabilité devient alors $\dfrac{5}{6}$. $~$

 

Exercice 4

1. $\dfrac{1045}{76} = 13,75$. Il est donc impossible de faire $76$ sachets. $~$
2. a. Le nombre de sachets $N$ divise donc le nombre de dragées au chocolat et celui de dragées aux amandes. Donc $N$ divise $760$ et $1045$. De plus, on veut que $N$ soit le plus grand possible. $N$ est par conséquent le PGCD de $760$ et $1045$. On applique l’algorithme d’Euclide : $1045 = 1 \times 760 + 285$ $760 = 2 \times 285 + 190$ $285 = 1\times 190 + 95$ $190 = 2\times 95 + 0$ Le PGCD est le dernier reste non nul. Donc $N = 95$ $~$ b. $\dfrac{760}{95} = 8$ et $\dfrac{1045}{95} = 11$ $~$ On peut donc faire $95$ sachets contenant chacun $8$ dragées au chocolat et $11$ aux amandes.

$~$

Exercice 5

1. $3 \times 4 = 12$. Donc d’après ce que dit Julie $3,5^2 = 12,25$ ce qui est bien le résultat fourni par la calculatrice. $~$
2. $7,5^2 = 7\times 8 + 0,25 = 56,25$ $~$
3. $(n+0,5)^2 = n^2 + 2\times n \times 0,5 + 0,5^2 = n^2 + n + 0,25$ $=n(n+1)+0,25$

$~$

Exercice 6

1. $x$ doit être compris entre $0$ et $20$, les $2$ exclus. $~$
2. La base de la boîte est un carré d’aire $30 \times 30 = 900 \text{ cm}^2$ et la hauteur est de $5 \text{ cm}$. Donc le volume de la boîte est de $5 \times 900 = 4~500 \text{ cm}^3$. $~$
3. a. Graphiquement, le volume est maximal pour $x=6,5$. $~$ b. On trace la droite horizontale d’équation $y=2~000$. Cette droite coupe la courbe en $2$ points d’abscisses $1,5$ et $14$. $~$

Exercice 7

1. Le pentagone est régulier alors $\widehat{AOB} = \dfrac{360}{5} = 72°$ $~$
2. a. Le triangle $AOB$ est isocèle en $O$ puisque les points $A$ et $B$ sont sur le cercle de centre $O$. La hauteur issue de $O$ est donc également la bissectrice de $\widehat{AOB}$, la médiatrice de $[AB]$ et la médiane issue de $O$. $~$ b. Le triangle $AOM$ est rectangle en $M$. Donc $\sin \widehat{AOM} = \dfrac{AM}{AO}$ soit $\sin 36 = \dfrac{AM}{238}$. Par conséquent $AM = 238 \times \sin 36 = 139,89 \approx 140$ m. $~$ c. Le périmètre du Pentagone est donc environ égal à $5 \times 140 \times 2 = 1~400$m $~$

Exercice 8

1. a. $A_{ABCD} = $ Aire du rectangle $-$ aire des $2$ triangles rectangles $~$ b. $AB = 3$ cm donc les bases des $2$ triangles mesurent $1$ et $3$ centimètres. $$A_{ABCD} = 7 \times 3 – \left(\dfrac{1 \times 3}{2} + \dfrac{3 \times 3}{2} \right) = 15 \text{ cm}^2$$ $~$
2. On appelle $b_1$ et $b_2$ les bases des $2$ triangles rectangles (à gauche et à droite du trapèze). Donc : $$A = B \times h~ – \dfrac{b_1 \times h}{2} – \dfrac{b_2 \times h}{2} = \dfrac{(2B – b_1 – b_2)h}{2}$$ $~$ Or $b_1+b+b_2 = B$ donc $A = \dfrac{(B+b)\times h}{2}$.