DNB – Centres étrangers 1 – Juin 2015

Centres étrangers – Juin 2015

DNB – Mathématiques

La correction de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1  –  4 points

L’objectif du passage à l’heure d’été est de faire correspondre au mieux les heures d’activité avec les heures d’ensoleillement pour limiter l’utilisation de l’éclairage artificiel.

Le graphique ci-dessous représente la puissance consommée en mégawatts (MW), en fonction des heures (h) de deux journées J1 et J2, J1 avant le passage à l’heure d’été et J2 après le passage à l’heure d’été.

DNB - centres étrangers1 - juin 2015 - ex1

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes.
On arrondira, si nécessaire, les résultats à la demi-heure.

  1. Pour la journée J1, quelle est la puissance consommée à $7$ h ?
    $\quad$
  2. Pour la journée J2, à quelle(s) heure(s) de la journée a-t-on une puissance consommée de $54~500$ MW ?
    $\quad$
  3. À quel moment de la journée le passage à l’heure d’été permet-il le plus d’économies ?
    $\quad$
  4. Quelle puissance consommée a-t-on économisée à $19$h$30$ ?
    $\quad$

Exercice 2  –  3 points

Dans cet exercice, pour chaque affirmation numérotée 1., 2. et 3. des réponses sont proposées. Une seule est exacte.

Écrire sur la copie pour chaque numéro la réponse correspondante.

Aucune justification n’est attendue.

  1. Les solutions de l’équation $(4x + 5)(x – 3) = 0$ sont :
    • $- \dfrac{5}{4}$ et 3
    • $ \dfrac{5}{4}$ et $- 3$
    • $- \dfrac{5}{4}$ et $- 3$
    $\quad$
  2. $\dfrac{8 \times 10^3 \times 28 \times 10^{-2}}{14 \times 10^{- 3}}$ est égal à :
    • $16~000$
    • $0,16$
    • $1,6 \times 10^5$
    $\quad$
  3. $\dfrac{\sqrt{32}}{2}$ est égal à :
    • $\sqrt{16}$
    • $\sqrt{8}$
    • $2,8$
    $\quad$

Exercice 3  –  4 points

À l’entrée du garage à vélos du collège, un digicode commande l’ouverture de la porte.
Le code d’ouverture est composé d’une lettre A ; B ou C suivie d’un chiffre 1 ; 2 ou 3.

DNB - centres étrangers1 - juin 2015 - ex3

  1. Quelles sont les différents codes possibles ?
    $\quad$
  2. Aurélie compose au hasard le code A1.
    $\quad$
  3. a. Quelle probabilité a-t-elle d’obtenir le bon code ?
    $\quad$
    b. En tapant ce code A1, Aurélie s’est trompée à la fois de lettre et de chiffre. Elle change donc ses choix.
    Quelle probabilité a-t-elle de trouver le bon code à son deuxième essai ?
    $\quad$
    c. Justifier que si lors de ce deuxième essai, Aurélie ne se trompe que de lettre, elle est sûre de pouvoir ouvrir la porte lors d’un troisième essai.
    $\quad$

Exercice 4  –  8 points

Des ingénieurs de l’Office National des Forêts font le marquage d’un lot de pins destinés à la vente.

  1. Dans un premier temps, ils estiment la hauteur des arbres de ce lot, en plaçant leur oeil au point $O$.
    DNB - centres étrangers1 - juin 2015 - ex4 (1)
    Ils ont relevé les données suivantes :
    $OA = 15$ m $\quad$ $\widehat{SOA} = 45°$ et $\widehat{AOP} = 25°$
    $\quad$
    Calculer la hauteur $h$ de l’arbre arrondie au mètre.
    $\quad$
  2. Dans un second temps, ils effectuent une mesure de diamètre sur chaque arbre et répertorient toutes les données dans la feuille de calculs suivante :
    DNB - centres étrangers1 - juin 2015 - ex4.2
    a. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule $M2$ pour obtenir le nombre total d’arbres ?
    $\quad$
    b. Calculer, en centimètres, le diamètre moyen de ce lot. On arrondira le résultat à l’unité.
    $\quad$
  3. Pour calculer le volume commercial d’un pin en mètres cubes, on utilise la formule suivante : $$V = \dfrac{10}{24} \times D^2 \times h$$ où $D$ est le diamètre moyen d’un pin en mètres et $h$ la hauteur en mètres.
    Le lot est composé de $92$ arbres de même hauteur $22$ m dont le diamètre moyen est $57$ cm.
    Sachant qu’un mètre cube de pin rapporte $70€$, combien la vente de ce lot rapporte-t-elle ? On arrondira à l’euro.
    $\quad$

Exercice 5  –  6 points

Chacune des affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse ? Justifier votre réponse.

Affirmation 1 : 

Un billet d’avion Paris-New York coûte $400€$. La compagnie aérienne Air International propose une réduction de $20\%$. Le billet ne coûte plus que $380€$.
$\quad$

Affirmation 2 :

$f$ est la fonction affine définie par $f(x) = 4x – 2$.
L’image de $2$ par la fonction $f$ est aussi le double de l’antécédent de $10$.

DNB - centres étrangers1 - juin 2015 - ex5

 

Exercice 6  –  3,5 points

On propose les deux programmes de calcul suivants :

 

DNB - centres étrangers1 - juin 2015 - ex6 (2)

  1. Montrer que si on choisit $3$ comme nombre de départ, les deux programmes donnent $25$ comme résultat.
    $\quad$
  2. Avec le programme A, quel nombre faut-il choisir au départ pour que le résultat obtenu soit $0$ ?
    $\quad$
  3. Ysah prétend que, pour n’importe quel nombre de départ, ces deux programmes donnent le même résultat.
    A-t-elle raison ? Justifier votre réponse.
    $\quad$

Exercice 7  –  7,5 points

DNB - centres étrangers1 - juin 2015 - ex7

Une maison est composée d’une partie principale qui a la forme d’un pavé droit $ABCDEFGH$ surmonté d’une pyramide $IABCD$ de sommet $I$ et de hauteur $\left[IK_1\right]$ perpendiculaire à la base de la pyramide.

Cette pyramide est coupée en deux parties :

  • Une partie basse $ABCDRTSM$ destinée aux chambres;
  • Une partie haute $IRTSM$ réduction de hauteur $\left[IK_2\right]$ de la pyramide $IABCD$ correspondant au grenier.

On a : $EH = 12$ m ; $AE = 3$ m ; $HG = 9$ m ; $IK_1 = 6,75$ m et $IK_2 = 4,5$ m.

La figure donnée n’est pas à l’échelle.

  1. Calculer la surface au sol de la maison.
    $\quad$
  2. Des radiateurs électriques seront installés dans toute la maison, excepté au grenier.
    On cherche le volume à chauffer de la maison.
    On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par :
    $$V_{\text{pyramide}} = \dfrac{\text{Aire de la Base} \times \text{Hauteur}}{3}$$
    a. Calculer le volume de la partie principale.
    $\quad$
    b. Calculer le volume des chambres.
    $\quad$
    c. Montrer que le volume à chauffer est égal à $495$ m$^3$.
    $\quad$
  3. Un expert a estimé qu’il faut dans cette maison une puissance électrique de $925$ Watts pour chauffer $25$ mètres cubes.
    Le propriétaire de la maison décide d’acheter des radiateurs qui ont une puissance de $1~800$ watts chacun et qui coûtent $349,90$ pièce.
    Combien va-t-il devoir dépenser pour rachat des radiateurs ?
    $\quad$