DNB – Métropole – Septembre 2019

Métropole – Septembre 2019

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. Dans le triangle $BCD$ rectangle en $C$ on utilise le théorème de Pythagore :
    $\begin{align*} BD^2&=BC^2+CD^2 \\
    &=1,5^2+2^2\\
    &=2,25+4\\
    &=6,25\end{align*}$
    Par conséquent $BD=\sqrt{6,25}=2,25$.
    $\quad$
  2. Le point $D$ appartient à la droite $(CE)$ et les triangles $BCD$ et $DEF$ sont respectivement rectangles en $C$ et $E$.
    Cela signifie donc que les droites $(BC)$ et $(EF)$ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $(CE)$.
    Elles sont par conséquent parallèles entre-elles.
    $\quad$
  3. Dans les triangles $BCD$ et $DEF$ :
    – le point $E$ appartient aux segments $[BF]$ et $[CE]$
    – les droites $(BC)$ et $(EF)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{DC}{DE}=\dfrac{DB}{DF}=\dfrac{BC}{EF}$
    Ainsi $\dfrac{2}{5}=\dfrac{2,5}{DF}$
    D’où $DF=\dfrac{5\times 2,5}{2}=6,25$
    $\quad$
  4. La longueur totale du parcours est :
    $\begin{align*} \ell&=AB+BD+DF+FG\\
    &=7+2,5+6,25+3,5\\
    &=19,25 \text{km}\end{align*}$
    $\quad$
  5. On appelle $t$ le temps mis pour effectuer ce trajet.
    On a donc : $16=\dfrac{7}{t}$
    soit $t=\dfrac{7}{16}$ h $=\dfrac{7}{16}\times 60$ min
    Donc $t=26,25$ min ou $t=26$ min $15$ s.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On a :
    $\begin{align*} 2~744&=2\times 1~372\\
    &=2\times 2\times 1~372\\
    &=2\times 2\times 2\times 686\\
    &=2\times 2\times 2\times 2\times 343\\
    &=2\times 2\times 2\times 2\times 7\times 49\\
    &=2\times 2\times 2\times 2\times 7\times 7\times 7\\
    &=2^3\times 7^3\end{align*}$
    $\quad$
    b. Par conséquent :
    $\begin{align*} 2~744^2&=2\times 2\times 2\times 7\times 7\times 7\times 2\times 2\times 2\times 7\times 7\times 7\\
    &=2^6\times 7^6\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a donc
    $\begin{align*} 2~744^2&=2^2\times 2^2\times 2^2\times 7^2\times 7^2\times 7^2 \\
    &=\left(2^2\right)^3\times \left(7^2\right)^3\end{align*}$
    Par conséquent, une solution de l’équation $x^3=2~744^2$ est $2^2\times 7^2$ soit $196$.
    $\quad$
  2. a. On a donc $b^2=a^3=1~000~000=(1~000)^2$.
    Puisque $b\pg 2$ on a $b=1~000$.
    $\quad$
    b. On teste les différentes possibilités :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
    \hline
    x^2&4&9&16&25&36&49&64&81&100\\
    \hline
    x^3&8&27&64&125&216&343&256&729&1~000\\
    \hline
    \end{array}$
    Par conséquent $4^3=8^2$
    Ainsi $a=4$ et $b=8$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. D’après le graphique, en 2005 la concentration de CO$_2$ était environ égale à $380$ ppm
    $\quad$
  2. a. Le graphique est relativement proche de celui d’une droite et une fonction affine est représentée par une droite.
    Une fonction affine semble donc appropriée pour modéliser la concentration en CO$_2$ en fonction du temps entre 1995 et 2005.
    $\quad$
    b.On a $2\times 2~005-3~630=380$ et $2\times 2~005-2~000=2~010$.
    La  proposition d’Arnold semble donc mieux modéliser l’évolution de la concentration de CO$_2$.
