DNB – Nouvelle Calédonie – Décembre 2019

Nouvelle Calédonie – Décembre 2019

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. L’aire du triangle est : $A_1=\dfrac{6\times 7}{2}=21$ cm$^2$.
    L’aire du carré est $A_2=5^2=25$ cm$^2$.
    L’aire du rectangle est $A_3=3\times 7=21$ cm$^2$/
    Réponse B
    $\quad$
  2. $1$ min $15$ s $= 75$ s.
    Un roman de $290$ pages se lit en $290\times 75=21~750$s
    Soit $362$ min $30$ s
    ou encore $6$ h $2$ min $30$ s
    Réponse B
  3. $10^{-15}$ kg représente quelque chose de très (très, très) léger.
    $10^4$ kg $=10$ tonnes (des camions sont capables de transporter cette charge)
    Réponse C
  4. $(2x+3)(2x-3)=(2x)^2-3^2=4x^2-9$
    Réponse C
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Il y a donc $22+2+162+110=296$ carreaux.
    La probabilité que Hugo choisisse un carreau vert est $p_1=\dfrac{110}{296}=\dfrac{55}{148}$.
    $\quad$
  2. La probabilité que Hugo choisisse un carreau violet est $p_2=\dfrac{22}{296}=\dfrac{11}{148}$
    La probabilité que Hugo ne choisisse pas un carreau violet est donc $1-\dfrac{11}{148}=\dfrac{137}{148}$.
    $\quad$
  3. Il y a $162+2=164$ carreaux noirs ou blancs.
    La probabilité que Hugo choisisse un carreau noir ou blanc est $p_3=\dfrac{164}{296}=\dfrac{41}{74}$
    $\quad$
  4. $\dfrac{75}{100}\times 296=222$.
    Hugo a donc collé $222$ carreaux en une journée.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. $80$ cm $=0,8$ m.
    Le coefficient d’agrandissement est $k=\dfrac{1}{0,8}=1,25$.
    $\quad$
  2. $GH=60\times 1,25=75$ cm.
    $EF=35\times 1,25=43,75$ cm.
    $\quad$
  3. L’aire de $EFGH$ est égale à $1~950\times 1,25^2\approx 3~046$ cm$^2$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. $TH=20\times 0,6$m $=12$ m
    Dans le triangle $TCH$ rectangle en $H$ on applique le théorème de Pythagore.
    $TC^2=TH^2+CH^2$
    Soit $15^2=12^2+CH^2$
    Donc $225=144+CH^2$
    Ainsi $CH^2=81$
    Par conséquent $CH=\sqrt{81}=9$ m.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $THC$ et $TFE$ on a :
    – Le point $H$ appartient à $[TF]$;
    – Le point $C$ appartient à $[TE]$;
    – Les droites $(HC)$ et $(EF)$ sont perpendiculaires à la droite $(TF)$; elles sont donc parallèles entre elles.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{TH}{TF}=\dfrac{TC}{TE}=\dfrac{CH}{EF}$
    ainsi $\dfrac{15}{TE}=\dfrac{9}{13,5}$
    Par conséquent $T\dfrac{15\times 13,5}{9}=22,5$ m.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. a. D’après le graphique, la vitesse du vent à $14$ h sera de $19$ nœuds
    $\quad$
    b. On prévoit $12$ nœuds de vent à $1$ h et $7$ h.
    $\quad$
    c. La vitesse du vent prévue est la plus élevée à $11$ h.
    $\quad$
    d. La vitesse du vent prévue est la plus faible à $5$ h.
    $\quad$
  2. D’après le graphique, il ne faut pas faire de cerf-volant entre $8$ h $30$ et $12$ h.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. $40\times 1~500=60~000$ : Le tarif du peintre A pour $40$ m$^2$ est de $60~000$ F.
    $40\times 1~000+10~000=50~000$ : Le tarif du peintre B pour $40$ m$^2$ est de $50~000$ F.
    $40<100$ : Le tarif du peintre C pour $40$ m$^2$ est de $70~000$ F.
    $\quad$
  2. Le prix proposé par le peintre B est $B(x)=1~000x+10~000$.
    $\quad$
  3. a. $A(x)=1~500x$ : La fonction $A$ est donc une fonction linéaire.
    $\quad$
    b. $A(60)=1~500\times 60=90~000$.
    L’image de $60$ par la fonction $A$ est $90~000$.
    $\quad$
    c. On veut résoudre l’équation $1~500x=30~000$ donc $x=\dfrac{30~000}{1~500}$ soit $x=20$.
    L’antécédent de $30~000$ par la fonction $A$ est $20$.
    $\quad$
    d. Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l’origine du repère.
    D’après la question 3.b. on sait qu’elle passe également par le point de coordonnées $(60;90~000)$.
    $\quad$
  4. a. $1~500x=1~000x+10~000$
    Donc $500x=10~000$
    soit $x=\dfrac{10~000}{500}$
    Par conséquent $x=20$
    La solution de l’équation est $20$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc que les tarifs des peintre A et B ne sont égaux que si la surface à peindre est de $20$ m$^2$.
    $\quad$
  5. Graphiquement la droite représentant la fonction $B$ est en-dessous des deux autres droites lorsque $x$ est compris entre $20$ et $60$.
    Le peintre B est le moins cher des trois peintre pour des surfaces comprises entre $20$ m$^2$ et $60$ m$^2$.
    $\quad$

