Pondichéry – Avril 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé du sujet est disponible ici.

Exercice 1

1. $(x-1)^2 = x^2 – 2\times 1 \times x + 1^2 = x^2-2x+1$
   Réponse B
   $\quad$
2. $2\times (-2)^2 + 3\times (-2) – 2 = 2 \times 4 – 6 – 2 = 0$.
   Réponse C
   $\quad$
3. On peut soit calculer $f(-19)$, $f(-3)$ et $f(-7)$ et regarder quand on obtient $-7$, soit résoudre l’équation :
   $\begin{align*}
   3x+2 = -7 &\Leftrightarrow 3x = -9 \\\\
   & \Leftrightarrow x = -3
   \end{align*}$
   Réponse B
   $\quad$
4. Un agrandissement ne modifie pas les angles.
   Réponse C
   $\quad$
5. Réponse A
   $\quad$

Exercice 2

1. $\dfrac{2~622}{19} = 138$ et $\dfrac{2~530}{19} \approx 133,16$.
   Puisque la dernière fraction n’est pas un nombre entier, il n’est pas possible de réaliser $19$ paquets.
   $\quad$
2. On appelle $N$ le nombre de paquets cherchés. Ce nombre doit diviser $2~622$ et $2~530$. Il doit être le plus grand possible.
   Donc $N$ est le PGCD de $2~622$ et $2~530$.
   On utilise l’algorithme d’Euclide :
   $2~622 = 1\times 2~530+92$
   $2~530 = 27 \times 92 + 46$
   $92 = 2 \times 46 + 0$
   Le PGCD est le dernier reste non nul, c’est-à-dire $46$.
   On peut donc faire $46$ paquets.
   $\dfrac{2~622}{46} = 57$ et $\dfrac{2~530}{46} = 55$
   Chaque paquet comportera alors $57$ oeufs de Pâques et $55$ poissons en chocolat.
   $\quad$

Exercice 3

Nombre de jours : $30 + 31 + 31 = 92$

Nombre de jours de soleil : $0,75 \times 92 = 69$

Nombre de jours nuageux/pluvieux : $92 – 69 = 23$

Loyers de la paillotte : $2~500 \times 3 = 7~500$ euros

Recette de la paillotte : $500 \times 69 + 50 \times 23 = 35~650$ euros

Recette de la boutique : $350 \times 69 + 300 \times 23 = 31~050$ euros

Bénéfice de la paillotte : $35~650 – 7~500=28~150$ euros

Bénéfice de la boutique : $31~050 – 6~900 = 25~530$ euros

Peio doit donc choisir la paillotte.

$\quad$

Exercice 4

1. Le volume vaut :
   $\begin{align*} V &= \dfrac{Aire_{ABC} \times SA}{3} \\\\
   & = \dfrac{\dfrac{7,5^2}{2} \times 15}{3} \\\\
   & = 140,625 \\\\
   & \approx 141 ~\text{cm}^3
   \end{align*}$
   $\quad$
2. a. Le plan $\mathscr{P}$ étant parallèle à la base, le triangle $S’MN$ est donc une réduction du triangle $ABC$. C’est par conséquent un triangle rectangle isocèle en $S’$.
   $\quad$
   b. La pyramide $SS’MN$ est une réduction de $SABC$ de rapport $\dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$.
   Ainsi $S’N = \dfrac{2}{5} AC = \dfrac{2}{5} \times 7,5 = 3$ cm.
   $\quad$
3. Le volume de $SS’MN$ est de $\left(\dfrac{2}{5}\right)^3 \times 141 \approx 9~ \text{cm}^3$.
   Ainsi le volume maximal de parfum que la bouteille peut contenir est d’environ $141 – 9 = 132~ \text{cm}^3$.

$\quad$

Exercice 5

1. La probabilité que le candidat accède à la salle du trésor est de $\dfrac{1}{5}$.
   $\quad$
2. a.
   
   $\quad$
   b. La probabilité qu’il gagne au moins $200$ euros est donc de $\dfrac{5}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{6}{8}$ soit $\dfrac{3}{4}$.
   $\quad$
3. Dans la salle de consolation, $3$ enveloppes sont vides.
   La probabilité que le candidat ne gagne rien est donc de $\dfrac{3}{8}$.
   $\quad$

Exercice 6

1. L’angle $\widehat{ABC} = 30°$ Erreur dans l’énoncé
   $\quad$
   
   
2. a. Le point $C$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$. Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $C$. Vrai
   $\quad$
   b. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ on a :
   $\cos \widehat{ABC} = \dfrac{BC}{AB}$ soit $\cos 30 = \dfrac{BC}{12}$
   Donc $BC = 12 \cos 30 \approx 10,4$ cm Faux
   $\quad$
   c. L’angle $\widehat{AOC}$ est un angle au centre et il intercepte sur le cercle le même arc que l’angle inscrit $\widehat{ABC}$.
   Donc $\widehat{AOC} = 2 \times 30 = 60°$ $\quad$ Vrai
   $\quad$
   d. On a $\sin 30 = \dfrac{AC}{12}$ donc $AC = 12 \times \sin 30 = 6$ cm.
   On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$.
   $AB^2 = AC^2 + BC^2$ soit $144 = 36 + BC^2$ d’où $BC^2 = 108$
   Et $BC = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$.
   Par conséquent l’aire du triangle $ABC$ est : $\dfrac{6\sqrt{3} \times 6}{2} = 18\sqrt{3} \text{~cm}^2$. Vrai
   $\quad$
   e. L’angle $\widehat{BAC} = 180 – 90 – 30 = 60°$.
   L’angle inscrit $\widehat{BAC}$ et l’angle au centre $\widehat{BOC}$ interceptent le même arc sur le cercle. Donc $\widehat{BOC} = 2 \times 60 = 120°$
   Faux
   $\quad$

Exercice 7

On appelle $x$ la longueur des côtés des petits triangles équilatéraux. Le périmètre de ces trois triangles est donc de $3 \times 3x = 9x$.

Le périmètre de l’hexagone est : $3(6 – 2x) + 3x = 18 – 3x$

On veut donc que $9x = 18 – 3x$ soit $12x = 18$ et $x=\dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2}$ cm.