Centres étrangers 2 – Juin 2015

DNB – Mathématiques

La correction de ce sujet de brevet est disponible ici.

$\quad$

Indications portant sur l’ensemble du sujet.
Les figures ou croquis ne sont pas en vraie grandeur!
Pour chaque question, laisser toutes traces de la recherche : même non aboutie, elle sera valorisée.

Exercice 1  –  5,5 points

Pour cet exercice, aucune justification n’est attendue.

En appuyant sur un bouton, on allume une des cases de la grille ci-dessous au hasard.

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3\\
\hline
4 & 5 & 6 \\
\hline
7 & 8 & 9 \\
\hline
\end{array}$$

1. a. Quelle est la probabilité que la case $1$ s’allume?
   $\quad$
   b. Quelle est la probabilité qu’une case marquée d’un chiffre impair s’allume ?
   $\quad$
   c. Pour cette expérience aléatoire, définir un évènement qui aurait pour probabilité $\dfrac{1}{3}$.
   $\quad$
2. Les cases $1$ et $7$ sont restées allumées. En appuyant sur un autre bouton, quelle est la probabilité que les trois cases allumées soient alignées ?
   $\quad$

Exercice 2  –  4 points

Le 14 octobre 2012, Félix Baumgartner, a effectué un saut d’une altitude de $38~969,3$ mètres.
La première partie de son saut s’est faite en chute libre (parachute fermé).
La seconde partie, s’est faite avec un parachute ouvert.
Son objectif était d’être le premier homme à “dépasser le mur du son”.

“dépasser le mur du son” : signifie atteindre une vitesse supérieure ou égale à la vitesse du son, c’est à dire $340$ m.s$^{-1}$.

La Fédération Aéronautique Internationale a établi qu’il avait atteint la vitesse maximale de $1~357,6$ km.h$^{-1}$ au cours de sa chute libre.

1. A-t-il atteint son objectif ? Justifier votre réponse.
   $\quad$
2. Voici un tableau donnant quelques informations chiffrées sur ce saut :
   $$\begin{array}{|l|c|}
   \hline
   \text{Altitude du saut}  & 38~969,3  \text{ m}\\
   \hline
   \text{Distance parcourue en chute libre} & 36~529 \text{ m}\\
   \hline
   \text{Durée totale du saut}    &9 \text{ min } 3 \text{ s}\\
   \hline
   \text{Durée de la chute libre}    &4 \text{ min } 19 \text{ s}\\
   \hline
   \end{array}$$
   Calculer la vitesse moyenne de Félix Baumgartner en chute avec parachute ouvert exprimée en m.s$^{-1}$. On arrondira à l’unité.
   $\quad$

Exercice 3  –  6 points

Soit un cercle de diamètre $[KM]$ avec $KM = 6$ cm.
Soit un point L sur le cercle tel que $ML = 3$ cm.

1. Faire une figure.
   $\quad$
2. Déterminer l’aire en cm$^2$ du triangle $KLM$. Donner la valeur exacte puis un arrondi au cm$^2$ près.
   $\quad$

Exercice 4  –  6 points

Mathilde et Paul saisissent sur leur calculatrice un même nombre. Voici leurs programmes de calcul :

Programme de calcul de Mathilde

• Saisir un nombre
• Multiplier ce nombre par $9$
• Soustraire $8$ au résultat obtenu

Programme de calcul de Paul

• Saisir un nombre
• Multiplier ce nombre par $- 3$
• Ajouter $31$ au résultat obtenu

1. On considère la feuille de calcul suivante :
   
   a. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule $B2$ puis étirer jusqu’à la cellule $L2$ pour obtenir les résultats obtenus par Mathilde ?
   $\quad$
   b. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule $B3$ puis étirer jusqu’à la cellule $L3$ pour obtenir les résultats obtenus par Paul ?
   $\quad$
2. Voici ce que la feuille de calcul fait apparaître après avoir correctement programmé les cellules $B2$ et $B3$.
   