 

Ex 7

Exercice 7

  1. On a $56=2\pi\times R$ donc $R=\dfrac{56}{2\pi}\approx 8,9$ cm.
    Le rayon d’un cercle de $56$ cm est environ égal à $9$ cm.
    $\quad$
  2. L’aire d’une demi-sphère de rayon $9$ cm est égale à $A=4\pi\times 9^2=324\pi$ cm$^2$.
    On peut donc estimer que Guillaume a environ $250\times 324\pi \approx 254~469$ cheveux.
    $\quad$

 

Ex 8

Exercice 8

  1. On répète $6$ fois la même instruction. La figure possède donc $6$ côtés. Il s’agit par conséquent du dessin n°1.
    $\quad$
  2. On obtient le script suivant :
    $\quad$
  3. On peut obtenir le script suivant :

    $\quad$

Énoncé

Exercice 1 : Questionnaire à choix multiples    12 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la réponse A, B ou C choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

  1. Quelle figure a la plus grande aire?
    Les longueurs données sont en centimètres 

    $\quad$

  2. Une page de roman se lit en moyenne en $1$ minute $15$ secondes. Quel temps de lecture
    faudrait-il pour un roman de $290$ pages?
    A. Envion $5$ heures
    B. Envion $5$ heures
    C. Envion $5$ heures
    $\quad$
  3. La masse de la planète Neptune est de l’ordre de :
    A. $10^{-15}$ kg
    B. $10^4$ kg
    C. $10^{26}$ kg
    $\quad$
  4. $(2x+3)(2x−3)=$
    A. $2x^2-9$
    B. $4x^2-12x+9$
    C. $4x^-9$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2 : Héros     8 points

Hugo réalise un assemblage de carreaux représentant son héros préféré.
Pour cela il doit coller $22$ carreaux violets, $2$ blancs, $162$ noirs et $110$ verts.
Tous les carreaux sont mélangés dans une boîte.
Hugo choisit un carreau au hasard.
On estime que tous les carreaux ont la même chance d’être choisis
  1. Quelle est la probabilité que Hugo choisisse un carreau vert?
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que Hugo ne choisisse pas un carreau violet?
    $\quad$
  3. Quelle est la probabilité que le carreau choisi soit noir ou blanc?
    $\quad$
  4. En une journée Hugo a collé $75\%$ des carreaux. Combien de carreaux cela représente-t-il?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3 : Construction     10 points

Le quadrilatère $EFGH$ est un agrandissement de $ABCD$.

Le schéma ci-dessous n’est pas à l’échelle.

On donne $AC=80$ cm et $GE=1$ m
  1. Montrer que le coefficient d’agrandissement est $1,25$.
    $\quad$
  2. Calculer $GH$ et $EF$.
    $\quad$
  3. On considère que l’aire du quadrilatère $ABCD$ est égale à $1~950$ cm$^2$. Calculer l’aire de $EFGH$ en cm$^2$. \emph{Arrondir à l’unité}.

$\quad$

Exercice 4 : Cerf-volant     14 points

Thomas attache son cerf-volant au sol au point $T$.
Il fait $20$ pas pour parcourir la distance $TH$.
Un pas mesure $0,6$ mètre.
Le schéma ci-dessous illustre la situation. Il n’est pas à l’échelle.
Les points $T$, $C$ et $E$ sont alignés.
Les points $T$, $H$ et $F$ sont alignés.
$TC = 15$ m
  1. Montrer que la hauteur $CH$ du cerf-volant est égale à $9$ m.
    $\quad$
  2. Thomas souhaite que son cerf-volant atteigne une hauteur $EF$ de $13,5$ m.
    Calculer la longueur $TE$ de la corde nécessaire.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5 : Coup de vent     14 points

Angelo va sur le site « météo NC » pour avoir une idée des meilleurs moments pour faire du cerf-volant avec ses enfants.
Il obtient le graphique ci-dessous qui donne la prévision de la vitesse du vent, en nœuds, en fonction de l’heure de la journée.
Répondre aux questions par lecture graphique. Aucune justification n’est demandée.

