Amérique du Sud – novembre (secours)

Amérique du Sud – Novembre 2013 (secours)
Correction DNB mathématiques

Vous pouvez trouver le sujet de ce DNB de mathématiques ici

Exercice 1

  1. Réponse B : $\dfrac{5}{3} – \dfrac{2}{3}:\dfrac{5}{3}+\dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}-\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}-\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{3}$
  2. Réponse C : $\left(2\sqrt{5}\right)^2+2\times 2 \sqrt{5} + 1 = 4 \times 5 + 4\sqrt{5} + 1 = 21 + 4\sqrt{5}$
  3. Réponse B : $0,00723 = 7,23\times 10^{-3}$
  4. Réponse C : $f(x) = x(x-1)$. Donc $f(x) = 0 \Leftrightarrow x=0 ~\text{ou} ~ x-1=0 \Leftrightarrow x=0 ~\text{ou}~x=1$
  5. Réponse B : La médiane est la note qui sépare la série en 2 séries de même effectif. Il y a $7$ notes.
    $\dfrac{7}{2} = 3,5$. La médiane est donc la $4^{\text{ème}}$ note.

 Exercice 2

  1. $(3-1)^2+2\times 3 = 4 + 6 = 10$
  2. $3^2+1=9+1=10$
  3. $(-2-1)^2+2\times (-2) = 9 – 4 = 5$
  4. Soit $x$ le nombre cherché. On a donc $x^2+1 = 5$ soit $x^2=4$.
    Par conséquent $x=-2$ ou $x=2$.
    On doit donc choisir $-2$ ou $2$ pour obtenir $5$ avec le programme B.
  5. Soit $x$ un nombre.
    Avec le programme A : $(x-1)^2+2x=x^2-2x+1+2x=x^2+1$.
    Avec le programme B : $x^2+1$.
    On obtient bien le même résultat.

Exercice 3

Il y a une erreur dans l’énoncé. Il faut prendre $LI = 880 \text{m}$ et non $KI = 880$

  1. $SL = 1075 – 415 = 660 \text{m}$ et $JK = 1165 – 415 = 750 \text{m}$.
  2. a. Le triangle $SLI$ est rectangle en $L$. D’après le théorème de Pythagore on a donc :
    $SI^2 = SL^2 + LI^2$ soit $SI^2 = 660^2 + 880^2 = 1210000$ donc $SI=1100\text{m}$.
    b. Dans le triangle $SIL$ rectangle en $L$ on a $\tan \widehat{SIL} = \dfrac{660}{880}$ donc $\widehat{SIL} = 37°$ (au degré près).
  3. On a donc $10 = \dfrac{1,1}{T}$ donc $T = 0,11h = 6,6 \text{min}$  $=6\text{min } 36\text{s}$.
  4. Dans les triangles $IJK$ et $ISL$ :
    – les droites $(SL)$ et $(JK)$ sont parallèles
    – $L\in[IK]$ et $S\in[IJ]$.
    D’après le théorème de THalès on a alors $\dfrac{IS}{IJ} = \dfrac{IL}{IK} = \dfrac{SL}{JK}$.
    Donc $\dfrac{1100}{IJ} = \dfrac{660}{750}$ d’où $IJ = \dfrac{1100 \times 750}{660} = 1250$.
    Par conséquent $JS = 1250 -1100 = 150 \text{m}$.
    Il a donc parcouru $150 \text{m}$ à pied.

Exercice 4

  1. $5\text{t} = 5~ 000~ 000~ 000\text{ mg}= 5 \times 10^9 \text{ mg}$.
    $\dfrac{5\times 10^9}{500} = 10^7$. Elle peut donc produire $10$ millions de gélules.
  2. $\dfrac{10^7}{16} = 625~000$. Cela représente donc $625~000$ boîtes.
  3. Volume du cylindre : $3,5^2\times \pi \times 14 = \dfrac{343\pi}{2}\text{ mm}^3$
    Volume d’une spère : $\dfrac{4\pi \times 3,5^3}{3} = \dfrac{343\pi}{6}\text{ mm}^3$.
    Volume d’une gélule : $\dfrac{343\pi}{2}+\dfrac{343\pi}{6} = \dfrac{686\pi}{3}\text{ mm}^3$.

Exercice 5

  1. a. Si $x=4$ alors $2y+4=40$ donc $2y=36$ et $y=18$.
    L’aire est alors de $4\times 18 = 72 \text{ m}^2$.
    b.

    $x$ (en m) $4$ $10$ $20$ $28$
    $y$ (en m) $18$ $15$ $10$ $6$
    $A$ (en m²) $72$ $150$ $200$ $168$
  2. on a, par conséquent,$y=\dfrac{40-x}{2}$.
    L’aire est alors $A = \dfrac{40-x}{2}x = 20x – 0,5x^2$.
  3. On peut écrire “$=20*\text{A}2-0,5\text{A}2\text{^}2$”.
  4. a. Pour $x=14\text{m}$, l’aire semble être de $180\text{m}^2$.
    b. L’aire est égale à $192 \text{m}^2$ pour $x=16$ et $x=24$.
    c. L’aire est maximale pour $x=20$. L’enclos mesure alors $20 \text{m}$ de long et $10\text{m}$ de large.

Exercice 6

Soit $A$ le prix d’une place adulte et $E$ celui d’une place enfant. On obtient alors le système suivant :

$\left\{ \begin{array}{l} A+2E=21\\\\2A+3E=36 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A=21-2E\\\\2(21-2E)+3E=36 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A=21-2E\\\\42-E=36 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A=21-2E\\\\E=6 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} E=6\\\\A=9 \end{array} \right.$

Donc $3$ adultes et $3$ enfants doivent payer $3\times(6+9)=45€$.
L’enfant a donc raison.