   Mathilde et Paul cherchent à obtenir le même résultat.
   Au vu du tableau, quelle conjecture pourrait-on faire sur l’encadrement à l’unité du nombre à saisir dans les programmes pour obtenir le même résultat ?
   $\quad$
3. Déterminer par le calcul le nombre de départ à saisir par Mathilde et Paul pour obtenir le même résultat et vérifier la conjecture sur l’encadrement.
   $\quad$

Exercice 5  –  8 points

Il existe différentes unités de mesure de la température. En France, on utilise le degré Celsius (\degres C), aux États-Unis on utilise le degré Fahrenheit (\degres F). Voici deux représentations de cette correspondance :

        $\quad$ 

Représentation 1                                               Représentation 2

1. En vous appuyant sur les représentations précédentes, déterminer s’il y a proportionnalité entre la température en degré Celsius et la température en degré Fahrenheit. Justifier votre réponse.
   $\quad$
2. Soit $f$ la fonction qui à une température $x$ en degré Celsius associe la température $f(x)$ en degré Fahrenheit correspondante. On propose trois expressions de $f(x)$ :
   $$ \begin{array}{|c|c|c|}
   \hline
   \text{Proposition } 1 & \text{Proposition } 2& \text{Proposition } 3\\
   \hline
   f(x) = x+32 &  f(x) = 1,8x + 32 & f(x) = 2x + 30\\
   \hline
   \end{array}$$
   “Les propositions 1 et 3 ne peuvent pas être correctes. C’est donc la proposition 2 qui convient.” Justifier cette affirmation.
   $\quad$
3. On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 1,8x + 32$.
   Calculer $f(10)$ et $f(-40)$.
   $\quad$
4. Existe-t-il une valeur pour laquelle la température exprimée en degré Celsius est égale à la température exprimée en degré Fahrenheit ? Justifier votre réponse.
   $\quad$

Exercice 6  –  6,5 points

La gélule est une forme médicamenteuse utilisée quand le médicament qu’elle contient a une odeur forte ou un goût désagréable que l’on souhaite cacher.
On trouve des gélules de différents calibres. Ces calibres sont numérotés de “000” à “5” comme le montre l’illustration ci-contre ( “000” désignant le plus grand calibre et “5” désignant le plus petit) :

Le tableau suivant donne la longueur de ces différents calibres de gélule :

$$\begin{array}{r}
\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Calibre de la gélule}     &000 &00 &0 &1 &2 &3 &4 &5\\
\hline
\text{Longueur } L \text{ de la gélule (en mm)}  &26,1&23,3 &21,7 &19,4 &18,0 &15,9 &14,3 &11,1\\
\hline
\end{array}\\
\text{Source: “Technical Reference File 1st edition CAPSUGEL – Gélules Coni-Snap”}
\end{array}$$

On considère une gélule constituée de deux demi-sphères identiques de diamètre $9,5$ mm et d’une partie cylindrique d’une hauteur de $16,6$ mm comme l’indique le croquis ci-dessous.

 

Cette représentation n’est pas en vraie grandeur.

1. À quel calibre correspond cette gélule ?
   Justifier votre réponse.
   $\quad$
2. Calculer le volume arrondi au mm$^3$ de cette gélule.
   On rappelle les formules suivantes :
   Volume d’un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $h$ : $V = \pi \times R^2 \times h$
   Volume d’un cône de rayon de base $R$ et de hauteur $h$ :  $V = \dfrac{\pi \times R^2 \times h}{3}$
   Volume d’une sphère de rayon $R$ : $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3$
   $\quad$
3. Robert tombe malade et son médecin lui prescrit comme traitement une boîte d’antibiotique conditionné en gélules correspondant au croquis ci-dessus.
   Chaque gélule de cet antibiotique a une masse volumique de $6,15 \times 10^{-4}$ g/mm$^3$.
   La boîte d’antibiotique contient $3$ plaquettes de $6$ gélules.
   Quelle masse d’antibiotique Robert a-t-il absorbée durant son traitement ? Donner le résultat en grammes arrondi à l’unité.
   $\quad$