DNB – Polynésie – Décembre 2024

Amérique du Sud – Décembre 2024

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Il y a $5$ jetons en tout dont $2$ blancs.
    La probabilité de tirer un jeton blanc est donc égale à $\dfrac{2}{5}$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. Réponse B
    $\quad$
  3. Dans les triangles $BHD$ et $BAC$ on a :
    $\bullet$ $D$ appartient à $[BC]$ ;
    $\bullet$ $H$ appartient à $[BA]$ ;
    $\bullet$ $(DH)$ est parallèle à $(AC)$.
    D’après le théorème de Thalès, $\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{HD}{AC}$
    Ainsi $\dfrac{2}{10}=\dfrac{HD}{16}$
    Par conséquent $HD=\dfrac{2\times 16}{10}$
    Donc $HD=3,2$ cm
    Réponse A
    $\quad$
  4. En $4$ tours la petite roue fait tourner la grande de $4\times 9=36$ crans.
    Or $36=3\times 12$.
    La grande roue effectue donc $3$ tours complets.
    Réponse A
    $\quad$
  5. Le rapport de cette homothétie est négatif.
    Le triangle $EGF$ est donc l’image du triangle $BDC$ par cette homothétie.
    Réponse C
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On a
    $\begin{align*} f(5)&=5^2-5-6 \\
    &=25-11 \\
    &=14\end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’équation $g(x)=4$ soit $-2x=4$.
    Par conséquent $x=-2$.
    L’antécédent de $4$ par la fonction $g$ est $-2$.
    $\quad$
    c. D’après le tableau $-4$ est un antécédent de $14$ par la fonction $f$. D’après la question 1.a., $5$ est également un antécédent de $14$ par cette fonction.
    Donc $-4$ et $5$ sont deux antécédents de $14$ par la fonction $f$.
    $\quad$
    d. On a pu écrire $=B1^2-B1-6$.
    $\quad$
    e. D’après le tableau on a $f(2)=-4$ et $g(2)=-4$.
    Par conséquent $2$ a la même image par la fonction $f$ et la fonction $g$.
    $\quad$
  2. a. Soit $x$ un nombre.
    $\begin{align*} (x+2)(x-3)&=x^2-3x+2x-6 \\
    &=x^2-x-6 \\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut résoudre $f(x)=0$ soit $(x+2)(x-3)=0$.
    Il s’agit d’une équation de produit nul.
    Par conséquent $x+2=0$ ou $x-3=0$
    Donc $x=-2$ ou $x=3$.
    Les solutions de l’équation $f(x)=0$ sont $-2$ et $3$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. $25\%=\dfrac{25}{100}$, $\dfrac{1}{2}=\dfrac{50}{100}$, $0,1=\dfrac{10}{100}$ et $\dfrac{6}{10}=\dfrac{60}{100}$
    La plus grande probabilité d’attraper la proie qu’il poursuit est bien celle du chat à pieds noirs.
    $\quad$
  2. Le guépard parcourt $115$ kilomètres, c’est-à-dire $115~000$ mètres, en une heure, soit $60$ minutes ou encore $3~600$ secondes.
    Par conséquent $115$ km/h $=\dfrac{115~000}{3~600}$ m/s.
    Or la formule $v=\dfrac{d}{t}$ permet de dire que $t=\dfrac{d}{v}$.
    Il lui faut donc $\dfrac{3~600}{115~000}\times 100 \approx 3,13$ secondes pour parcourir $100$ mètres.
  3. $1~200\times \left(1-\dfrac{86}{100}\right)=168 \approx 170$.
    Le nombre de guépards a bien baissé d’environ $86\%$ entre 1999 et 2016.
    $\quad$
  4. La longitude de ce parc est environ égale à $16$° Est et sa latitude est environ égale à $19$° Sud.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$.
    Par conséquent $AB^2=AC^2+CB^2$.
    Ainsi
    $\begin{align*} CB^2&=AB^2-AC^2 \\
    &=17^2-2,6^2 \\
    &=202,24\end{align*}$
    Donc
    $\begin{align*} CB&=\sqrt{202,24} \\
    &=16,8 \text{m}\end{align*}$.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ on a
    $\begin{align*} \sin \widehat{ABC}&=\dfrac{AC}{AB} \\
    &=\dfrac{2,6}{17}\end{align*}$
    Ainsi $\widehat{ABC}\approx 8,80$°.
    Par conséquent $\widehat{ABC} > 8,5$°.
    Il y a aura donc un surcoût.
    $\quad$
  3. L’aire du triangle $ABC$ est
    $\begin{align*}\mathscr{A}&=\dfrac{AC\times BC}{2} \\
    &=\dfrac{2,6\times 16,8}{2} \\
    &=21,84~ \text{m}^2\end{align*}$
    Le volume de terre à enlever est donc :
    $\begin{align*} V&=\mathscr{A}\times AD \\
    &=21,84\times 30 \\
    &=655,2~\text{m^3}\end{align*}$
    $\quad$

 

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Il faut prendre $a=20$ et $b=180-60=120$.
    $\quad$
  2. Ce bloc permet d’obtenir la figure 3.
    $\quad$
  3. On peut écrire :
    $\quad$

    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     (20 points)

Cet exercice est un Q.C.M. (questionnaire à choix multiple).

Pour chacune des cinq questions, trois réponses sont proposées et une seule convient. Pour chacune des cinq questions, écrire sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Aucune justification n’est attendue
Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne retire pas de point.