 

  1. a. Quelle est la vitesse du vent prévue à $14$ h?
    $\quad$
    b. À quelles heures prévoit-on $12$ nœuds de vent?
    $\quad$
    c. À quelle heure la vitesse du vent prévue est-elle la plus élevée?
    $\quad$
    d. À quelle heure la vitesse du vent prévue est-elle la plus faible?
    $\quad$
  2. La pratique du cerf-volant est dangereuse au-dessus de $20$ nœuds.
    De quelle heure à quelle heure ne faut-il pas faire de cerf-volant?
    On répondra avec la précision permise par le graphique
    $\quad$

$\quad$

Exercice 6 : Peinture     19 points

On veut peindre des murs d’aire inférieure à $100$ m$^2$.
Voici les tarifs proposés par trois peintres en fonction de l’aire des murs à peindre en m$^2$ : $$\begin{array}{|l l|}
\hline
\textbf{Peintre A :}& 1~500 \text{ F par m}^2\\
\textbf{Peintre B :}& 1~000 \text{ F par m$^2$ et $10~000$ F d’installation de chantier}\\ \textbf{Peintre C :}& 70~000 \text{F quelle que soit l’aire inférieure à 100 m$^2$}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Montrer que pour $40$ m$^2$, le tarif du peintre A est de $60~000$ F, le tarif du peintre B est de $50~000$ F et le tarif du peintre C est de $70~000$ F.
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, $x$ désigne l’aire des murs à peindre en m$^2$.

  1. Écrire, en fonction de $x$, le prix proposé par le peintre B.

Les fonctions donnant les prix proposés par le peintre B et le peintre C sont représentées sur l’annexe.

  1. Soient $A(x)$ et $C(x)$ les expressions des fonctions donnant le prix proposé par les peintres A et C en fonction de $x$.
    On a $A(x) = 1~500x$ et $C(x)= 70~000$.

    a. Quelle est la nature de la fonction $A$?
    $\quad$
    b. Calculer l’image de $60$ par la fonction $A$.
    $\quad$
    c. Calculer l’antécédent de $30~000$ par la fonction $A$.
    $\quad$
    d. Tracer la représentation graphique de la fonction $A$ sur l’annexe.

    $\quad$

  2. a. Résoudre l’équation $1~500x = 1~000x + 10~000$.
    $\quad$
    b. Interpréter le résultat de la question 4. a.
    $\quad$
  3. Lire graphiquement, sur l’annexe, les surfaces entre lesquelles le peintre B est le moins cher des trois peintres.
    $\quad$

Annexe

 

$\quad$

Exercice 7 : Cheveux     10 points

Guillaume aimerait savoir combien de cheveux il a sur la tête. Pour cela il représente sa tête par une sphère de rayon $R$.
Il mesure le tour de sa tête comme indiqué sur le schéma ci-dessous et obtient $56$ cm.

 

$\begin{array}{|l|}
\hline
\hspace{4cm} \text{Rappels :}\\
\text{Périmètre d’un cercle de rayon $R$ : $\mathscr{P} = 2\pi R$}\\
\text{Aire d’une sphère de rayon $R$ : & $\mathscr{A} = 4\pi R^2$.}\\
\hline
\end{array}$

  1. Montrer que le rayon d’un cercle de périmètre $56$ cm est environ égal à $9$ cm.
    $\quad$
  2. Guillaume considère que ses cheveux recouvrent la moitié de la surface de sa tête. Sur $1$ cm$^2$ de son crâne, il a compté $250$ cheveux.
    Estimer le nombre de cheveux de Guillaume.
    Pour cette question toute trace de recherche sera valorisée lors de la notation.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 8 : «Scratch»     13 points

Dans les figures de cet exercice la flèche indique la position et l’orientation du lutin au départ.

  1. Indiquer sur la copie le numéro du dessin correspondant au script ci-dessous.

    $\quad$
  2. Sur l’annexe, compléter les deux informations manquantes du script qui permet de réaliser la figure ci-dessous

    $\quad$

  3. En ordonnant les instructions proposées en annexe, compléter le script permettant de réaliser la figure ci-dessous. On indiquera les numéros des instructions sur l’annexe.

 

Annexe 

Question 2

Question 3

$\quad$