DNB – Métropole – Septembre 2019

Métropole – Septembre 2019

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. Dans le triangle $BCD$ rectangle en $C$ on utilise le théorème de Pythagore :
    $\begin{align*} BD^2&=BC^2+CD^2 \\
    &=1,5^2+2^2\\
    &=2,25+4\\
    &=6,25\end{align*}$
    Par conséquent $BD=\sqrt{6,25}=2,25$.
    $\quad$
  2. Le point $D$ appartient à la droite $(CE)$ et les triangles $BCD$ et $DEF$ sont respectivement rectangles en $C$ et $E$.
    Cela signifie donc que les droites $(BC)$ et $(EF)$ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $(CE)$.
    Elles sont par conséquent parallèles entre-elles.
    $\quad$
  3. Dans les triangles $BCD$ et $DEF$ :
    – le point $E$ appartient aux segments $[BF]$ et $[CE]$
    – les droites $(BC)$ et $(EF)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{DC}{DE}=\dfrac{DB}{DF}=\dfrac{BC}{EF}$
    Ainsi $\dfrac{2}{5}=\dfrac{2,5}{DF}$
    D’où $DF=\dfrac{5\times 2,5}{2}=6,25$
    $\quad$
  4. La longueur totale du parcours est :
    $\begin{align*} \ell&=AB+BD+DF+FG\\
    &=7+2,5+6,25+3,5\\
    &=19,25 \text{km}\end{align*}$
    $\quad$
  5. On appelle $t$ le temps mis pour effectuer ce trajet.
    On a donc : $16=\dfrac{7}{t}$
    soit $t=\dfrac{7}{16}$ h $=\dfrac{7}{16}\times 60$ min
    Donc $t=26,25$ min ou $t=26$ min $15$ s.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On a :
    $\begin{align*} 2~744&=2\times 1~372\\
    &=2\times 2\times 1~372\\
    &=2\times 2\times 2\times 686\\
    &=2\times 2\times 2\times 2\times 343\\
    &=2\times 2\times 2\times 2\times 7\times 49\\
    &=2\times 2\times 2\times 2\times 7\times 7\times 7\\
    &=2^3\times 7^3\end{align*}$
    $\quad$
    b. Par conséquent :
    $\begin{align*} 2~744^2&=2\times 2\times 2\times 7\times 7\times 7\times 2\times 2\times 2\times 7\times 7\times 7\\
    &=2^6\times 7^6\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a donc
    $\begin{align*} 2~744^2&=2^2\times 2^2\times 2^2\times 7^2\times 7^2\times 7^2 \\
    &=\left(2^2\right)^3\times \left(7^2\right)^3\end{align*}$
    Par conséquent, une solution de l’équation $x^3=2~744^2$ est $2^2\times 7^2$ soit $196$.
    $\quad$
  2. a. On a donc $b^2=a^3=1~000~000=(1~000)^2$.
    Puisque $b\pg 2$ on a $b=1~000$.
    $\quad$
    b. On teste les différentes possibilités :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
    \hline
    x^2&4&9&16&25&36&49&64&81&100\\
    \hline
    x^3&8&27&64&125&216&343&256&729&1~000\\
    \hline
    \end{array}$
    Par conséquent $4^3=8^2$
    Ainsi $a=4$ et $b=8$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. D’après le graphique, en 2005 la concentration de CO$_2$ était environ égale à $380$ ppm
    $\quad$
  2. a. Le graphique est relativement proche de celui d’une droite et une fonction affine est représentée par une droite.
    Une fonction affine semble donc appropriée pour modéliser la concentration en CO$_2$ en fonction du temps entre 1995 et 2005.
    $\quad$
    b.On a $2\times 2~005-3~630=380$ et $2\times 2~005-2~000=2~010$.
    La  proposition d’Arnold semble donc mieux modéliser l’évolution de la concentration de CO$_2$.
    $\quad$
    c. On veut donc résoudre :
    $2x-3~630=450$ soit $2x=4~080$ d’où $x=2~040$
    C’est en $2~040$ que la valeur $450$ ppm est atteinte.
    $\quad$
