Polynésie – Juin 2015

DNB – Mathématiques

La correction de ce sujet de brevet est disponible ici.
$\quad$

Indication portant sur l’ensemble du sujet.

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.

 Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche, elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1  –  3 points

Djamel et Sarah ont un jeu de société : pour y jouer, il faut tirer au hasard des jetons dans un sac. Tous les jetons ont la même probabilité d’être tirés. Sur chaque jeton un nombre entier est inscrit.

Djamel et Sarah ont commencé une partie. Il reste dans le sac les huit jetons suivants :

$$\begin{array}{c}
\begin{array}{|c|} \hline 14 \\ \hline \end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline 26\\ \hline \end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline 18 \\ \hline \end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline \phantom{1}5\\ \hline \end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline \phantom{1}9\\ \hline  \end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline 18\\ \hline \end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline 20\\ \hline \end{array} \end{array}$$

1. C’est à Sarah de jouer.
   a. Quelle est la probabilité qu’elle tire un jeton “$18$”?
   $\quad$
   b. Quelle est la probabilité qu’elle tire un jeton multiple de $5$ ?$
   \quad$
2. Finalement, Sarah a tiré le jeton “$26$” qu’elle garde. C’est au tour de Djamel de jouer.
   La probabilité qu’il tire un jeton multiple de $5$ est-elle la même que celle trouvée à la question 1. b. ?
   $\quad$

Exercice 2  –  4 points

1. Le graphique ci-dessous donne le niveau de bruit (en décibels) d’une tondeuse à gazon en marche, en fonction de la distance (en mètres) entre la tondeuse et l’endroit où s’effectue la mesure.
   
   En utilisant ce graphique, répondre aux deux questions suivantes. Aucune justification n’est attendue.
   a. Quel est le niveau de bruit à une distance de $100$ mètres de la tondeuse?
   $\quad$
   b. À quelle distance de la tondeuse se trouve-t-on quand le niveau de bruit est égal à $60$ décibels ?
   $\quad$
2. Voici les graphiques obtenus pour deux machines très bruyantes d’une usine .
   
   Dans l’usine, le port d’un casque antibruit est obligatoire à partir d’un même niveau de bruit.
   Pour la machine A, il est obligatoire quand on se trouve à moins de $5$ mètres de la machine. En utilisant ces graphiques, déterminer cette distance pour la machine B.
   $\quad$

Exercice 3  –  8 points

On considère la figure ci-dessous dessinée à main levée.

L’unité utilisée est le centimètre.
Les points $I$, $H$ et $K$ sont alignés.

1. Construire la figure ci-dessus en vraie grandeur.
   $\quad$
2. Démontrer que les droites $(IK)$ et $(JH)$ sont perpendiculaires.
   $\quad$
3. Démontrer que $IH = 6$ cm.
   $\quad$
4. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{HJK}$, arrondie au degré.
   $\quad$
5. La parallèle à $(IJ)$ passant par $K$ coupe $(JH)$ en $L$. Compléter la figure.
   $\quad$
6. Expliquer pourquoi $LK = 0,4 \times IJ$.
   $\quad$

Exercice 4  –  4,5 points

1. Quel est le nombre caché par la tache sur cette étiquette ?
   $\quad$
2. $2~048$ est une puissance de $2$. Laquelle ?
   $\quad$
3. En développant l’expression $(2x – 1)^2$, Jules a obtenu $4x^2 – 4x – 1$. A-t-il raison ?
   $\quad$

Exercice 5  –  4,5 points

Les “24 heures du Mans” est le nom d’une course automobile.

Document 1 : principe de la course

Les voitures tournent sur un circuit pendant $24$ heures. La voiture gagnante est celle qui a parcouru la plus grande distance.

Document 2 : schéma du circuit

Document 3 : article extrait d’un journal

$$5~405,470$$

C’est le nombre de kilomètres parcourus par l’Audi R15+ à l’issue de la course.

Document 4 : unités anglo-saxonnes

L’unité de mesure utilisée par les anglo-saxons est le mile par heure (mile per hour) noté mph.

$1$ mile $\approx$ $1~609$ mètres
$\quad$

À l’aide des documents fournis:

1. Déterminer le nombre de tours complets que la voiture Audi R15+ a effectués lors de cette course.
   $\quad$
2. Calculer la vitesse moyenne en km/h de cette voiture. Arrondir à l’unité.
   $\quad$
3. On relève la vitesse de deux voitures au même moment :
   • Vitesse de la voiture N°37 : $205$ mph.
   • Vitesse de la voiture N°38 : $310$ km/h.Quelle est la voiture la plus rapide ?
   $\quad$

Exercice 6  –  5 points

Voici un programme de calcul.

• Choisir un nombre
• Ajouter $1$
• Calculer le carré de cette somme
• Soustraire $9$ au résultat

1. Vérifier qu’en choisissant $7$ comme nombre de départ, le résultat obtenu avec ce programme est $55$.
   $\quad$
2. Lorsque le nombre choisi est $- 6$, quel résultat obtient-on ?
   $\quad$
3. Jim utilise un tableur pour essayer le programme de calcul avec plusieurs nombres. Il a fait apparaître les résultats obtenus à chaque étape. Il obtient la feuille de calcul ci-dessous :
   La colonne $B$ est obtenue à partir d’une formule écrite en $B2$, puis recopiée vers le bas.
   Quelle formule Jim a-t-il saisie dans la cellule $B2$ ?
   $\quad$
4. Le programme donne $0$ pour deux nombres. Déterminer ces deux nombres.
   $\quad$

Exercice 7  –  7 points

Voici les caractéristiques d’une piscine qui doit être rénovée:

Document 1 : informations sur la piscine

Vue aérienne de la piscine

Document 2 : information relative à la pompe de vidange

Débit: 14 m$^3$/h

Document 3 : informations sur la peinture résine utilisée pour la rénovation

• seau de $3$ litres
• un litre recouvre une surface de $6$ m$^2$
• $2$ couches nécessaires
• prix du seau : $69,99€ $

1. Le propriétaire commence par vider la piscine avec la pompe de vidange. Cette piscine est remplie à ras bord. Sera-t-elle vide en moins de $4$ heures ?
   $\quad$
2. Il repeint ensuite toute la surface intérieure de cette piscine avec de la peinture résine. Quel est le coût de la rénovation ?
   $\quad$