    $\quad$
    c. On veut donc résoudre :
    $2x-3~630=450$ soit $2x=4~080$ d’où $x=2~040$
    C’est en $2~040$ que la valeur $450$ ppm est atteinte.
    $\quad$
  3. On a donc $\dfrac{15}{100}\times M=70$ soit $0,15M=70$ donc $M=\dfrac{70}{0,15}\approx 467$.
    La France a donc émis environ $467$ mégatonne de CO$_2$ en 2016.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Le ratio (masse de beurre : masse de chocolat) est $\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$
  2. Pour $250$ g de chocolat noir on a besoin de $\dfrac{30\times 250}{100}=75$ g de farine.
    $\quad$
  3. La côté de la base du petit carré mesure $24-8-8=8$ cm.
    $\quad$
  4. Volume de la tour Carrée :
    $\begin{align*} V_C&=24^2\times 8+(24-8)^2\times 8+8^2\times 8 \\
    &=4~608+2~048+512\\
    &=7~168 \text{ cm}^3
    \end{align*}$
    $\quad$
    Le rayon du plus grand cylindre de la tour de Pise est égal à $\dfrac{30}{2}=15$ cm.
    Le rayon du deuxième cylindre est égal à $\dfrac{30-8}{2}=11$ cm.
    Le rayon du dernier cylindre est égal à $\dfrac{22-8}{2}=7$ cm.
    Ainsi le volume de la tour de Pise :
    $\begin{align*} V_P&=\pi\times 15^2\times 6+\pi \times 11^2\times 6+\pi\times 7^2\times 6 \\
    &=1~350\pi+726\pi+294\pi \\
    &=2~370\pi \\
    &\approx 7~446 \text{ cm}^3\end{align*}$
    La tour de Pise a donc le plus grand volume.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. a. On obtient le nombre :
    $(4+6)\times (4-5)+30=10\times (-1)+30=-10+30=20$.
    $\quad$
    b. Si on choisit le nombre $-3$ on obtient :
    $(-3+6)\times (-3-5)+30=3\times (-8)+30=-24+30=6$
    $\quad$
  2. a. $4+4^2=4+16=20$ ce qui correspond à ce qu’affirme Zoé.
    $\quad$
    b. En $B4$ on a pu saisir $=B2\times B3$.
    $\quad$
    c. Si le nombre de départ est $x$ alors on obtient :
    $\begin{align*} (x+6)(x-5)+30&=x^2-5x+6x-30+30 \\
    &=x^2+x\end{align*}$
    $\quad$
    d. On veut donc résoudre l’équation $x^2+x=0$ soit $x(x+1)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x=0$ ou $x+1=0$
    Soit $x=0$ ou $x=-1$
    Les nombres pour lesquels le résultat du programme est $0$ sont $0$ et $-1$.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. Le dé A ne possède que deux numéro $6$ et $2$ tout comme le dé B dont les numéros sont $5$ et $1$.
    Aucun des numéros des dés A et B sont égaux.
    Une partie ne peut donc pas aboutir sur un match nul.
    $\quad$
  2. a. Si le résultat obtenu avec le dé A est $2$, alors la seule possibilité que Basile gagne un point c’est qu’Armelle obtienne $1$ avec le dé B. Il y a trois numéro $1$ sur les six faces du dé.
    La probabilité que Basile gagne le point est donc $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. $1$ est inférieur à $2$ et $6$.
    Si le résultat obtenu avec le dé B est $1$ alors la probabilité qu’Armelle gagne un point est $0$.
    $\quad$
  3. a. $4$ nombres entiers ($1$, $2$, $3$ et $4$) sont strictement inférieurs à $5$. La probabilité que la variable FaceA prenne la valeur $2$ est donc $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    b. Voici le programme qu’on peut saisir

