Nouvelle Calédonie – DNB – Mars 2014

Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1

Dans les triangles $KFM$ et $KRP$ :
– les points $K, F, R$ et $K, M, P$ sont alignés dans cet ordre
– $\dfrac{KF}{KR} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{KM}{KP} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$.
Par conséquent, $\dfrac{KF}{KR} = \dfrac{KM}{KP}$.
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(FM)$ et $(RP)$ sont parallèles.
Réponse A
$\quad$
$5 – 2 \times (-3) = 5 + 6 = 11$
Réponse B
$\quad$
L’image de $2$ par la fonction $f$ est $1$.
Réponse A
$\quad$
$2$ a trois antécédents par la fonction $f$.
Réponse C
$\quad$

$\quad$

Exercice 2

Dans le triangle $SOM$ rectangle en $O$ on applique le théorème de Pythagore :
$SM^2 = OS^2 + OM^2$ soit $37,5^2 = 24^2 + SO^2$
D’où $SO^2 = 37,5^2 – 24^2 = 830,25$ et $SO = \sqrt{830,25} \approx 29$ cm.
$\quad$
a. Cela peut être assimilé à la section d’un cône par un plan parallèle à la base.
On obtient ainsi un cercle de centre $O’$ et de rayon $\dfrac{1}{3} \times 24 = 8$ cm.
$\quad$
b. Le périmètre du ruban est donc : $P = 2 \pi \times 8 = 16\pi$ cm

$\quad$

Exercice 3

Le nombre de lots doit diviser $292$, $219$ et $73$ et doit être le plus grand.
On recherche donc le PGCD de $292$, $219$ et $73$.
Mais $219 = 3 \times 73$ et $292 = 4 \times 73$.
On peut donc constituer $73$ lots.
$\quad$
Il contiendront chacun $4$ crayons, $3$ règles et $1$ calculatrice.
$\quad$
La probabilité qu’un élève reçoive un lot est $\dfrac{73}{80}$. Par conséquent celle qu’un élève n’en reçoive aucun est $1 – \dfrac{73}{80} = \dfrac{7}{80}$.

$\quad$

Exercice 4

$50 + 25 = 75$ $\quad 2 + 3 = 5$ $\quad 75 \times 5 = 375$ $\quad$ 375 – 8 = 367$
$\quad$
$\dfrac{5}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{6}{3}$ $\quad \dfrac{6}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{15}{6}$
$\quad$
$5x^2 – x^2 = 4x^2$ $\quad 8x – 2x = 6x$
$4x^2 + 6x – 1$.

$\quad$

Exercice 5

Moyenne de la $3^{\text{e}}$A :
$\dfrac{8 + 7 + 12 + \ldots + 11}{18} = \dfrac{199}{18} \approx 11,1$.
$\quad$
Moyenne de la $3^{\text{e}}$B :
$\dfrac{7 + 8 + 7 + \ldots + 9}{17} = \dfrac{188}{17} \approx 11,1$.
On constate donc que ces deux moyennes sont approximativement égales.
$\quad$
On range tout d’abord les notes dans l’ordre croissant :
$6,7,7,7,8,8,10,10,11,11,11,12,12,13,15,15,18,18$
$\dfrac{18}{2} = 9$. La neuvième et la dixième note sont : $11$
La médiane est $11$.
$\quad$
$7,7,7,8,8,8,8,9,9,12,13,13,13,13,16,18,19$
$\dfrac{17}{2} = 8,5$. La médiane est la neuvième note : $9$.
$\quad$
Les deux classes ayant environ la même moyenne, on utilise la médiane pour les départager.
Dans la première classe, la moitié de la classe a moins de $11$ alors que dans la seconde la moitié de la classe a moins de $9$.
On peut donc dire que la $3^{\text{e}}$A a mieux assimilé les leçons.
$\quad$
Aucune des classes ne possède d’élèves ayant des notes comprises entre $0$ et $5$. Le graphique 3 ne correspond donc à aucune des classes.
Dans la classe de $3^{\text{e}}$A, $6$ élèves ont des notes comprises entre $5$ et $10$ soit un tiers de la classe alors que $9$ élèves de la classe de $3^{\text{e}}$B ont des notes situées dans cet intervalle, soit plus de la moitié.
Le graphique 1 correspond donc à la classe de $3^{\text{e}}$B et le graphique 2 à celle de $3^{\text{e}}$A.

$\quad$

Exercice 6

Ce polygone possède $8$ côtés. Il s’agit donc d’un octogone.
$\quad$
Cet octogone étant régulier $\widehat{AOB} = \dfrac{360}{8} = 45°$.
$\quad$
Le triangle $AOB$ est isocèle en $O$ donc $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$.
Par conséquent $\widehat{OAB} =\dfrac{180 – 45}{2} = 67,5°$.
$\quad$
Le triangle $AOC$ est rectangle en $O$ puisque $\widehat{AOC} = 2 \times 45 = 90°$.
On peut appliquer le théorème de Pythagore :
$AC^2 = AO^2 + AC^2 = 40,5$ et $AC = \sqrt{40,5} \approx 6,4$ cm.

$\quad$

Exercice 7

Affirmation 1 : FAUSSE

On sait qu’une salade verte à $900$ F coûte six fois le prix d’une botte d’oignons verts. Donc six bottes d’oignons verts coûtent $900$ F.
Avec $700$ F, on ne peut donc pas acheter $6$ bottes d’oignons verts.

Affirmation 2 : VRAIE

Une botte d’oignons verts coûte donc $\dfrac{900}{6} = 150$ F.
Une botte de persil coûte $170$ F.
Une botte de menthe coûte $\dfrac{900}{5} = 180$ F, tout comme la botte de basilic.
Une botte de menthe, une botte d’oignons verts, une botte de basilic et une botte de persil coûte donc $680$ F, ce qui est inférieur à $700$ F.

Affirmation 3 : VRAIE

Le coût d’une botte de fines herbes est de : $170 + 180 + 180 = 530$ F.
Deux bottes de chacune d’entres elles coûtent donc $ 1~060$ F, ce qui est inférieur à $1~500$ F.

$\quad$

Exercice 8

$35 \times 21 + 18 = 753 \quad$ Réponse C
$\quad$
Le maximum de $35$, $21$ et $18$ est $35 \quad$ Réponse A
$\quad$
$35+21+18 = 78 \quad$ Réponse B