  1. Une urne contient trois jetons verts et deux jetons blancs. On tire un jeton au hasard.
    Quelle est la probabilité d’obtenir un jeton blanc?
    A : $\dfrac{2}{3}$ $\quad$ B : $\dfrac{3}{5}$ $\quad$ C : $\dfrac{2}{5}$
    $\quad$
  2. Quelle est la vue de droite de ce solide ?
    $\quad$

    $\quad$
  3. $\quad$

    $\quad$
    $B$, $H$ et $A$ sont alignés.
    $B$, $D$ et $C$ sont alignés.
    $BD = 2$ cm; $BC = 10$ cm;
    $AC = 16$ cm; $(DH) // (AC)$.
    Quelle est la longueur du segment $[DH]$ ?
    A : $3,2$ cm $\quad$ B : $4$ cm $\quad$ C : $4;8$ cm
    $\quad$
  4. Voici un engrenage :
    $\quad$

    $\quad$
    Si la petite roue effectue exactement $4$ tours complets, combien de tours
    complets effectue la grande roue ?
    A : $3$ tours complets
    B : $4$ tours complets
    C : $6$ tours complets
    $\quad$
  5. Le carré $AGFE$ est l’image du carré $ADCB$ par une homothétie de centre $A$.
    Le triangle $EGF$ est l’image d’un triangle par cette même homothétie.
    Quel est ce triangle ?
    $\quad$

    $\quad$
    A : $GEA$ $\quad$ B : $ABD$ $\quad$ C : $BDC$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (24 points)

On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies par : $$f(x)=x^2-x-6 \qquad g(x)=-2x$$

  1. a. Montrer que l’image de $5$ par la fonction $f$ est $14$.
    $\quad$
    b. Déterminer l’antécédent de $4$ par la fonction $g$.
    $\quad$
    Pour calculer des images de nombres par les fonctions $f$ et $g$, on utilise un tableur et on obtient la copie d’écran suivante :
    $\quad$

    $\quad$
    c. À l’aide des informations précédentes, citer deux antécédents de $14$ par la fonction $f$.
    $\quad$
    d. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule $\text{B2}$ avant de l’étirer vers la droite jusqu’à la cellule $\text{H2}$ ?
    $\quad$
    e. Existe-t-il un nombre qui a la même image par la fonction $f$ et par la fonction $g$ ?
    $\quad$
  2. a. Montrer que, pour tout nombre $x$, $f(x)$ est égal à $(x +2)(x-3)$.
    $\quad$
    b. Résoudre l’équation $f(x) = 0$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (22 points)

  1. Le tableau ci-dessous présente, pour quatre félins étudiés, les probabilités d’attraper leur proie quand ils la poursuivent.
    $$\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    \text{Félin étudié}& \begin{array}{c}\text{Probabilité d’attraper la}\\\text{proie qu’il poursuit} \end{array}\\
    \hline
    \text{Le lion}& 25 \%\\\hline
    \text{Le guépard}& \dfrac{1}{2}\\\hline
    \text{Le tigre}& 0,1\\\hline
    \text{Le chat à pieds noirs}& \dfrac{6}{10}\\\hline
    \end{array}$$
    Vérifier que, parmi les quatre félins étudiés, le chat à pieds noirs a la probabilité la plus élevée d’attraper sa proie quand il la poursuit.
    $\quad$
  2. Le plus souvent, le guépard est le félin le plus rapide avec une vitesse pouvant atteindre $115$ km/h. À cette vitesse, en combien de secondes le guépard parcourt-il $100$ mètres ?
    On donnera une valeur approchée au centième de seconde près.
    $\quad$
  3. Dans un pays d’Afrique, on estimait à :
    $\bullet$ $1~200$ guépards en 1999.
    $\bullet$ $170$ guépards en 2016.
    Dans ce pays, est-il vrai que le nombre de guépards a baissé d’environ $86 \%$ entre 1999 et 2016 ?
    $\quad$
  4. Dans le parc national d’Etosha en Namibie, on peut observer des lions et des guépards.
    À l’aide de la carte ci-dessous, donner approximativement la latitude et la longitude du parc national d’Etosha.
    $\quad$

    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (20 points)

On dispose d’un terrain en pente sur lequel on souhaite construire une maison. Il faut pour cela enlever de la terre afin d’obtenir un terrain horizontal. On dispose des informations suivantes :

  1. Justifier que la longueur $CB$ est égale à $16,8$ m.
    $\quad$
  2. Le coût des travaux pour enlever la terre dépend de la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$. Si la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$ est supérieure à $8,5$°, cela entraînera un surcoût des travaux (c’est-à-dire que les travaux pour enlever la terre coûteront plus cher).
    Est-ce le cas pour ce terrain ?
    $\quad$
  3. On admet que le volume de terre enlevée correspond au volume du prisme droit $CBAFED$ de hauteur $[CF]$ et de bases triangulaires $ACB$ et $DFE$, comme représenté ci-dessous.
    On rappelle que les longueurs $CF$ et $AD$ sont égales.
    $\quad$

    $\quad$
    Déterminer le volume de terre à enlever en m$^3$.
    On rappelle la formule :
    Volume d’un prisme droit $=$ aire d’une base du prisme $\times$ hauteur du prisme.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     (14 points)

Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue pour les réponses apportées aux questions 1. et 2.
À l’aide d’un logiciel de programmation, on définit un bloc « Losange » pour construire un losange.

  1. Dans le bloc « Losange », par quelles valeurs faut-il remplacer a et b pour obtenir le losange ci-dessus ?
    $\quad$
  2. On définit ensuite un nouveau bloc nommé « Motif A » :
    $\quad$

    $\quad$
    Parmi les figures suivantes, quelle est celle qui est obtenue en exécutant le bloc « Motif A » ?
    $\quad$

    $\quad$
  3. On a défini un nouveau bloc nommé « Motif B ». En l’exécutant, on a obtenu la figure ci-dessous :
    $\quad$

    $\quad$
    Écrire un script du bloc « Motif B ».