    $\quad$
    c. On peut saisir le sous-programme suivant :

    $\quad$
  4. a. La fréquence de gain du joueur A est $f=\dfrac{39~901}{60~000}\approx 66,5\%$
    $\quad$
    b. On peut donc conjecturer que la probabilité que A gagne contre B est égale à $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     18 points

Michel participe à un rallye VIT sur un parcours balisé. Le trajet est représenté en traits pleins.
Le départ du rallye est en A et l’arrivée est en $G$.

Le dessin n’est pas à l’échelle.
Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
Les points $C$, $D$ et $E$ sont alignés.
Les points $B$, $D$ et $F$ sont alignés.
Les points $E$, $F$ et $G$ sont alignés.
Le triangle $BCD$ est rectangle en $C$.
Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$.

  1. Montrer que la longueur $BD$ est égale à $2,5$km.
    $\quad$
  2. Justifier que les droites $(BC)$ et $(EF)$ sont parallèles.
    $\quad$
  3. Calculer la longueur $DF$.
    $\quad$
  4. Calculer la longueur totale du parcours.
    $\quad$
  5. Michel roule à une vitesse moyenne de $16$ km/h pour aller du point $A$ au point $B$.
    Combien de temps mettra-t-il pour aller du point $A$ au point $B$ ?
    Donner votre réponse en minutes et secondes.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     14 points

  1. a. Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de $2~744$.
    $\quad$
    b. En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de $2~744^2$.
    $\quad$
    c. À l’aide de cette décomposition, trouver $x$ tel que $x^3 = 2~744^2$.
    $\quad$
  2. Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers supérieurs à $2$ tels que $a^3 = b^2$.
    a. Calculer $b$ lorsque $a = 100$.
    $\quad$
    b. Déterminer deux nombres entiers $a$ et $b$ supérieurs à $2$ et inférieurs à $10$ qui vérifient l’égalité $a^3 = b^2$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     17 points

Les activités humaines produisent du dioxyde de carbone (CO$_2$) qui contribue au réchauffement climatique. Le graphique suivant représente l’évolution de la concentration atmosphérique moyenne en CO$_2$ (en ppm) en fonction du temps (en année).

$1$ ppm de CO$_2$ $= 1$ partie par million de CO$_2$ $= 1$ milligramme de CO$_2$ par kilogramme d’air.

  1. Déterminer graphiquement la concentration de CO$_2$ en ppm en 1995 puis en 2005.
    $\quad$
  2. On veut modéliser l’évolution de la concentration de CO$_2$ en fonction du temps à l’aide d’une fonction $g$ où $g(x)$ est la concentration de CO$_2$ en ppm en fonction de l’année $x$.
    a. Expliquer pourquoi une fonction affine semble appropriée pour modéliser la concentration en CO$_2$ en fonction du temps entre 1995 et 2005.
    $\quad$
    b. Arnold et Billy proposent chacun une expression pour la fonction $g$ :
    Arnold propose l’expression $g(x) = 2x-3~630$ ;
    Billy propose l’expression $g(x) = 2x-2~000$.
    Quelle expression modélise le mieux l’évolution de la concentration de CO$_2$ ? Justifier.
    $\quad$
    c. En utilisant la fonction que vous avez choisie à la question précédente, indiquer l’année pour laquelle la valeur de $450$ ppm est atteinte.
    $\quad$
  3. En France, les forêts, grâce à la photosynthèse, captent environ $70$ mégatonnes de CO$_2$ par an, ce qui représente $15\%$ des émissions nationales de carbone (année 2016).
    Calculer une valeur approchée à une mégatonne près de la masse M du CO$_2$ émis en France en 2016.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     16 points

Pour le mariage de Dominique et Camille, le pâtissier propose deux pièces montées constituées de gâteaux de tailles et de formes différentes.

La tour de Pise :
La première pièce montée est constituée d’un empilement de $4$ gâteaux de forme cylindrique, de même hauteur et dont le diamètre diminue de $8$ cm à chaque étage.

Le gâteau du bas a pour diamètre $30$ cm et pour hauteur $6$ cm.

 

La tour Carrée :
La deuxième pièce montée est constituée d’un empilement de $3$ pavés droits à base carrée de même hauteur. La longueur du côté de la base diminue de $8$ cm à chaque étage.

La hauteur des gâteaux est $8$ cm ; le côté de la base du gâteau
du bas mesure $24$ cm.

 

Tous les gâteaux ont été confectionnés à partir de la recette ci-dessous qui donne la quantité des ingrédients correspondant à $100$ g de chocolat.

