Amérique du Sud – Novembre 2013
Correction DNB mathématiques

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Exercice 1

1.  Le salaire brut est de $2764$ € par mois. Par conséquent le salaire net est de $2764 \times \left(1-\dfrac{22}{100} \right) = 2155,92$ €.
2. La moitié de la population gagne moins que le salaire médian brut et l’autre moitié gagne plus que celui-ci.
3. $1610 < 2764$. Le salaire médian brut est inférieur au salaire moyen brut. Cela s’explique par le fait que la médiane ne dépend pas des valeurs extrêmes mais essentiellement du nombre de valeurs alors que la moyenne dépend à la fois des valeurs et de leur nombre.
   Il y a donc, dans la population, des personnes dont les revenus sont très importants. Ils influencent alors fortement la moyenne.
4. $8,6$ millions sur $65$ millions vivaient sous le seuil de pauvreté.
   Cela représente donc $\dfrac{8,6}{65} \approx 13\%$ de la population.

Exercice 2

1.  a. Le périmètre de $ADC$ est de $144\text{m}$
   Donc $144 = 65 + 16 + DC$ soit $DC = 144 – 81 = 63\text{m}$.
   De même le périmètre de $ABC$ est de $154\text{m}$.
   Donc $154 = 56 + 65 + AB$ soit $AB = 154 – 121 = 33\text{m}$.
   b. Le périmètre de $ABCD$ est donc de : $33 + 56 + 63 + 16 = 168\text{m}$.
2. Dans le triangle ADC, le plus grand côté est $[AC]$.
   D’une part $AC^2 = 4225$.
   D’autre part $AD^2+CD^2=256+3969 = 4225$.
   Par conséquent $AC^2=AD^2+CD^2$.
   D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ADC$ est rectangle en $D$.
3. Calculons les aires des $2$ triangles :
   $A_{ADC} = \dfrac{AD\times DC}{2} = \dfrac{16 \times 63}{2} = 504\text{m}^2$.
   $A_{ABC} = \dfrac{AB\times BC}{2}=\dfrac{33\times 56}{2} = 924\text{m}^2$.
   Donc l’aire de $ABCD$ est de $504+924 = 1428\text{m}^2$.
4. Prix de la clôture : $0,85 \times 168 = 142,80$ €.

 Exercice 3

1. a. $840$ et $1176$ sont pairs et donc divisibles par $2$. Ils ne sont donc pas premiers entre eux.
   b. $840 = 40 \times 21$ et $1176 = 56 \times 21$.
   Il peut donc faire $21$ lots contenant chacun $40$ financiers et $56$ macarons.
   c. Le nombre de lots doit diviser $840$ et $1176$ et être le plus grand possible.
   Il s’agit donc du PGCD de $840$ et $1176$.
   Pour déterminer ce PGCD, on utilise l’algorithme d’Euclide :
   $1176 = 1 \times 840 + 336 \quad 840 = 2\times 336 + 168 \quad 336 = 2 \times 168 + 0$.
   LE PGCD est le dernier reste non nul.
   Par conséquent il peut faire $168$ lots contenant chacun $\dfrac{840}{168} = 5$ financiers et $\dfrac{1176}{168} = 7$ macarons.
2. On appelle $F$ le prix d’un financiers et $M$ celui d’un macaron.
   On obtient alors le système suivant :
   $\left\{ \begin{array}{l} 5F+7M = 22,40 \\\\ 8F+14M = 42 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7M = 22,40 – 5F \\\\ 8F+2(22,40 – 5F) = 42 \end{array} \right.$ car $14M = 2\times 7F$.
   Par conséquent $\left\{ \begin{array}{l} 7M = 22,40 – 5F \\\\ -2F = 42 – 44,80 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} F = 1,4 \\\\ M= \dfrac{22,40 – 5\times 1,4}{7} = 2,2 \end{array} \right.$
   Un financier coûte donc $1,40$ € et un macaron $2,20$ €.

Exercice 4

Volume d’eau fourni par l’Amazone en $1$ an :
$190~000 \times 60 \times 60 \times 24 \times 365 = 5~991~840~000~000 \text{m}^3$.
Volume d’eau consommé par un foyen de $3$ personnes en $1$ an :
$10~000 \times 12 = 120~000 \text{m}^3$.
Nombre de foyers que pourrait alimenter l’Amazone en $1$ an :$\dfrac{5~991~840~000~000}{120~000} = 4~993~200$.
Il pourrait donc alimenter environ $5~000~000$ foyers en un an.

Exercice 5

1. a. Toutes ces étiquettes ont la même probabilité d’être tirées.
   Donc l’étiquette “Diagonales égales” a une probabilité de $\dfrac{1}{10} = 0,1$ d’être tirée.
   b. $3$ étiquettes contiennent le mot “diagonales”. La probabilité de tirer une de ces étiquettes est donc de $0,3$.
   c. Aucune étiquette ne contient ces $2$ mots. La probabilité d’un tel événement est donc de $0$.
2. a. Les diagonales ne se coupant pas nécessairement en leur milieu, on ne peut pas avoir de parallélogramme (et donc pas de carré).
   Madjid a donc raison.
   b. Julie est donc certaine d’obtenir au moins un losange.
3. Les $4$ angles droits assurent d’obtenir un rectangle.
   Les deux côtés égaux ne sont pas nécessairement adjacents. Il n’est pas sûr d’avoir un carré.

Exercice 6

1. a. Le périmètre du rectangle vérifie donc $2(10+l)=31$.
   Par conséquent $10 +l = 15,5$ et $l=5,5\text{cm}$.
   b. Prenons une longueur de $12\text{cm}$. On a alors $2(12+l)=31$ soit $12+l=15,5$ et $l=3,5\text{cm}$.
   c. On a donc $2(x+BC) = 31$ donc $x+BC = 15,5$ et $BC = 15,5-x$.
   d. L’aire du rectangle $ABCD$ est donc $x(15,5-x)$.
2. a. $f(4) = 4(15,5 – 4) = 46$.
   b. $f(5)=5(15,5-5) = 52,5$. Un antécédent de $52,5$ est donc $5$.
3. a. Graphiquement, lorsque $x=3$ alors l’aire vaut environ $35\text{cm}^2$.
   b. Si l’aire vaut $40\text{cm}^2$ alors $x\approx 3,3$ ou $x\approx 12$.
   c. L’aire maximale est de $60\text{cm}^2$. Elle est atteinte pour $x \approx 8$.
4. Si $x=7,75$ alors la largeur du rectangle est de $15,5 – 7,75 = 7,75$.
   $ABCD$ est donc un carré.