  3. On a donc $\dfrac{15}{100}\times M=70$ soit $0,15M=70$ donc $M=\dfrac{70}{0,15}\approx 467$.
    La France a donc émis environ $467$ mégatonne de CO$_2$ en 2016.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Le ratio (masse de beurre : masse de chocolat) est $\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$
  2. Pour $250$ g de chocolat noir on a besoin de $\dfrac{30\times 250}{100}=75$ g de farine.
    $\quad$
  3. La côté de la base du petit carré mesure $24-8-8=8$ cm.
    $\quad$
  4. Volume de la tour Carrée :
    $\begin{align*} V_C&=24^2\times 8+(24-8)^2\times 8+8^2\times 8 \\
    &=4~608+2~048+512\\
    &=7~168 \text{ cm}^3
    \end{align*}$
    $\quad$
    Le rayon du plus grand cylindre de la tour de Pise est égal à $\dfrac{30}{2}=15$ cm.
    Le rayon du deuxième cylindre est égal à $\dfrac{30-8}{2}=11$ cm.
    Le rayon du dernier cylindre est égal à $\dfrac{22-8}{2}=7$ cm.
    Ainsi le volume de la tour de Pise :
    $\begin{align*} V_P&=\pi\times 15^2\times 6+\pi \times 11^2\times 6+\pi\times 7^2\times 6 \\
    &=1~350\pi+726\pi+294\pi \\
    &=2~370\pi \\
    &\approx 7~446 \text{ cm}^3\end{align*}$
    La tour de Pise a donc le plus grand volume.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. a. On obtient le nombre :
    $(4+6)\times (4-5)+30=10\times (-1)+30=-10+30=20$.
    $\quad$
    b. Si on choisit le nombre $-3$ on obtient :
    $(-3+6)\times (-3-5)+30=3\times (-8)+30=-24+30=6$
    $\quad$
  2. a. $4+4^2=4+16=20$ ce qui correspond à ce qu’affirme Zoé.
    $\quad$
    b. En $B4$ on a pu saisir $=B2\times B3$.
    $\quad$
    c. Si le nombre de départ est $x$ alors on obtient :
    $\begin{align*} (x+6)(x-5)+30&=x^2-5x+6x-30+30 \\
    &=x^2+x\end{align*}$
    $\quad$
    d. On veut donc résoudre l’équation $x^2+x=0$ soit $x(x+1)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x=0$ ou $x+1=0$
    Soit $x=0$ ou $x=-1$
    Les nombres pour lesquels le résultat du programme est $0$ sont $0$ et $-1$.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. Le dé A ne possède que deux numéro $6$ et $2$ tout comme le dé B dont les numéros sont $5$ et $1$.
    Aucun des numéros des dés A et B sont égaux.
    Une partie ne peut donc pas aboutir sur un match nul.
    $\quad$
  2. a. Si le résultat obtenu avec le dé A est $2$, alors la seule possibilité que Basile gagne un point c’est qu’Armelle obtienne $1$ avec le dé B. Il y a trois numéro $1$ sur les six faces du dé.
    La probabilité que Basile gagne le point est donc $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. $1$ est inférieur à $2$ et $6$.
    Si le résultat obtenu avec le dé B est $1$ alors la probabilité qu’Armelle gagne un point est $0$.
    $\quad$
  3. a. $4$ nombres entiers ($1$, $2$, $3$ et $4$) sont strictement inférieurs à $5$. La probabilité que la variable FaceA prenne la valeur $2$ est donc $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    b. Voici le programme qu’on peut saisir

    $\quad$
    c. On peut saisir le sous-programme suivant :

    $\quad$
  4. a. La fréquence de gain du joueur A est $f=\dfrac{39~901}{60~000}\approx 66,5\%$
    $\quad$
    b. On peut donc conjecturer que la probabilité que A gagne contre B est égale à $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$

Énoncé

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