Recette du gâteau pour 100 g de chocolat :

  • $65$ g de sucre
  • $2$ œufs
  • $75$ g de beurre
  • $30$ g de farine
  1. Quel est le ratio (masse de beurre : masse de chocolat) ? Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
    $\quad$
  2. Calculer la quantité de farine nécessaire pour $250$ g de chocolat noir suivant la recette ci-dessus.
    $\quad$
  3. Calculer la longueur du côté de la base du plus petit gâteau de la tour Carrée.
    $\quad$
  4. Quelle est la tour qui a le plus grand volume ? Justifier votre réponse en détaillant les calculs.
    On rappelle que le volume $V$ d’un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ est donné par la formule : $$V=\pi\times r^2\times h$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     15 points

On donne le programme de calcul suivant :

$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
\text{Étape } 1 :& \text{Choisir un nombre de départ}\\
\text{Étape } 2 :& \text{Ajouter $6$ au nombre de départ}\\
\text{Étape } 3 :& \text{Retrancher $5$ au nombre de départ}\\
\text{Étape } 4 :& \text{Multiplier les résultats des étapes $2$ et $3$}\\
\text{Étape } 5 :& \text{Ajouter $30$ à ce produit}\\
\text{Étape } 6 :& \text{Donner le résultat}\\
\hline
\end{array}$$

  1. a. Montrer que si le nombre choisi est $4$, le résultat est $20$.
    $\quad$
    b. Quel est le résultat quand on applique ce programme de calcul au nombre $-3$ ?
    $\quad$
  2. Zoé pense qu’un nombre de départ étant choisi, le résultat est égal à la somme de ce nombre et de son carré.
    a. Vérifier qu’elle a raison quand le nombre choisi au départ vaut $4$, et aussi quand on choisit $-3$.
    $\quad$
    b. Ismaël décide d’utiliser un tableur pour vérifier l’affirmation de Zoé sur quelques exemples.

    Il a écrit des formules en $B2$ et $B3$ pour exécuter automatiquement les étapes 2 et 3 du programme de calcul.
    Quelle formule à recopier vers la droite a-t-il écrite dans la cellule $B4$ pour exécuter l’étape 4 ?
    $\quad$
    c. Zoé observe les résultats, puis confirme que pour tout nombre x choisi, le résultat du programme de calcul est bien $x^2 + x$. Démontrer sa réponse.
    $\quad$
    d. Déterminer tous les nombres pour lesquels le résultat du programme est $0$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 6     20 points

Deux amis Armelle et Basile jouent aux dés en utilisant des dés bien équilibrés mais dont les faces ont été modifiées. Armelle joue avec le dé A et Basile joue avec le dé B.

Lors d’une partie, chaque joueur lance son dé et celui qui obtient le plus grand numéro gagne un point.

Voici les patrons des deux dés :

  1. Une partie peut-elle aboutir à un match nul ?
    $\quad$
  2. a. Si le résultat obtenu avec le dé A est $2$, quelle est la probabilité que Basile gagne un point ?
    $\quad$
    b. Si le résultat obtenu avec le dé B est $1$, quelle est la probabilité qu’Armelle gagne un point ?
    $\quad$
  3. Les joueurs souhaitent comparer leur chance de gagner. Ils décident de simuler un match de soixante mille duels à l’aide d’un programme informatique.
    $\quad$
    Voici une partie du programme qu’ils ont réalisé.

    On précise que l’expression (nombre aléatoire entre $\boldsymbol{1}$ et $\boldsymbol{6}$) renvoie de manière équiprobable un nombre pouvant être $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ ou $6$.
    $\quad$
    Les variables FaceA et FaceB enregistrent les résultats des dés A et B. Par exemple, la variable FaceA peut prendre soit la valeur $2$ soit la valeur $6$, puisque ce sont les seuls nombres présents sur le dé A.
    $\quad$
    Les variables Victoire de A et Victoire de B comptent les victoires des joueurs.
    a. Lorsqu’on exécute le sous-programme « Lancer le dé A », quelle est la probabilité que la variable FaceA prenne la valeur $2$ ?
    $\quad$
    b. Recopier la ligne 7 du programme principal en la complétant.
    $\quad$
    c. Rédiger un sous-programme « Lancer le dé B » qui simule le lancer du dé B et enregistre le nombre obtenu dans la variable FaceB.
    $\quad$

  4. Après exécution du programme principal, on obtient les résultats suivants :
    Victoire de A $= 39~901$ $\hspace{2cm}$ Victoire de B $= 20~099$
    a. Calculer la fréquence de gain du joueur A, exprimée en pourcentage. On donnera une valeur approchée à $1\%$ près.
    $\quad$
    b. Conjecturer la probabilité que A gagne contre B.
    $\quad$

$\quad$