DNB – Asie – Juin 2015

Asie – Juin 2015

DNB – Mathématiques

La correction de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1  –  5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Une seule d’entre elles est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse exacte.
Une bonne réponse rapporte $1$ point.
Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

  1. L’écriture en notation scientifique du nombre $587~000~000$ est :
    A : $5,87\times 10^{- 8}$
    B : $587 \times 10^6$
    C : $5,87 \times 10^8$
    $\quad$
  2. Si on développe et réduit l’expression $(x + 2)(3x -1)$ on obtient:
    A : $3x^2 + 5x – 2$
    B : $3x^2 + 6x +2$
    C :&$3x^2 – 1$
    $\quad$
  3. Dans un parking il y a des motos et des voitures. On compte $28$ véhicules et $80$ roues. Il y a donc :
    A : $20$ voitures
    B : $16$ voitures
    C :  $12$ voitures
    $\quad$
  4. Le produit de $18$ facteurs égaux à $- 8$ s’écrit:
    A : $- 8^{18}$
    B : $(- 8)^{18}$
    C : $18 \times (- 8)$
    $\quad$
  5. La section d’un cylindre de révolution de diamètre $4$ cm et de hauteur $10$ cm par un plan parallèle à son axe peut être :
    A : un rectangle de dimensions $3$ cm et $10$ cm
    B : un rectangle de dimensions $5$ cm et $10$ cm
    C : un rectangle de dimensions $3$ cm et $8$ cm
    $\quad$

Exercice 2  –  5 points

Julien est en retard pour aller rejoindre ses amis au terrain de basket.
Il décide alors de traverser imprudemment la route du point $J$ au point $F$ sans utiliser les passages piétons.
Le passage piéton est supposé perpendiculaire au trottoir.

DNB - Asie - juin 2015 - ex2

En moyenne, un piéton met $9$ secondes pour parcourir $10$ mètres.

Combien de temps Julien a-t-il gagné en traversant sans utiliser le passage piéton ?
$\quad$

Exercice 3  –  4 points

Un bus transporte des élèves pour une compétition multisports. Il y a là $10$ joueurs de ping-pong, $12$ coureurs de fond et $18$ gymnastes. Lors d’un arrêt, ils sortent du bus en désordre.

  1. Quelle est la probabilité que le premier sportif à sortir du bus soit un joueur de ping-pong ?$\quad$
  2. Quelle est la probabilité que le premier sportif à sortir du bus soit un coureur ou un gymnaste ?
    $\quad$
  3. Après cet arrêt, ils remontent dans le bus et ils accueillent un groupe de nageurs.
    Sachant que la probabilité que ce soit un nageur qui descende du bus en premier est de $1/5$, déterminer le nombre de nageurs présents dans le bus.
    $\quad$

Exercice 4  –  3 points

À la fin d’une fête de village, tous les enfants présents se partagent équitablement les $397$ ballons de baudruche qui ont servi à la décoration. Il reste alors $37$ ballons.

L’année suivante, les mêmes enfants se partagent les $598$ ballons utilisés cette année-là. Il en reste alors $13$.

Combien d’enfants, au maximum, étaient présents ?
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans le notation.

Exercice 5  –  7 points

Un bateau se trouve à une distance $d$ de la plage.

DNB - Asie - juin 2015 - ex5

Supposons dans tout le problème que $\alpha = 45°$, $\beta = 65°$ et que $L = 80$ m.

  1. Conjecturons la distance $d$ à l’aide d’une construction
    Mise au point par Thalès ($600$ avant JC), la méthode dite de TRIANGULATION propose une solution pour estimer la distance $d$.
    a. Faire un schéma à l’échelle $1/1~000$ ($1$ cm pour $10$ m).
    $\quad$
    b. Conjecturer en mesurant sur le schéma la distance $d$ séparant le bateau de la côte.
    $\quad$
  2. Déterminons la distance $d$ par le calcul
    DNB - Asie - juin 2015 - ex5.2
    a. Expliquer pourquoi la mesure de l’angle $\widehat{ACB}$ est de $70°$.$\quad$
    b. Dans tout triangle $ABC$, on a la relation suivante appelée “loi des sinus” :
    $$ \dfrac{BC}{\sin \widehat{A}} = \dfrac{AC}{\sin \widehat{B}} = \dfrac{AB}{\sin \widehat{C}}.$$
    En utilisant cette formule, calculer la longueur $BC$. Arrondir au cm près.
    $\quad$
    c. En déduire la longueur $CH$ arrondie au cm près.
    $\quad$

Exercice 6  –  7 points

Soient les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par :
$$f(x) = 6x \qquad g(x) = 3x^2 – 9x – 7\qquad \text{et} \quad h(x) = 5x – 7.$$

À l’aide d’un tableur, Pauline a construit un tableau de valeurs de ces fonctions.
Elle a étiré vers la droite les formules qu’elle avait saisies dans les cellules $B2$, $B3$ et $B4$.

DNB - Asie - juin 2015 - ex6

  1. Utiliser le tableur pour déterminer la valeur de $h(-2)$.
    $\quad$
  2. Écrire les calculs montrant que : $g(- 3) = 47$.
    $\quad$
  3. Faire une phrase avec le mot “antécédent” ou le mot “image” pour traduire l’égalité $g(- 3) = 47$.
    $\quad$
  4. Quelle formule Pauline a-t-elle saisie dans la cellule $B4$ ?
    $\quad$
  5. a. Déduire du tableau ci-dessus une solution de l’équation ci-dessous :
    $$3x^2 – 9x – 7 = 5x – 7.$$
    $\quad$
    b. Cette équation a-t-elle une autre solution que celle trouvée grâce au tableur ?
    Justifier la réponse.
    Dans cette question, toute trace de recherche, même inaboutie sera prise en compte et valorisée.
    $\quad$

Exercice 7  –  5 points

Un aquarium a la forme d’une sphère de $10$ cm de rayon, coupée en sa partie haute: c’est une “calotte sphérique”.
La hauteur totale de l’aquarium est $18$ cm.
DNB - Asie - juin 2015 - ex7

  1. Le volume d’une calotte sphérique est donné par la formule :
    $$V \dfrac{\pi}{3} \times h^2 \times (3r – h)$$
    où $r$ est le rayon de la sphère et $h$ est la hauteur de la calotte sphérique.
    a. Prouver que la valeur exacte du volume en cm$^3$ de l’aquarium est $1~296\pi$.
    $\quad$
    b. Donner la valeur approchée du volume de l’aquarium au litre près.
    $\quad$
  2. On remplit cet aquarium à ras bord, puis on verse la totalité de son contenu dans un autre aquarium parallélépipédique. La base du nouvel aquarium est un rectangle de $15$ cm par $20$ cm.
    Déterminer la hauteur atteinte par l’eau (on arrondira au cm).
    * Rappel: 1 $\ell$ = 1 dm$^3 = 1~000$ cm$^3$
    $\quad$